利用區間與概率的星載可展天線齒輪防卡分析

劉帥杰,段寶巖,楊東武

(西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室,陜西西安 710071)

利用區間與概率的星載可展天線齒輪防卡分析

劉帥杰,段寶巖,楊東武

(西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室,陜西西安 710071)

研究了在索網環形桁架式星載可展開天線中同時存在隨機變量與區間變量的同步齒輪副防卡滯問題.對影響同步齒輪副發生卡滯失效的不確定量進行了細分,分成了區間變量和隨機變量,并基于此建立了利用區間與概率的環形桁架式可展開天線機構中同步齒輪副卡滯失效的混合模型.利用該混合模型對同步齒輪副在不同環境溫度下的防卡滯可靠度進行了評估,并與將影響同步齒輪發生卡滯失效的不確定量全部視為正態分布的概率模型的可靠度進行了比較.

可展開天線;可靠性;區間概率混合模型;同步齒輪;防卡滯

可展開天線在太空中能否順利展開,在某種意義上即意味著衛星發射的成功與否.索網-環形桁架式天線展開機構由電機、動力拉索、扭簧、同步齒輪副零部件組成[1],如圖1所示,其在太空中主要是通過電機帶動同步齒輪副的轉動實現各單元的逐步展開過程,故同步齒輪副能否正常工作決定了可展開天線能否順利展開.

對齒輪可靠性的研究主要集中在磨損、疲勞等因素引起的輪齒斷裂方面,而關于齒輪卡滯的研究較少.陳建軍等[2]利用傳統的概率可靠性方法把影響同步齒輪發生卡滯失效的不確定參數全部視為隨機變量,用二階矩方法推導出齒輪防卡滯可靠度的計算公式.問題是,這類方法需要大量的樣本數據以確定參數的概率密度函數,且概率可靠性模型對原始數據有較強的依賴性,模型的小偏差易導致計算結果的大偏差甚至錯誤[3-4].林立廣等[5]把影響同步齒輪發生卡滯失效的不確定參數全部視為區間變量,利用非概率可靠性方法對其可靠性進行了分析.值得指出的是,實際工程中有些變量很容易確定其概率分布,而有些變量只能給出其變化區間.為此,需要進行同時包含概率和區間兩類隨機變量的可靠性分析方法的研究.

圖1　索網-環形桁架式可展開天線

關于區間和概率混合型不確定變量的可靠性分析,已有一些相關研究.文獻[6]探討了凸模型與概率模型的混合問題,為概率與凸集混合可靠性方法的研究起到了奠基性的作用.文獻[7]在Elishakoff的基礎上提出了一種概率非概率混合模型,但只適用于簡單問題的可靠性分析.文獻[8-11]把概率變量與區間變量共存的問題轉化成兩層嵌套優化問題,并提出了一種有效的求解方法,為結構混合可靠性問題的計算提供了一種較好選擇,并將其成功地應用于汽車碰撞的可靠性分析中.而基于區間與概率方法的星載可展開天線展開可靠性的分析還未曾有學者進行研究.

基于區間與概率混合可靠性方法,筆者研究了索網-環形桁架式可展開天線中同步齒輪副防卡滯問題,分析了影響可展開天線展開機構中同步齒輪卡滯的一些不確定參數,將不確定參數分成了隨機變量和區間變量,建立了同時考慮隨機變量和區間變量的同步齒輪卡滯失效的混合模型,并利用該混合模型對同步齒輪副在不同環境溫度下的防卡滯可靠度進行了評估.該模型充分利用了已知的信息,避免了一些不必要的假設,與實際情況更加吻合.

1　索網-環形桁架式可展開天線中同步齒輪副防卡滯條件

索網-環形桁架式可展開天線中一對同步齒輪副嚙合示意圖如圖2所示.為了同步齒輪副能夠順利地進行傳動而不出現卡滯,應保證兩齒輪在傳動過程中齒頂隙始終大于標準值c*m.通過幾何關系可得最小齒頂隙為[2,5]

圖2　同步齒輪嚙合示意圖

其中,df、da分別為齒根圓和齒頂圓直徑,a為中心距,B為齒厚,θ1、θ2分別為兩齒輪軸線偏轉角,c為最小齒頂隙.同步齒輪副不發生卡滯的條件為

其中,c*m為標準齒頂隙.

