脈沖激勵下單擺運動軌跡解耦方法試驗

宋世軍,張會敏,宋連玉,董明曉

(1.山東建筑大學(xué)機電工程學(xué)院,山東 濟南 250101;2.山東富友慧明監(jiān)控設(shè)備有限公司,山東 濟南 250101)

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脈沖激勵下單擺運動軌跡解耦方法試驗

宋世軍1,張會敏2,宋連玉3,董明曉4

(1.山東建筑大學(xué)機電工程學(xué)院,山東 濟南 250101;2.山東富友慧明監(jiān)控設(shè)備有限公司,山東 濟南 250101)

對脈沖激勵下單擺運動軌跡的解耦方法進行了初步探討.該方法通過攝像頭獲取單擺在脈沖力作用后的運動軌跡,通過擬合分析,從復(fù)雜運動中解耦出反應(yīng)脈沖影響的強迫擺動軌跡,以及不受脈沖影響的弱阻尼自由擺動軌跡,并找到了表征脈沖大小的特征向量,從而實現(xiàn)了脈沖激勵下單擺運動軌跡的解耦,為復(fù)雜狀態(tài)下單擺運動的解耦分析奠定了基礎(chǔ).

單擺; 運動軌跡; 脈沖激勵; 解耦; 擬合

在科學(xué)試驗和工程檢測中,經(jīng)常要以單擺信號作為監(jiān)測量對實際工況進行檢測,如現(xiàn)有的地震儀、剛度儀、慣性振動儀等.為了保證監(jiān)測結(jié)果的準(zhǔn)確性,除了需要準(zhǔn)確獲知單擺的物理特性及各種參數(shù)外,還要求單擺軌跡能夠準(zhǔn)確反映外界條件的變化.但是實際使用過程中,由于阻尼、擺球線度、外界作用力等因素的影響,單擺的運動大多都是單擺自身和外界共同作用的耦合運動,相對復(fù)雜.許多文獻都對單擺運動進行了分析,如文獻[1-2]采用不同的方法對抽象化阻尼作用下的單擺運動進行了描述,文獻[3-5]用解析的方法對空氣浮力、擺角、擺球線度、擺線質(zhì)量等因素對單擺周期的影響進行了分析,但是復(fù)雜狀態(tài)下單擺運動軌跡的解耦分析,至今尚未見報道.

因此,如何從單擺的復(fù)雜運動中剖析出外界作用和單擺自身的運動,實現(xiàn)單擺運動軌跡的解耦,對外界狀態(tài)的準(zhǔn)確監(jiān)測及單擺物理特性的研究具有重要意義.針對以上問題,本文對脈沖激勵下單擺運動軌跡的解耦方法進行了初步探討.

1 脈沖激勵下單擺運動物理模型分析

理想狀態(tài)下,當(dāng)外界給單擺系統(tǒng)一個脈沖激勵后,單擺的運動只受阻尼作用.考慮空氣阻力作用,當(dāng)初始角為θ0時,單擺的運動物理模型如圖1所示.

小阻尼運動時,單擺受到的阻力與速度成正比,可以得到運動微分方程[6]:

(1)

式中:γ為阻尼系數(shù);m為擺球質(zhì)量;l為擺線長度;g為重力加速度.

圖1 單擺物理模型Fig.1 Single pendulum model

兩端同除以ml得到

(2)

當(dāng)θθo較小時,有sinθo=θo,故式(1)可變?yōu)?/p>

(3)

(4)

方程(4)的特征方程為

(5)

解得

(6)

當(dāng)β<ω0時(弱阻尼條件下)

(7)

由此可得到方程(4)的通解為

(8)

式中:C1,C2與β有關(guān)的常數(shù).由實數(shù)化條件,可把(8)化為

(9)

式(9)為單擺在弱阻尼作用下擺動時,單擺的擺角隨時間的變化規(guī)律.

2 脈沖激勵下單擺運動軌跡的獲取

2.1 試驗信號采集方法及模型信號分析

試驗中為了方便獲取單擺在脈沖激勵后的運動軌跡,選擇在單擺固定裝置底部安裝一個攝像頭,記錄單擺運動時擺球在成像平面的像素值,實現(xiàn)單擺運動軌跡信號的采集.式(9)為單擺擺動時擺角隨時間的變化規(guī)律,要實現(xiàn)理論模型與試驗數(shù)據(jù)之間的對比分析,只需將式(9)轉(zhuǎn)換成擺球在成像平面的像素值隨時間的變化函數(shù)即可.

