桅桿結構風振系數研究

鄧洪洲, 徐海江， 馬 星

(1.同濟大學 建筑工程系，上海 200092； 2.南澳大利亞大學 自然與建筑環境系，阿德萊德 5095)

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桅桿結構風振系數研究

鄧洪洲1, 徐海江1， 馬 星2

(1.同濟大學 建筑工程系，上海 200092； 2.南澳大利亞大學 自然與建筑環境系，阿德萊德 5095)

基于隨機風振理論，推導了桅桿結構桿身和纖繩風振系數計算公式；結合高聳結構設計規范的修訂，分析了原規范桿身風振系數計算公式存在的問題；基于新荷載規范的改動，給出了桿身風振系數計算方法，更新了纖繩風振系數計算參數表格；通過算例分析發現，桿身振型可按無風狀態計算且計算桿身風振系數時可只考慮前四階振型的貢獻；時程分析結果表明，桿身各段取四點計算風振系數的方法精度較好，計算簡便；由于新荷載規范提高了脈動風荷載的峰值因子和湍流度，纖繩風振系數增大約20%。

桅桿結構;風振系數;纖繩;高聳結構;設計規范

桅桿結構是由單個桿身和多層斜向布置的纖繩組成的高聳結構，廣泛應用于通訊、廣播電視等領域，因其剛度小，質量輕，風荷載是主要的控制荷載之一。由于纖繩這種細柔結構的支撐作用，桅桿結構表現出較強的非線性，計算時應考慮纖繩振動對桿身振動的耦合影響[1]。王肇民等[2]通過對纖繩和桿身的動力特性分析，建立了纖繩在不同端部約束情況下平面內、平面外以及弦向自由振動方程，提出了桿身自振特性和桅桿全方位動力剛度的計算方法，并指出纖繩的作用會導致桿身振型在第一層出現負值。風洞試驗和風振實測[3-5]結果表明，隨著風速的增大，響應譜曲線從能量比較低的稀疏型向能量比較高的連續型變化，結構的非線性程度越來越大，隨著風速的增加高階振型的貢獻增加，風振計算中應考慮多階振型的影響。

國外規范主要采用陣風系數法計算桅桿結構的風振響應。MATERAZZI等[6]通過定義“陣風系數函數”(gust function)對陣風系數法進行了改進并研究了振型數量對響應計算的影響。我國的1990版高聳結構設計規范[7]采用風振系數對桅桿結構靜態響應做等效放大，桿身和懸臂段均取單一數值，即高度不同、纖繩層數不同時，風振系數相同，這樣的簡化與實際不符。2007版高聳結構設計規范[8](以下簡稱07版規范)采用的桿身風振系數簡化計算公式考慮了四階振型的影響，纖繩風振系數按荷載等效的原則沿全長取等值[9]。

本文結合高聳結構設計規范的修編工作，并根據2012版建筑結構荷載規范[10](以下簡稱新版荷載規范)相關條文的改動，分析了07版規范中桅桿結構風振系數計算公式在實際工程應用中的一些問題。提出了新的桿身風振系數簡化計算公式，推導了纖繩風振系數計算公式，根據新版荷載規范更新了計算表格，勘誤了一些內容。最后通過算例給出了桅桿風振系數的計算過程，分析了計算精度。

1 桿身風振系數

1.1 桿身風振系數推導

根據隨機風振理論可推導出纖繩平面內對稱振動的第j振型的等效風振力[11]：

pdj(x)=ξjujφj(x)m(x)w0

(1)

式中:ξj為第j振型的脈動增大系數，uj為考慮脈動風壓和空間相關性的脈動影響系數，x為纖繩沿弦向的局部坐標，φj(x)為第j振型在x處的值，m(x)為纖繩的質量線密度，w0為基本風壓。

uj的計算式如下：

(2)

桿身風振系數的計算方法和理論與纖繩相同，只是把沿纖繩長度l的積分改為沿桿身高度H的積分。

由于高階振型的影響不能忽略，考慮前四階振型的貢獻，并采用平方和開方法(SRSS)求得等效風振力pd(z)。07版規范采用慣性荷載法計算風振系數，并假定迎風面寬度lz(z)、質量線密度m(z)以及體型系數μs(z)沿高度不變，得到風振系數計算公式：

