近幾年全國卷解析幾何考查分析及復習策略

黃耿躍

筆者于2015年參加福建省教育廳組織的“省名師送培下鄉”活動，并開設了題為《構建解析幾何板塊的教學新常態》的專題講座，旨在介紹筆者對2016年高考解析幾何考查趨勢的理解.眼下，2016年的高考已落下帷幕，回過頭反思筆者之前的研究，發現有些觀點與全國卷的命題特點挺吻合，故特將講稿重新整理成文，供同行參考.

1試題的考查方式與特點分析

1.1以雙曲線為背景曲線，考查解析幾何的基本概念

由于《課程標準》對雙曲線的教學要求降低，《全國考試說明》對雙曲線的要求也只是了解，所以雙曲線在高考中，基本不在解答題出現，但又不能忽視對雙曲線的考查，這使得雙曲線為背景的試題在選擇或填空出現的頻率較高.統計發現，近5年的全國卷（除2011年文科外），小題均出現對雙曲線知識的考查，主要涉及雙曲線的定義、離心率、漸近線、實軸等概念.

評注上述試題主要考查雙曲線的實軸、離心率、漸近線等基本概念和知識，充分體現了《課程標準》對雙曲線的教學要求，同時較好地考查了考生對解析幾何基本知識和概念的應用，考查了考生的邏輯思維能力和運算求解能力.

1.2以三角形面積為問題載體，考查解析幾何的基本思想

解析幾何的基本思想是用代數的方法研究幾何問題.如求三角形的面積時，一是，利用兩點間的距離公式或弦長公式，求三角形的底，再用點到直線的距離公式，求三角形的高，最后代入三角形的面積公式計算；二是，設三角形頂點坐標及直線方程，把直線方程代入曲線方程后，消去一個未知數，得到一個一元二次方程，借助韋達定理，把三角形面積轉化成三角形頂點坐標后，再進行求解運算.兩種方法都是解析幾何中的通性通法，都體現解析幾何這門學科的本質.所以，在全國卷的高考中以三角形面積為問題載體，考查運算求解能力，經常受到命題者的青睞。

評注上述試題提供的已知條件或求解的問題均與面積有關，體現解析幾何對這一基本問題的重點考查。

1.3以直線與圓為背景，關注文理差異，考查綜合應用能力

直線與圓是最簡單、最基本的幾何圖形，是進一步研究圓錐曲線的基礎，由于它的基礎性與工具性，使其很容易與其它知識（如向量、圓錐曲線、函數、不等式等）進行交匯，命制考查學生綜合能力的試題；又因為在解決直線與圓、直線與圓錐曲線位置關系問題，所用到的思想方法是相似的，所以，命題者為了達到解析幾何試題的考查目標，又想控制合理的運算量，經常選擇以“直線與圓的位置關系”作為問題背景。

評注上述試題的已知條件都與圓有關，涉及的問題主要有：求圓的方程、求圓心軌跡方程、求參數值、求直線斜率取值范圍、求弦長、求距離的比值等都是解析幾何當中很常見、很平凡的問題，但都蘊含深刻的數學思想，對考生的綜合能力要求比較高.

2解析幾何復習建議

2.1關注解析幾何思想與坐標法的教學

國家教育部考試中心對每年試題的評價是：“試題圍繞著解析幾何的思想方法展開，突出數形結合思想與方程思想，側重對思想方法的理解和應用，同時還強調良好的運算求解能力，全面體現了解析幾何的考查目標”.盡管解析幾何題年年都在變化，但圍繞解析幾何的思想方法命制試題的思想是不變的，這一特點從每年的解析幾何題都不給圖形和坐標系就可感受到.在求解時要求考生首先自己畫出圖形與坐標系，這是考查運用解析幾何思想方法研究問題的第一步，即幾何問題代數化.所以，在復習過程中，應把重點放在對解析幾何思想和坐標法認識的不斷深化與認識上，若一味地去教題型，教套路，便與解析幾何“坐標法”的本質及考試目標相背離。

2.2強化運算能力，關注運算技巧

解析幾何的本質是在采用坐標法的同時，運用代數方法研究幾何對象，所以計算量大自然成了圓錐曲線問題的一大特點.教學過程中，引導學生將幾何問題轉化為代數問題后，常常需要進行一定量的計算，這些都是需要學生腳踏實地、親身經歷體驗地去完成，切忌只分析思路，而不動筆計算，以防出現解析幾何試題“一想就會，一算就錯”的現象.當然，這種強化學生進行運算，不是意味著教師可以削弱運算方面的教學，反而對教師提出了更高層次的要求，即要善于引導學生理解解析幾何的運算，理解解析幾何運算技巧所在.如在使用弦長公式時，對直線的方程采用不同的設法，對應的弦長公式也會不同，且不同的公式對運算的簡潔性是有很大的影響的。

評注四邊形MPNQ的面積等于它的兩條對角線的乘積的一半，此時就得分別求出弦MN，PQ的長度，那么，弦長公式的選擇對運算過程中運算量的大小就有很大的影響.當然，弦長公式的選擇與直線方程的設法是有關系的。