當(dāng)給單擺一個脈沖激勵(瞬間將裝有攝像頭的單擺裝置逆時針轉(zhuǎn)過θ0)后,擺球擺動時,擺線傾角與擺球在成像平面的像素值之間的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示.

圖2 單擺擺動示意圖Fig.2 Pendulum swing schematic

圖2中,A為單擺靜止時擺球位置;A′為單擺裝置轉(zhuǎn)動θ0后A點對應(yīng)的位置;B為單擺擺球當(dāng)前位置;θ為擺線當(dāng)前位置與鉛垂線的夾角;l為單擺擺線長度.

擺線傾角與擺球在投影面的像素值之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下:

(10)

式中:L為OB在成像平面內(nèi)的像素值;LA為OA在成像平面內(nèi)的像素值.

當(dāng)θ較小時,有sinθ=θ,故(10)式變?yōu)?/p>

(11)

式中:t為時間.

令la=H,e-β=I,式(11)變?yōu)?/p>

(12)

式(12)即單擺物理模型中單擺運動時擺球在成像平面內(nèi)的像素值隨時間的變化規(guī)律.

2.2 試驗工況選取

為了獲得單擺在不同脈沖激勵下的運動軌跡,設(shè)計了以下4組試驗,如表1所示.

表1 試驗工況列表

注:工況1表示單擺裝置瞬間從0°轉(zhuǎn)到1°后得到的單擺軌跡.

每組試驗各進行4次,讀取攝像頭記錄的擺球軌跡.

3 脈沖激勵下單擺運動軌跡分析

將攝像頭記錄的坐標(biāo)數(shù)據(jù)與擺球靜止時的坐標(biāo)值(像素值LA)作差處理后,基于時間序列得到各工況的單擺軌跡圖,圖3為工況3的單擺軌跡圖.圖3中，x,y分別為單擺運動軌跡車投影平面內(nèi)沿x,y方向上的像素位.

從圖3可以看出,單擺在x,y兩個方向都有運動,可將軌跡分別投影到x,y兩個方向,并進行差值擬合,結(jié)果如圖4所示.

圖3 工況3時單擺擺動軌跡圖Fig.3 Pendulum trajectory graph of condition 3

圖4 單擺x,y方向的軌跡Fig.4 Simple pendulum trajectory of x,y direction

由圖4可知,單擺在x和y兩個方向的擺動軌跡均符合弦函數(shù),且在工況3的情況下,單擺在x方向的擺動幅度、擺動時間都大于y方向,因此,研究單擺運動軌跡時,可以選取x方向的數(shù)據(jù)進行分析.

圖5 單擺x方向相位值變化比Fig.5 Phase changing ratio in the direction of x

圖5可以看出,單擺x方向的相位值變化比si在第5個單位時間出現(xiàn)拐點,且在圖4中,單擺軌跡也是在第5個單位時間時振幅、頻率發(fā)生變化,之后趨于規(guī)律.由此推測,單擺的運動并不只是弱阻尼下的自由擺動,而是兩個運動過程的合成,且拐點出現(xiàn)在第5個單位時間,因此可以將整個運動過程分為兩個階段:①強迫擺動階段,用t1表示;②弱阻尼條件下自由擺動階段,用t2表示.

單擺在x方向的各階段運動軌跡解析如圖6所示.

圖6 單擺x方向運動軌跡解析圖Fig.6 Analysis of the pendulum trajectory in the direction of x

圖6中,在強迫擺動階段,單擺擺動的振幅變化大,且運動時間短,能夠客觀反應(yīng)脈沖力、擺球線度、阻尼等綜合因素下單擺的運動特性;而在自由擺動階段,只有阻尼的影響,運動過程相對簡單,對于脈沖力大小的分析,此階段數(shù)據(jù)屬于干擾信號,可以忽略不計.因此,可以構(gòu)造特征向量 γ=[s2,t1]來描述脈沖力的大小以及單擺強迫擺動的時間.上述4組試驗得到的16個特征向量平面圖如圖7所示.

圖7 特征向量平面圖Fig.7 Characteristic vector graph

由圖7可知,16次試驗的特征向量各不相同.可以用特征向量記錄并區(qū)分不同的軌跡信息,進而從復(fù)雜的軌跡中分離出純凈的特征信號軌跡,簡化分析數(shù)據(jù),最終實現(xiàn)單擺運動軌跡的初步解耦.