(3)

式中:ps(z)為z高度處的平均風荷載。

1.2 07版規范風振系數討論

07版規范附錄中給出的風振系數計算公式：

(4)

(5)

將式(5)和式(6)代入式(4)的結果與原式(3)完全相同。定義參數ε1w和ε2wn是為了方便編制表格。

為了簡化計算，令桿身頂點處各階振型為1，得到頂點處風振系數計算式：

βz(H)=1+ξε1wε2w

(7)

(8)

對于桿身其它位置，按照第一階振型調整，即:

βz(z)=1+ξε1wε2wφ1(z)

(9)

式(9)中風振系數沿高度的分布僅與一階振型φ1(z)有關；但實際上桿身下端的風振響應主要受高階振型影響且一階振型可能出現負值，這樣按式(9)計算的風振系數就小于1，不符合實際情況。采用四階振型求和取平均的方法，較規范式(9)有改進，但是意義不明確。由于各階振型的貢獻隨高度變化，用φ1(z)表示不合理，如果用等效振型φe(z)替代φ1(z)可能是一條可行的途徑，但φe(z)與哪些參數有關、如何取值仍有待研究。

由于桿身高度或纖繩布置等不同時，桿身振型不同，難以歸納。07規范中參數ε2w與高度、地貌、頻率和振型等有關，而規范中將影響因素歸并為桿身與纖繩的剛度比、纖繩層數等參數，其精確性有待驗證，且計算較復雜，不便實際應用。

1.3 風振系數建議式

依據新荷載規范，脈動系數uf(z)和風壓高度系數μz(z)的表達式分別為:

(10)

(11)

式中:g，I10，b，α分別為峰值因子，10 m高的湍流度以及地貌類別參數，在新版荷載規范中的取值見表1。

把式(10)、式(11)代入式(3)，整理得到：

(12)

式(12)中含有雙重積分，需編程計算，工程應用不便。

表1 新版荷載規范的參數取值Tab.1 Parameters in new load code

通過多個算例分析發現，桿身各段的風振系數隨著高度增加并非單調變化，而是兩端小，跨中大。用上下各四分之一點、中點以及上端點即可大概描述出該段風振系數的變化規律。

每段取這些位置的4個點作為參考點，n段共計N=4n個點。為了簡化，設每小段的長度為dH=H/N，點的編號自下而上分別為1,2，…，N，則式(12)改寫為：

(13)

式中:

(14)

(15)

(16)

式中:φj(i)為第j振型在第i個點所在位置處的值。

由于有限元軟件應用的普及，目前在桅桿初步設計時一般已實現整體建模，上述公式中桅桿的振型和自振頻率可通過有限元軟件進行模態分析得到，這樣式(13)中的風振系數就可以采用EXCEL計算，較為簡便。

2 纖繩風振系數

由于纖繩的風激振動主要影響纖繩的張力變化，第一振型影響起主要作用。將纖繩沿弦向的積分變為沿高度的積分，式(3)變為:

βz(z)=1+ξεq(z)

(17)

式中:

對于兩端鉸接的懸索結構，在非均布荷載q(z)的作用下，跨中最大彎矩為：

(19)

假定纖繩的有效寬度為D，當風振系數隨高度變化時:

q(z)=(1+ξεq(z))μsμz(z)w0D

(20)

為了簡化計算，εq沿纖繩全長取等值，此時:

q(z)=(1+ξεq)μsμz(z)w0D

(21)

將式(20)、式(21)分別代入式(19)中并令跨中彎矩相等，利用纖繩一階振型關于跨中對稱的性質，求得等效εq的計算式為:

(22)

式中:纖繩一階振型的表達式為:

(23)

(24)

而λ2與β存在對應關系:

(25)

