螺旋線偏差對圓柱齒輪副振動的影響規律研究

常樂浩, 賀朝霞, 劉 更

(1.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064;2.西北工業大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室， 西安 710072)

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螺旋線偏差對圓柱齒輪副振動的影響規律研究

常樂浩1, 賀朝霞1, 劉 更2

(1.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064;2.西北工業大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室， 西安 710072)

綜合計入時變嚙合剛度激勵、誤差激勵和嚙入沖擊激勵，建立了圓柱齒輪副彎扭軸耦合動力學模型，分析了不同形式螺旋線偏差對直齒輪副和斜齒輪副振動的影響規律。結果表明，螺旋線偏差對直齒輪副振動幾乎不產生影響，但對斜齒輪副振動影響顯著，其中中凹螺旋線齒輪的振動最大；負螺旋角偏差齒輪振動次之；在多數載荷情況下，正螺旋角偏差齒輪的振動要小于理想螺旋線齒輪；中凸螺旋線齒輪的振動最小。因此，螺旋線偏差在分析直齒輪副振動時可以忽略，但在分析斜齒輪副振動時則需要計入才更為合理。

螺旋線偏差；齒輪承載接觸分析；直齒輪；斜齒輪；振動

齒輪制造誤差是一種引起齒輪傳動裝置振動的重要激勵形式。誤差的存在使齒面實際嚙合點偏離理論嚙合點，形成嚙合過程中的一種位移激勵。齒輪誤差種類繁多，在最新的齒輪誤差國標GB/T 10095.1中規定[1]，齒廓偏差、齒距偏差和螺旋線偏差是輪齒同側齒面偏差評定時必須檢驗的項目。李潤方等[2]認為齒廓偏差和齒距偏差是齒輪誤差激勵中的主要因素，在ISO 6336[3]計算齒輪副動載系數時也僅考慮了這兩項誤差的影響。KUBO等[4-8]分別研究了這兩種偏差的影響，發現具有不同分布形式的齒廓偏差和齒距偏差時，齒輪系統的振動強弱有著明顯的區別。

螺旋線偏差作為影響齒向載荷分布的重要因素，在分析齒輪強度時被廣泛考慮，卻較少地被計入在齒輪系統動力學分析中。然而OGAWA等[9]在研究含螺旋線偏差直齒輪副的振動特性時，發現螺旋線偏差會使齒輪副嚙合剛度降低，從而降低系統共振轉速并影響系統動態響應。另外，由于斜齒輪的螺旋線與接觸線不平行，螺旋線偏差的存在勢必影響瞬時實際接觸線位置，引起位移激勵影響系統振動。因此，研究齒輪系統振動對螺旋線偏差的敏感性并分析影響規律，對齒輪系統減振降噪設計具有重要的指導意義。

本文建立了一對圓柱齒輪副彎-扭-軸耦合動力學模型，綜合考慮嚙合剛度激勵、誤差激勵和嚙合沖擊激勵，研究了具有不同分布形式螺旋線偏差時直齒輪和斜齒輪的動態響應規律，為進一步提出螺旋線偏差控制原則奠定了理論基礎。

1 齒輪嚙合剛度與綜合誤差

齒輪在嚙合過程中由于嚙合齒對數和嚙合位置的變化，使齒輪嚙合剛度產生周期性的波動。當存在齒輪誤差時，齒面實際接觸狀態會發生改變。特別是當載荷較小或誤差較大時，多數理論接觸點將無法參與接觸，會直接導致齒輪副總變形和嚙合剛度與理想齒輪產生差異。這一結論在文獻[10]中均有所體現。另一方面，受嚙合輪齒間變形的影響，齒面誤差實際作用量在不同載荷時將有所不同，其詳細變化規律可參考文獻[11]。然而目前許多有關齒輪系統動力學的研究中，齒輪的嚙合剛度均以無誤差條件下的數值代入，綜合誤差曲線采用假定幅值的簡諧函數表示，忽略了兩者之間的相互影響效果。