2　區間概率混合可靠性模型

在傳統的可靠性分析中,常用概率的方法來對結構的可靠度進行評估,概率可靠度模型把所有的不確定參數都考慮成隨機變量.實際上在大多數情況下,結構的不確定參數既有隨機參數又有區間參數,利用傳統方法,計算結果會出現較大偏差甚至錯誤.為了充分利用已知的信息,避免做一些傳統性的假設,把隨機變量用概率模型描述,區間變量用區間模型來描述,采用區間概率混合可靠性方法來進行分析.下面首先介紹概率模型,然后引入區間概率混合模型.

2.1概率模型

假設g(X1,X2,…,Xn)為結構的極限狀態功能函數;X={X1,X2,…,Xn},為結構中的n維隨機變量,且相互獨立;g(X)=0,為失效曲面,該曲面將由不確定量構成的n維空間分成安全域(g(X)>0)和失效域(g(X)<0)兩部分,如圖3所示.將隨機變量X轉換到獨立的標準正態空間U中,根據概率可靠性理論,不確定結構的可靠度可以由以下積分形式來確定:

圖3　概率模型下可靠性指標的描述

其中,fU(U)為聯合概率密度函數,G(U)表示標準化的極限狀態功能函數.

通過可靠度指標法,式(3)可以進一步轉換成一個最優化問題:

通過該優化求得的最優解U*為最可能失效點(Most Probable failure Point,MPP).,為可靠度指標,在幾何上表示:在標準化正態空間U中,從坐標原點到失效面的最短距離.通過可靠度指標即可計算出不確定結構安全的可靠度R=?(β),?表示標準化正態分布函數.

2.2區間與概率混合模型

其中,上標c表示中值,r表示離差.

對于既有隨機變量又有區間變量的混合模型,極限狀態方程G(u,v)=0,代表了在標準化的u空間中的一簇失效面.每一個極限狀態曲面都對應了區間變量v的一個實現.換句話說,所有滿足極限狀態方程G(u,v)=0的點在u空間中組成了一個帶狀的幾何區域.這樣整個u空間被極限狀態曲面G(u,v)=0分成了3個區域,分別是安全域Ωs={u:min G(u,v)>0},臨界域Ωc={u:G(u,v)=0,?v∈E},失效域Ωf=Ω(Ωs∪Ωc).圖4所示為具有兩個隨機變量和一個區間變量的情況,其中βm即為混合模型的可靠性指標.

圖4　區間概率混合模型下可靠性指標的描述

據此,可定義混合可靠性模型的可靠度Pm=Pr{G(u)>0}.由于存在區間變量,所以結構的可靠度也應該屬于一個區間:

此時,結構處在安全域內.同理,將式(8)中的問題轉化為求最大值問題,則可以得到最可能失效點的上界、可靠性指標上限以及可靠度上限,這種情況下結構處在安全域和臨界域內.

3　索網-環形桁架式可展天線中同步齒輪副防卡滯的混合可靠性模型

3.1影響同步齒輪副卡滯的因素

很多因素都會影響同步齒輪的卡滯,筆者只考慮加工、裝配過程中的誤差來對同步齒輪的卡滯問題進行分析[5].通過第1節中建立的同步齒輪防卡滯條件,易知影響同步齒輪卡滯的隨機變量主要有齒輪的兩齒根圓直徑df、兩齒輪的齒頂圓直徑da,影響兩齒輪偏轉角θ1和θ2的垂直度誤差Δ1和Δ2以及兩個同步齒輪之間的中心距a.由于齒輪的齒根圓直徑與齒頂圓直徑的誤差往往是由于測量工具或檢測手段的限制造成的,實際上是一種不確知性,這些不確定量的范圍容易確定,故可以看做是區間變量[12-13].而兩齒輪的垂直度誤差以及中心距主要是由于人的主觀因素引起的操作誤差,具有較大的隨機性,故把這幾個變量仍然看做是隨機變量.