由于新荷載規范的改動，εq的取值也相應進行了調整(見表2)。表中變化范圍的數字是A類至D類地貌，B類取該數字范圍約為0.1處，C類取0.5處。由于350 m以上數值變化很小，此處不再列出。由式(22)及表1可以看出，εq的變化主要取決于峰值因子g與10 m高的湍流度I10，由于新荷載規范提高了峰值因子和湍流度，A類至D類地貌εq增加了40%～60%。

表2 綜合考慮風壓脈動、高度變化及振型影響的系數εqTab.2 Coefficient εq in comprehensive consideration of wind pressure fluctuation, height and modes

3 實例分析

3.1 基本參數

本文以一個三層三方纖繩的桅桿(見圖1)為例，比較了采用計算公式和時程模擬得到的風振系數。桅桿高度為156.1 m，桿身為圓鋼組合構件，斷面為等邊三角形，寬1.5 m，彈性模量E=2×105N/mm2，各層纖繩的直徑均為30 mm，彈性模量為Ek=1.2×105N/mm2，初應力σ0=250 N/mm2；基本風壓w0=1.0 kN/m2，B類地貌，風向角為0°。

圖1 桅桿的幾何參數Fig.1 Geometry of the guyed mast

3.2 公式計算結果

桅桿自振頻率密集，為確定桿身自振特性，先采用Ansys軟件建立桿身-彈簧模型，將纖繩作用簡化為彈簧，由模態分析得到桿身自振頻率，再建立桿身-纖繩模型，找出對應的最接近的頻率及相應的振型。

纖繩的靜力剛度包含純粹彈簧剛度和纖繩瞬時幾何剛度兩部分，不同工況(無風，基本風速分別為24 m/s，30 m/s，36 m/s和40 m/s)下纖繩的剛度見表3。隨著風速的增加，纖繩剛度減小，其中第三層纖繩剛度降幅最大，減小了約55%。

表3 不同工況下纖繩剛度Tab.3 Stiffness of cables under different conditions kN/m

通過模態分析得到的不同工況下桿身自振頻率見表4。隨著風速的增加，雖然纖繩剛度變化較大，但是，桿身自振頻率變化很小，且桿身前三階振型變化幅度很小，四至六階振型基本重合(限于篇幅此處振型未列出)，故可以用無風時的桿身自振特性替代。

表4 不同工況下桿身自振頻率Tab.4 Frequencies of rod under different conditions Hz

風速為40 m/s時的桿身前四階振型如圖2所示。從圖中可以看出，下端一階振型存在負值，與前面的分析一致。

圖2 桅身前四階振型Fig.2 First four modes of mast

不同工況下桿身風振系數按式(13)計算結果如圖3所示。由上述分析可知，隨著風速的增加，桿身風振系數增大的主要原因是脈動增大系數ξj的變化。隨著高度的增加，桿身風振系數并不單調增加，而是在各段端點處取值最小，跨中取值最大，曲線呈S形。

根據式(3)用Matlab軟件編寫了風振系數計算程序，并分別計算了考慮前幾階振型的結果。表5中列出了分別考慮前三階、四階、五階和六階振型時桿身風振系數計算結果。五階與六階計算結果非常接近，故以下不再考慮更多振型。與六階振型值相比、僅取前三階振型時桿身上端風振系數相差很小，但下端風振系數相差可達50%以上，表明桿身上端風振響應主要受低階振型控制，而下端風振響應則受高階振型的影響；而與六階相比，取前四階振型計算時誤差均約在3%以內。說明取前四階振型計算桿身的風振系數已能保證一定精度。

圖3 不同工況下的桿身風振系數Fig.3 Wind vibration coefficient of mast under different conditions

為了驗證式(13)計算結果的精確性，采用AR法模擬了桿身和纖繩上共計506個點的脈動風速，脈動風速譜采用Davenport譜，空間相關系數采用與頻率無關的Shiotani相關系數，考慮了橫向與豎向的空間相關性。脈動風速時間間隔為0.1 s，共模擬了600 s的風速數據，10 m高處脈動風速時程曲線見圖4。