作者在文獻[8]中建立了齒輪副的承載接觸分析模型，可以考慮不同齒面誤差(如齒廓偏差、螺旋線偏差)分布對嚙合剛度和綜合誤差的影響。當求得齒面接觸點載荷分布向量{F}和靜態傳遞誤差xs后，單個離散接觸點的變形Δi可由xs與該點原始誤差Ei求出:

Δi=xs-Ei

(1)

單個接觸點的剛度ki為:

(2)

齒輪副實際嚙合剛度km為所有接觸點剛度之和：

(3)

式中：N為所有接觸點個數。

與單個接觸點的變形關系類似，齒輪副綜合誤差em為傳遞誤差xs與綜合變形Δ之差，即:

em=xs-Δ=xs-P/km

(4)

式中：P為齒輪副傳遞的靜載荷。

根據式(4)可得到齒輪副靜態平衡方程為:

km(xs-em)=P

(5)

從式(2)可以看出，若某個接觸點未實現接觸，則該點的載荷Fi為0，其單點接觸剛度ki也為0。所以當齒面在螺旋線偏差影響下出現部分接觸時，由式(3)可知齒輪實際嚙合剛度將會減小，進而影響綜合誤差的大小。當載荷增加至齒面實現完全接觸時，實際嚙合剛度和綜合誤差將基本不變。

2 嚙合沖擊力

輪齒在進入嚙合和退出嚙合時，由于彈性變形和誤差的影響，會使主、從動齒輪實際嚙合基節不相等，使實際嚙合點偏離理論嚙合線，產生瞬時速度差和線外沖擊力。由于嚙入沖擊力一般明顯大于嚙出沖擊力，所以此處僅考慮嚙入沖擊力的影響。主從動輪在進入嚙合瞬時的實際基節之差用“嚙合合成基節偏差”fpbe表示，其大小為:

fpbe=Δn+fpbn

(6)

式中：Δn為齒輪副在少齒嚙合結束時的法向相對變形量；fpbn為進入嚙合輪齒與前一個輪齒之間的等效基節偏差。Δn的大小為:

Δn=P/kLE

(7)

式中:kLE為少齒嚙合結束時嚙合剛度km的數值。

等效基節偏差fpbn主要受齒距偏差影響，同時受到齒廓偏差和螺旋線偏差的影響。當只存在螺旋線偏差時，直齒輪和斜齒輪等效基節偏差在嚙合面上的合成示意圖如圖1所示。Emin(0)為從動輪齒在進入嚙合瞬時接觸線上的螺旋線偏差最小值，Emin(tz)為前一個輪齒瞬時接觸線上的螺旋線偏差最小值，tz為嚙合周期。這樣，在進入嚙合瞬時輪齒的等效基節偏差為:

fpbn=Emin(tz)-Emin(0)

(8)

圖1 螺旋線偏差引起的等效基節偏差Fig.1 Equivalent pitch error due to helix deviation

從圖1可以直觀看出，對于直齒輪，由于接觸線方向與端面齒廓方向正交且與螺旋線方向平行，所以螺旋線偏差不會改變等效基節偏差的大小。而對于斜齒輪，由于接觸線方向與螺旋線方向呈一定夾角，等效基節偏差將受到螺旋線偏差的影響。

求得“嚙合合成基節誤差”后，根據幾何嚙合關系可求得實際嚙入點位置和兩齒輪瞬時相對速度Δv[12]。根據沖擊動力學相關理論，可得最大沖擊力Fsmax為:

(9)

式中：mred為系統的等效質量；J1、J2分別為主、從動齒輪的轉動慣量；ks為進入嚙合輪齒在嚙入點的單齒嚙合剛度；rp、rg分別為主、從動齒輪的基圓半徑。

由沖量定理可知，沖擊作用時間tc為:

(10)

假設沖擊力為一半正弦脈沖，則沖擊力函數fs(t)為:

fs(t)=Fsmaxsin(ωct) 0≤t≤tc

(11)

式中:ωc=π/tc為半正弦波的角頻率。

3 動力學建模

由于直齒輪可以看作螺旋角為0的斜齒輪，為不失一般性，此處以一對斜齒輪副為例建立動力學模型。在不考慮齒面摩擦的情況下，斜齒輪副彎-扭-軸耦合的動力學模型如圖2所示。圖中下標p表示主動輪，下標g表示從動輪。

