“變式”在數學概念形成不同階段的運用思考

變式是在概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除由具體對象本身的非本質屬性帶來的干擾而提出來的。根據概念的不同類型和概念學習的不同階段而設計的變式，不僅可以在概念引入、形成的過程中使用，也可以在概念的應用中使用。變式作為概念學習的有效工具，能幫助學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，深化對數學概念的理解，最終實現對概念的本質屬性和規律的把握。本文試圖以數學概念學習的各個環節為著眼點，探討變式在每個環節的不同呈現方式和作用。

一、以“變式”現原型，引入概念

在學習一個新概念前，往往需要根據概念的特點和類型，尋找適合呈現的方式。通過變式移植概念，教師可將概念還原到客觀實際（如實例、模型或已有經驗等），以引出概念。而這個變更了概念存在的形式和環境的變式，恰是與新概念最相似的原型，為學生接受、理解概念本身提供有效的幫助。

1.以原型的變式為情境，引入概念

如在教學“分數的初步認識”時，教師出示情景圖：兩個小朋友在郊游，旁邊放著兩瓶礦泉水，四個蘋果，一個蛋糕。

師：同學們準備怎么分？

生1：一人一瓶礦泉水，每人兩個蘋果（復習平均分）。

師：一個蛋糕也能平均分嗎？你能用一個數表示嗎？

生1：一半。

生2：0.5。

生3：1/2。

教師改變了概念背景，以一種情景的變式呈現。有的學生不理解1/2的概念，有的學生聽說過，但理解模糊。通過分蛋糕的例子，教師將平均一分為二的情景作為1/2分數概念最貼切的變式呈現，讓學生一下子就能從中提取新知的原型，快速進入概念本身。

2.以形式的變式為媒介，引入概念

在“乘法分配律”的教學中，教師提出這樣的問題：喜歡猜謎語嗎？請猜幾個人的名字，出示“木×（2+3）=”。在學生猜后揭示：木×2+木×3=林森。第二次猜：金×（1+3）=？學生猜后出示：金×1+金×3=金鑫。

乘法分配律是學生比較難理解的數學模型之一，特別是對其表達形式的掌握。如果教學時馬上從解決問題入手，讓學生直接從問題的解決過程中去提取分配律的模型，無疑使學生面臨了感知模型和解決問題這兩大困難，對學生造成了一定的認知阻礙。而課前這樣一個游戲的設計，既能有利地驅動學習的興趣和內驅，更讓學生直觀地感知了這個數學概念的具體表達形式。不難發現謎面和謎底的組合就是乘法分配律的字母表示形式（a+b）×c=a×c+b×c的呈現。

二、以“變式”為工具，形成概念

數學概念的形成大致需經歷辨別各種刺激、分化各種刺激屬性、概括刺激的共同屬性、形成概念四個環節。變式是概念形成中的一種有效刺激，讓學生在認知水平的基礎上，對各類刺激的各個屬性予以分析、辨認、分化、比較，概括出共同的特征，并歸納形成概念。可以說數學概念就是通過對變式進行比較，舍棄非本質屬性并抽象出本質屬性而建立起來的。

1. 以變式作辨析工具，形成概念

在“認識四邊形”的教學中，第一環節出示各種各樣的圖形，請學生畫出認為是四邊形的圖形，反饋學生的想法后，得出四邊形有四條邊與四個角。

師呈現變式材料：下列圖形，哪些是四邊形，為什么？（如圖1-圖6）

生1：圖1不是四邊形，因為邊是彎的。

生2：圖3不是四邊形，因為沒有封起來。

……

師：非常好，那同學們認為怎樣的圖形才是四邊形？

生3：有四條直的邊、四個角的封閉圖形是四邊形。

四邊形概念的形成要經歷一個融合的過程，并以某種修正的形式反復出現。學生能借助原有的知識和生活中積累的物體經驗，初步感受并概括出四邊形具有四條邊、四個角的特點，但這個概念的概括還不夠全面。變式材料的呈現就解決了這個問題，學生通過分析反面例證，剖析與概念本身之間本質的區別，提取四邊形“直的邊、封閉圖形”這些關鍵詞，嚴密了四邊形的定義，豐富了概念的內涵。

