從函數性質的角度談函數形式的分析方法

肖君偉

函數形式的簡潔性和抽象性是函數學習中的重要特點，正是由于這種原因，函數形式的分析成為學生學習的瓶頸。函數的性質作為函數形式的集中體現是研究函數形式表達的很好的窗口。本文將通過對定義抽絲剝繭的分析，找到定義的實際內涵，同時為學生分析函數形式拓展提供一種通用的方法。

一、f（x）與y的區別

在研究函數性質之前，先弄清楚f（x）的意義，f（x）是指以x為自變量，對應法則為f，得到的函數值為f（x）。例如：f（1）表示自變量的值取1，對應法則為f，對應的函數值為f（1）。這里的對應法則f是一個抽象的概念，當對應法則具體的情況下，如f（x）=|x+3|-6，這時就說明對應法則為“自變量加3取絕對值之后再減去6”，相應的f（-7）=-2就是在這種對應法則下得到的結果。

在高中階段，函數值通常用f（x）和y兩個符號表示。根據以上分析可以看出，f（x）能夠表達出自變量取到何值時得到相應的函數值，如上題中的f（-7）=-2就是說自變量取-7的時候，相應的函數值為-2。而寫成y=-2則只能說明函數值為-2，至于自變量的值則無法體現，有可能是-7也有可能是1。由此可見f（x）表達出的含義要比y表達出的含義具體得多，符號f（x）集中反映了函數的三個基本要素。

分析清楚單調性定義的內涵后，函數單調性反映的圖像特征就可以相應地表示出來，自變量越大，對應的值越大，此時作出的圖像就是一個從左往右上升的圖像，反之所作出的圖像就是從左往右下降的圖像。

三、對稱性和奇偶性的定義分析

課本中只對函數的奇偶性定義描述為：定義域內的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）為奇函數；反之，定義域內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數f（x）為偶函數。

區別于函數的單調性，奇偶性研究時所取自變量是針對定義域內的任意一個數，而不是定義的某個部分；同時奇偶性研究時，首先取定義域內的兩個相反數x和-x，這就說明這兩個相反數都必須在定義域中，由此可見定義域必須關于原點對稱。由于x和-x對應的值分別是f（x）和f（-x），因此f（-x）=-f（x）表示函數值是相反數，而f（-x）=f（x）表示函數值是相等的。

把符號語言轉化為文字語言就是：當自變量相反時，對應的值也相反，說明函數f（x）是一個奇函數；當自變量相反，對應的值相等，說明函數f（x）是一個偶函數。

從以上文字語言分析中不難得出奇、偶函數相應的圖像分別是關于原點對稱和關于y軸對稱的圖像。

由于函數的奇偶性是函數對稱性的一種特殊情況，因此將函數的奇偶性推廣后，可以將函數的對稱性定義描述為：定義域內的任意一個x，都有f（a-x）=-f（a+x），那么函數f（x）關于點（a，0）對稱；反之，定義域內的任意一個x，都有f（a-x）=f（a+x），那么函數f（x）關于直線x=a對稱。

觀察到定義中自變量的取值分別為a-x和a+x，可得兩個自變量是以a為中點的自變量，一方面說明對稱性研究中定義域必須是關于a對稱的。另一方面可以拓展為以a為中點的兩個自變量。當具備滿足條件的兩個自變量對應的值為相反數或相等時，相應的都可以得到定義中的結果。如f（2a-x）=f（x）表示f（x）關于直線x=a對稱；而f（2-x）=-f（3+x）表示f（x）關于點（2.5，0）對稱。

四、周期性的定義分析

課本中對函數的周期性定義的描述為：對于函數f（x），如果存在一個非零實數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T就叫這個函數的一個周期。

周期性中自變量的取值分別是x+T和x，而且x是定義域內的任意一個數，其中的T是一個非零實數，既可以是正數又可以是負數。從x+T和x中可以看出這兩個變量的關系是間隔|T|個單位，它們對應的值分別是f（x+T）和f（x）。根據定義，對應值之間的關系是f（x+T）=f（x）。

據此分析可以得出周期性相應的文字語言是：如果間隔為|T|個單位的兩個自變量對應的值相等，那么函數f（x）就是周期函數。

由此可見，周期函數是以|T|為單位，圖像周而復始不斷重復出現。據此可得出，周期函數的周期不止一個，任意一個nT（n∈Z且n≠0）都可以表示該函數的一個周期。

將以上的分析整理成表格如下：

從中可以看出，在研究函數的表達形式時通常由研究范圍、定義域、自變量取值方法、對應值的關系及所表現的圖像特征幾個方面考察，其間還包含符號語言、文字語言和圖像語言之間的相互轉化，這樣的函數形式分析方法同樣適用于其他函數形式的分析。