圖2 斜齒輪副動力學模型Fig.2 The dynamic model of a helical gear pair

將圖2中各齒輪振動位移向嚙合線方向投影，可得嚙合線相對總變形為:

δ=VX-em

(12)

式中：X= {xp,yp,zp,θzp,xg,yg,zg,θzg}T，表示兩齒輪的位移列向量；em為綜合誤差；V為各方向位移向嚙合線方向轉化的投影矢量，可用下式表示:

V=[cosβbsinφ,cosβbcosφ,sinβb,rpcosβb,

-cosβbsinφ,-cosβbcosφ,-sinβb,rgcosβb]

(13)

式中：rp和rg分別為主、從動輪的基圓半徑；βb為基圓螺旋角；角度φ=α-φ，α為嚙合角，φ為從動輪安裝相位。

根據牛頓第二定律，可得系統運動微分方程組為:

式中：mi(i=p, g)分別為主、從動齒輪質量；Izi(i=p,g)分別為主、從動輪繞z軸的轉動慣量；km和cm分別為綜合嚙合剛度和嚙合阻尼；kij,cij(i= p,g;j=x,y,z)分別為齒輪i沿j向的支撐剛度和阻尼；T1和T2分別為齒輪1和齒輪2的扭矩。

將式(12)代入方程組(14)中，并加入沖擊力后整理成矩陣形式為:

(15)

式中：M，C和K分別為系統質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；e為綜合誤差向量；Fs為嚙入沖擊力在各自由度的分量。

根據作者在文獻[8]中的有關推導，可以將式(15)所表示的參變微分方程組近似轉化為如下形式的定常微分方程組：

(16)

式中：X0和ΔX分別為動態位移的均值和波動部分；K0和e0分別為剛度和誤差均值；Fs為沖擊激振力；FTE為傳遞誤差激振力，定義為:

(17)

式中：ΔK和Δe分別為嚙合剛度和綜合誤差的波動部分；Xs為靜態傳遞誤差向量。從式(17)可以看出，此傳遞誤差激振力包含了時變剛度項和時變誤差項的影響，為兩者的綜合效果。

對于式(16)所示的定常微分方程，可避免使用數值積分方法求解。本文使用傅里葉級數法[13]直接求解其穩態解ΔX，進一步得到系統位移響應X=X0+ΔX。

4 螺旋線偏差對齒輪系統振動的影響

4.1 螺旋線偏差參數描述

為分析螺旋線偏差的影響，分別以直齒輪、螺旋角為15°的斜齒輪為例進行計算，兩齒輪副參數如表1所示。由于大齒輪誤差值一般要明顯大于小齒輪誤差值，參照GB/T 3480—1997中計算動載系數的作法，僅以大齒輪誤差代入計算模型。假設螺旋線偏差在齒寬方向按以下五種形式變化，分別為理想螺旋線、中凸螺旋線、中凹螺旋線、正螺旋角偏差和負螺旋角偏差，其中正、負螺旋角偏差沿齒寬方向以直線形式變化，中凸、中凹螺旋線以拋物線形式變化，如圖3所示。假設各類偏差具有相同的幅值Fβ=5 μm，當偏差偏向齒體內部，即兩齒輪接觸點產生間隙時，值為正；當偏差偏向齒體外部時，值為負。根據圖1中嚙合面上相鄰齒接觸線上的偏差分布和式(8)計算的等效基節偏差如表2所示。與直齒輪不同，由于斜齒輪的螺旋線偏差是傾斜的，斜齒輪正螺旋角偏差和中凸螺旋線偏差會引起一定的基節偏差量。