2. 以變式作比較工具，形成概念

在形成概念時，分類比較是一種有效的手段，是獲得概念的基礎。變式則能促進有效比較，促進概念形成。在“垂直與平行”的教學中，筆者設計了以下的教學環節：

師：把這個屏幕想象成一個無限大的平面，如果再畫一條直線，兩條直線會怎么樣？

教師讓學生在白紙上畫好，呈現學生的材料。（如圖①-圖⑦）

小組討論后交流。

生1：②④⑥已經相交， " ①⑤⑦馬上相交，

③不相交。

學生在經歷討論后形成共識：同一平面內兩條直線的位置關系分為相交和不相交，其中相交成90度就是互相垂直，永不相交就是互相平行。

學生在建立相交這個概念時，對圖②④⑥產生直接的“相交”感知結論，而對圖①⑤⑦的理解，還存在一個動態的過程。當學生提取“直線可以無限延長”這個知識時，就更改了自己原先的想法，認為①⑤⑦也是一種相交。這種本質屬性的得出就是學生從大量同類事物的不同變式中，經過比較，從而尋找到概念的本質意義所在，最終促進概念的形成。

三、以“變式”作腳手架，應用概念

在概念形成中，當學生掌握了許多概念的具體例證后，需要把新概念的共同屬性推廣到同類事物中去。這既是在更大范圍內修正概念的過程，又是一個概念的應用過程。從中可以檢驗概念的本質屬性是否已經被學生真正理解，獲得的新概念是否與已有認知結構中的相關概念建立起了實質性的聯系。在概念的應用環節，變式就是通過變更對象非本質屬性的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出概念的本質屬性，在應用中促進概念的內化。

1.以變式為推廣的腳手架，應用概念

在“積的變化規律”教學中，筆者安排了以下的學習環節：

根據16×5=80，直接寫出結果：

16×10= " " " " " "16×30=

16×20= " " " " " "16×35=

師：昨天我們學習了一個因數變，一個因數不變，積也會變。那如果兩個因數同時變，積會怎么樣？兩個因數同時擴大，積會發生怎樣的變化呢？

為了便于大家研究，筆者提供了一個材料：25×24=

在案例中，變式應用跨越了兩節課的學習內容。學生已經掌握了“一個因數變，一個因數不變，積也會變”的變化規律。在此基礎上，開展“兩個因數同時改變，積會怎么變”的探究。呈現積的變化規律幾種不同的存在形式，利用變式、創造變式，促進認知結構的內化。

2.以變式為抽象的腳手架，應用概念

過于抽象的理解及建立在代數層面上的公式推導會給學生建立數學概念造成極大的認知困難。通過變式，將抽象的數量具體化，反而會促進學生對數學概念的理解。如在“圓的面積”的教學中，學生已將圓剪拼成近似的平行四邊形，并清楚地知道平行四邊形的底相當于圓周長的一半，半徑相當于高，就可直接將半徑的長度告訴學生。

師：現在已知圓的半徑是5cm，你能計算圓的面積嗎？

生思考后板書反饋：

3.14×5×2=31.4cm " 31.4÷2×5=78.5cm2

師：半徑是10cm話，圓的面積怎么算？

再次反饋：

C=3.14×10×2=62.8cm " 62.8÷2×10=314cm2

師：現在半徑用r表示，圓的面積是多少？

反饋：

3.14×r×2=6.28rcm " 6.28r÷2×r=3.14r2=πr2

在學生清楚圓的面積與轉化后的平行四邊形面積之間的關系后，其實已經理解圓面積的意義，并會計算圓的面積了，只是沒有形成代數表示方法，即S=πr2的歸納和提煉過程。在此基礎上，教師要為學生提供具體的數字來計算圓的面積，從而引入圓面積計算公式的推導。這里借用具體數字來引領推導，意在通過改變圓面積計算的不同的空間表現形式，通過變更問題的條件，來轉化問題的形式和內容。其目的是為了使學生對概念的認識更加精確、穩定和易于遷移，凸顯本質屬性。

（作者單位：浙江省海寧市紫薇小學）

（責任編輯：張迿）