4 弱阻尼狀態(tài)下單擺運動軌跡擬合

為了考察脈沖力的大小是否只對第一階段的運動軌跡有影響,以檢驗上述解耦方法是否正確,將解耦出的第二階段的數(shù)據(jù)帶入式(12)進行擬合求解[7],原始數(shù)據(jù)點與帶入求解參數(shù)擬合后的軌跡如圖8所示.

圖8 擬合效果圖Fig.8 Fitting rendering

由圖8可以看出,擬合效果比較理想,為驗證擬合效果的真實性和普遍性,按上述參數(shù)求解方法將前4組工況的16組試驗數(shù)據(jù)進行處理,得到參數(shù)的折線圖如圖9—12所示.

圖9 參數(shù)I的取值折線圖Fig.9 Line graph of parameter I

由圖9可知,Imax=0.83,Imin=0.79,Imax-Imin=0.04,可見,I的求解值相對穩(wěn)定.

圖10 參數(shù)ω的取值折線圖Fig.10 Line graph of parameter ω

由10可知,ωmax=2.86,ωmin=2.77,ωmax-ωmin=0.09,可見,ω的求解值相對穩(wěn)定.

圖11 參數(shù)φ的取值折線圖Fig.11 Line graph of parameterφ

圖12 參數(shù)的取值折線圖Fig.12 Line graph of parameter

由圖11,12知,初始相位角φ和H/x1的取值區(qū)域相反(即φ和H的取值區(qū)域相反,初始相位角的取值和采樣頻率等因素有關(guān)),但在不同區(qū)域,φ和H/x1的取值都相對穩(wěn)定.

上述參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果表明:不同工況、不同試驗的解耦數(shù)據(jù)擬合出的各參數(shù)的取值區(qū)間相對固定,且范圍變化較小,說明解耦出的第二階段的單擺軌跡不受脈沖激勵的影響,與數(shù)學(xué)模型吻合,進而說明解耦方法正確.

5 結(jié)語

本文理論推導(dǎo)了弱阻尼狀態(tài)下單擺運動的模型公式,通過脈沖激勵下單擺運動軌跡分析,從單擺運動軌跡中解耦出反應(yīng)脈沖大小的強迫擺動階段以及只受阻尼影響的自由擺動階段,并用數(shù)據(jù)-模型擬合的方法,對弱阻尼下的自由擺動數(shù)據(jù)進行擬合,驗證了解耦方法的正確性,并得出如下結(jié)論:以單擺運動軌跡作為監(jiān)測信號研究單擺所受外界脈沖力時,只對強迫擺動階段數(shù)據(jù)進行分析即可.此方法既可以簡化分析數(shù)據(jù),提高運算效率,又可以提高數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性,為單擺信號的分析提供了一種新的方法.

此外,在擬合單擺弱阻尼下的運動軌跡時,可以求解空氣阻尼、單擺擺長、頻率等參數(shù),這也為均質(zhì)流體阻尼參數(shù)及單擺物理參數(shù)的測量提供了一種新思路.

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Experimental study on decoupling method of the pendulum trajectory after impulse excitation

SONG Shi-jun1,ZHANG Hui`min1,SONG Lian-yu2,DONG Ming-xiao1

(1.Shandong Jianzhu University,Mechanic and Electronic Engineering,Jinan 250101,China;2.Shandong Foryou Sunshine Enlightened Measurement and Control Equipment Co.,Ltd.,Jinan 250101,China)

This paper discusses decoupling method of the pendulumtrajectory after impulse excitation.Theauthoruses a camera to obtain simple pendulum trajectory after impulse excitation,by fitting analysis,decouples out the forced swing trajectory from the complex motion trajectory,and the free swing trajectory in weak damping,which is not affected by impulse,and find out the characteristic vector which can represent the impulse,thus realize the decoupling of the pendulum trajectory after impulse excitation,which will lay a foundation for the decoupling of the pendulum trajectory under complex condition.

pendulum; trajectory; impulse excitation; decoupling; fitting

國家自然科學(xué)基金(51475277).

宋世軍(1965-),男,教授,博士后.E-mail:songshj@sdjzu.edu.cn

TH 7

A

1672-5581(2016)02-0157-05