表1 齒輪副基本參數Tab.1 Basic parameters of the analyzed gear pairs

圖3 各類型螺旋線偏差示意圖Fig.3 Schematic diagram for different helix deviations表2 不同螺旋線偏差對應的等效基節偏差Tab.2 Equivalent pitch errors for different helix deviations

fpbn/μm正螺旋角偏差負螺旋角偏差中凸螺旋線中凹螺旋線0°000015°-3.3720-50

4.2 對直齒輪振動的影響

對于不同分布形式的螺旋線偏差，分別通過式(4)、式(5)和式(11)計算嚙合剛度、綜合誤差和嚙入沖擊力，并代入式(16)可求解系統的動態響應。

選取輸入轉速為4 000 r/min，不同螺旋線偏差對應直齒輪副的動載荷波動量Fd隨負載扭矩T的變化曲線如圖4所示。由圖中曲線可知，不同類型螺旋線偏差所對應的動載荷波動量與理想齒輪數據差異并不明顯。這說明對直齒輪副而言，螺旋線偏差基本不影響系統的振動。

圖4 直齒輪動載荷波動量Fig.4 Fluctuations of dynamic mesh forces for spur gears

為了分析這種現象的原因，圖5和圖6給出了不同扭矩下各類型螺旋線偏差所對應的傳遞誤差激振力波動值和沖擊激振力大小。由于直齒輪接觸線與理論螺旋線相平行，所以無論螺旋線偏差如何改變，實際嚙合的齒對數始終與理論嚙合的齒對數相等，圖5中各類型螺旋線對應的傳遞誤差基本不發生變化。同時對于直齒輪來說，齒廓方向和螺旋線方向是正交的，螺旋線偏差不會產生“嚙合合成基節偏差”，所以圖6中各類型螺旋線下的嚙入沖擊力均與理想齒輪基本相等。導致圖6中各嚙入沖擊力產生微小差異的原因在于，誤差的影響使齒輪副嚙合剛度會比理想齒輪略有減小，使式(7)中進入嚙合瞬時的彈性變形Δn以及式(9)中單齒剛度ks與理想齒輪產生差異，進而使嚙入沖擊力略有改變。

圖5 直齒輪傳遞誤差激振力Fig.5 Exciting forces due to transmission errors for spur gears

圖6 直齒輪沖擊激振力Fig.6 Impact forces for spur gears

4.3 對斜齒輪振動的影響

同樣選取輸入轉速為4 000 r/min，不同螺旋線偏差對應斜齒輪副的動載荷波動量Fd隨負載扭矩T的變化曲線如圖7所示。與直齒輪不同的是，不同形式的螺旋線偏差對斜齒輪的振動具有明顯影響。從圖7中可以看出，在輕載(T=300 N·m)時，理想齒輪具有最小的動載荷；隨著扭矩的增大，多數扭矩下動載荷從小到大的順序為中凸螺旋線<正螺旋角偏差<理想齒輪<負螺旋角偏差<中凹螺旋線。

圖8和圖9分別為不同扭矩下各類型螺旋線偏差的傳遞誤差激振力和沖擊激振力對比。可以發現，不同螺旋線偏差對應的激振力大小差別顯著，這一點與直齒輪有明顯不同。分析后可總結出以下幾點規律：

(1)中凹螺旋線在各扭矩下的傳遞誤差激振力和沖擊激振力均為最大，所以其對應的動載荷在各類型偏差齒輪中始終是最大的。

(2)由于中凸螺旋線會產生負的等效基節偏差fpbn，在載荷較小(T=300 N·m)時，輪齒變形較小，由式(6)可知“嚙合合成基節偏差”fpbe為負，從而不產生嚙合沖擊力。然而由于其傳遞誤差激振力大于理想齒輪，所以導致此時中凸螺旋線偏差的振動大于理想齒輪。這從側面反映出在輕載時，傳遞誤差對系統振動的影響程度要大于嚙合沖擊力。當扭矩大于或等于900 N·m時，中凸螺旋線齒輪的兩類激振力均小于理想齒輪，所以其振動也明顯小于理想齒輪。