通過Ansys時程分析得到桿身各點的加速度響應時程，并采用慣性荷載法計算了各點的風振系數。表6比較了分別采用簡化式(13)，式(3)考慮前四階振型和時程模擬得到的風振系數計算結果。式(3)與式(13)的誤差在5%以內，說明新的簡化計算公式精度較好。而與時程模擬相比，按照新的簡化計算公式計算的桿身風振系數下端偏大，上端偏小，誤差均在10%以內，也具有較好的精度。

表5 振型數量對風振系數計算的影響Tab.5 Influence of The number of modes considered to the calculation of wind vibration coefficient

圖4 10 m高度處脈動風速時程曲線Fig.4 Time history of wind velocity at the height of 10 m表6 公式計算與時程模擬得到的風振系數比較Tab.6 Comparison of wind vibration coefficient using calculation formula and time-domain method respectively

高度/m方法式(13)式(3)時程式(13)-式(3)式(3)/%式(3)-時程時程/%12.11.561.601.51-2.495.9722.62.132.202.02-2.968.8433.12.162.172.02-0.677.6043.61.801.891.72-4.509.9155.51.911.951.99-2.39-1.7767.62.122.162.26-1.93-4.1079.61.982.032.12-2.24-4.1991.61.731.811.90-4.15-4.82103.62.002.022.21-1.02-8.52115.62.282.292.48-0.51-7.65127.62.212.232.36-0.63-5.68139.62.032.062.10-1.88-1.53144.12.072.112.13-2.31-0.68148.62.182.252.25-3.21-0.23152.42.312.402.41-4.00-0.26156.12.462.562.59-4.17-1.05

根據本文給出的表2計算出的纖繩風振系數結果見表7，對于同層纖繩，方位不同時一階自振頻率相差較小，因而風振系數變化很小。由于新版荷載規范中峰值因子和湍流度的增加使得修訂后的纖繩風振系數提高了約20%左右。

表7 纖繩風振系數Tab.7 Wind vibration coefficient of cables

4 結 論

本文較為詳細地推導了桅桿桿身及纖繩的風振系數計算公式，更新了纖繩參數的表格，討論了07版規范的問題并提出了新的桿身風振系數簡化計算公式。經過理論分析和算例計算比較得出以下結論：

(1)風荷載對纖繩剛度有較大影響，但是對桿身自振特性影響較小，可用無風荷載作用時的桿身自振特性替代，自振特性可通過有限元軟件建模分析得到。

(2)桿身下端風振響應受高階振型影響，上端受低階振型影響，風振系數計算時可只考慮前四階振型的影響。

(3)桿身各段風振系數呈凸形，兩端小，跨中大，總體隨高度呈增加趨勢，采用桿身各段取四個點的簡化計算方法滿足一定精度，且計算簡便，適合工程應用。

(4)新版荷載規范提高了峰值因子和湍流度，桅桿的風振系數有一定增大，纖繩風振系數增大20%左右。

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Wind-vibration coefficient of guyed masts

DENG Hongzhou1, XU Haijiang1, MA Xing2

(1. Department of Structural Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;2. School of Natural and Built Environments, University of South Australia, Adelaide 5095, Australia)

The calculation formulae for the wind vibration coefficients of masts and cables were deduced on the basis of random vibration theory. The inadequacy about the wind vibration coefficient in the design code of high-rising structures together with the resision of the code were discussed. A new formula was proposed and the parameter`s table was re-established on the basis of the revision of load code for designing building structures. The analysis of examples shows that the modes of masts can be calculated under the assumed condition of no-wind state and the first four modes need to be taken into account. The time-domain analysis results prove that the method of using four points in each section is precise enough and convenient to use. Due to the increase of the peak factor and turbulence intensity in the new code, the wind vibration coefficient of cables increases by approximately twenty percent.

guyed mast; wind-vibration coefficient; cable; high-rising structure; design code

國家自然科學基金項目資助(51578421)

2015-01-16 修改稿收到日期：2015-03-20

鄧洪洲 男，教授，博士生導師，1960年生

徐海江 男，博士生，1992年生

TU392.6；TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.008