圖7 斜齒輪動載荷波動量Fig.7 Fluctuations of dynamic mesh forces for helical gears

圖8 斜齒輪傳遞誤差激振力Fig.8 Exciting forces due to transmission errors for helical gears

圖9 斜齒輪沖擊激振力Fig.9 Impact forces for helical gears

(3)正螺旋角偏差齒輪在載荷較小時動載荷大于理想齒輪的原因與中凸螺旋線相似。從圖8和圖9中可以看出，在所有扭矩下正螺旋角偏差齒輪的傳遞誤差激振力略大于理想齒輪，而嚙合沖擊力則遠小于理想齒輪。由于隨著扭矩的增加，傳遞誤差激振力的影響程度會減弱，所以在多數扭矩下正螺旋角偏差齒輪的動載荷會略小于理想齒輪。

(4)負螺旋角偏差齒輪在各扭矩下的兩類激振力均略大于理想齒輪，所以其動載荷也略大于理想齒輪。雖然其傳遞誤差激振力與正螺旋角偏差齒輪基本相等，但由于其沖擊力遠大于正螺旋角偏差，所以其動載荷也大于正螺旋角偏差齒輪。

(5)從圖7可以看出，當扭矩小于1 500 N·m時，中凸、凹螺旋線偏差齒輪的動載荷波動量隨扭矩呈明顯的非線性變化；而當扭矩大于1 500 N·m時，各類型偏差齒輪的動載荷波動量均基本上隨扭矩呈線性變化，且與理想齒輪變化率基本相等。這是由于齒面在扭矩較小時并非完全接觸，在誤差影響下由傳遞誤差引起的激振力呈非線性變化，如圖8所示。當扭矩增加至足以使齒面實現完全接觸時(T>1 500 N·m)，誤差的影響不再改變，輪齒變形在傳遞誤差中逐漸占據主導作用，各類型偏差齒輪動載荷隨扭矩的變化情況基本與理想齒輪一致。

5 結 論

本文分別以一對直齒輪和斜齒輪為對象，綜合考慮嚙合剛度、齒輪誤差和嚙合沖擊激勵，通過建立齒輪副彎-扭-軸耦合動力學模型，研究了不同螺旋線偏差分布形式對齒輪系統振動的影響規律。分析結果表明：

(1)螺旋線偏差對直齒輪系統的振動幾乎不產生影響，所以在分析直齒輪系統動態響應時不考慮螺旋線偏差的作法是合適的。

(2)由于斜齒輪接觸線與螺旋線方向并非平行，螺旋線偏差會明顯影響到斜齒輪傳遞誤差和嚙合沖擊力，從而改變系統動態響應。理想齒輪在輕載時具有最小的振動，而在中等和重載條件下，中凹螺旋線的斜齒輪具有最大的振動，其次為負螺旋角偏差齒輪，正螺旋角偏差和中凸螺旋線齒輪均具有小于理想齒輪的振動，且中凸螺旋線齒輪的振動最小。由此可知，以往許多文獻在進行斜齒輪系統動力學分析時，只考慮齒廓偏差和齒距偏差的影響是不夠的，必須計入螺旋線偏差的影響才更為合理。

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Effects of helix deviations on the vibration of cylindrical gear pairs

CHANG Lehao1, HE Zhaoxia1, LIU Geng2

(1. Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of Ministry of Education, Chang’an University, Xi’an 710064, China;2. Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

A transverse-rotational-axial coupled dynamic model for cylindrical gear pairs was built, considering the excitations of time-varying mesh stiffness, gear error and meshing impact. And the effects of helix deviation on the vibration of spur and helical gear pairs were investigated. The results show that the helix deviation has little effects on the vibration of spur gears but has remarkable influences on the vibration of helical gears. The concave helix always brings the largest vibration, and the negative helix angle errors induce smaller dynamic loads than the concave helix. Under most load conditions, the positive helix angle errors bring a smaller vibration than the ideal helix does and the convex helix gives the smallest vibration among all. Therefore, the helix deviation can be neglected when studying the dynamic responses of spur gears but should be taken into account when studying the dynamic responses of helical gears.

helix deviation; loaded tooth contact analysis; spur gear; helical gear; vibration

國家自然科學基金項目(51535009;51205029)

2015-07-17 修改稿收到日期：2015-09-18

常樂浩 男，博士，講師，1987年1月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.013