3.2同步齒輪副防卡滯混合可靠性模型的建立

由第1節中同步齒輪的防卡滯條件,可得同步齒輪傳動的運動功能函數為

根據上節中的方法,設兩齒輪的中心距a以及齒輪軸線的偏轉角θ1和θ2均服從正態分布,即a～N(μa,σa),θ1～N(μθ1,σθ1),θ2～N(μθ2,σθ2);齒根圓直徑df和齒頂圓直徑da為一個區間,,da∈.將這些變量進行標準化變換,為δa,δθ1,δθ2,δda,δdf,這樣功能方程標準化為

則同步齒輪防卡滯可靠性指標的下限滿足

同理,將第2個優化問題轉化為最大化問題,則可得同步齒輪防卡滯可靠性指標的上限,然后將可靠性指標的上下限分別通過式(7)和式(8)進行求解,可以得到同步齒輪副防卡滯的可靠度上下限

3.3太空中環境溫度對展開天線中同步齒輪副的卡滯影響

眾所周知,太空環境中的溫度變化范圍很大,而溫度載荷的變化會使同步齒輪的徑向尺寸發生改變,齒形也會受到影響,從而可能會使同步齒輪副發生卡滯現象.天線在太空中的展開非常緩慢,齒輪傳動過程中只承受較小的力,故不考慮齒輪由此引起的形變.以Δda,Δdf表示溫度變化引起的齒輪直徑形變量,最小齒頂隙c由式(1)變為

把單個齒輪看做兩端自由的空心圓柱體,利用彈性力學知識,計算由溫度變化引起的齒輪徑向尺寸的形變量.當溫度由T0變到T時,齒輪齒根圓和齒頂圓的直徑分別變化為[2]

其中,k=(1+2μ)(T-T0)α,μ為泊松比,α為材料線脹系數,k稱為溫變影響系數.

同樣利用上節中的方法,可以求得同步齒輪副在不同溫度下的防卡滯可靠度上下限

4　索網-環形桁架式可展天線中同步齒輪副防卡滯可靠度的計算

以索網-環形桁架式可展開天線為研究對象.其同步齒輪副的設計參數有:齒輪材料為TC4鋼;材料線脹系數α=8.4×10-6/℃;泊松比μ=0.33;齒頂隙系數c*=0.25;齒輪安裝孔深度S=25 mm;安裝孔垂直度誤差為⊥0.08 mm;齒數z=32;齒高系數;齒輪模數m=1.125 mm;齒輪厚度B=7.6 mm;齒輪的齒根圓直徑,齒輪的齒頂圓直徑;太空環境溫度T∈[-120℃,120℃],其中T0=20℃.齒輪的安裝孔標準中心距,正變位中心距;齒輪副數目N=48,其中隨機變量(兩齒輪的垂直度誤差以及中心距)的隨機分布參數由正態分布的3σ準則來確定.

利用3.2節推導出的同步齒輪卡滯的區間概率混合模型分別計算標準中心距安裝以及正變位中心距安裝時,在環境溫度為20℃,-20℃以及-120℃和120℃下的可靠度如表1所示.將結果與把影響同步齒輪發生卡滯失效的不確定量全部視為正態分布的概率模型的可靠度進行比較.

表1　索網環形桁架展開天線中同步齒輪副防卡滯可靠度計算結果及對比

通過表1中的數據可知:

(1)如果不考慮溫度的影響,則按正變位中心距安裝齒輪比采用標準中心距安裝齒輪的防卡滯可靠度更高.但是正變位的中心距也不是越大越好,太大則容易使齒輪副發生脫離,影響傳動的同步性和平穩性.

(2)齒輪副防卡滯可靠度隨著溫度的上升明顯降低,說明齒輪在高溫情況下容易卡滯.

(3)當溫度為120℃時,齒輪副幾乎處于失效狀態;而當溫度為-120℃時,齒輪副的防卡滯可靠度很高.

(4)區間概率模型法與概率模型法計算出來的可靠度隨著溫度的變化趨勢一致,說明了區間概率模型法的有效性.

(5)區間概率模型法計算出來的可靠度是一個區間,而概率模型法計算出來的結果是一個可靠度值,說明區間概率模型法充分利用了已知的信息,避免了一些不必要的假設,計算出的結果更加具有參考價值.

5　結束語

由于環形桁架展開天線展開機構中同步齒輪的一些不確定性量在通常情況下不能給出其準確的概率分布,而這些不確定性量也并不一定是隨機的,所以將其假設為隨機變量往往是不確切的.通常情況下其區間比較容易獲得,因此,常看做區間變量.而對于這種既有隨機變量又存在區間變量的情況,則不能夠用傳統的概率模型法來進行求解.筆者采用區間概率法構建了環形桁架展開天線中同步齒輪中同時存在隨機變量與區間變量的混合模型,解決了同步齒輪副同時存在隨機變量與區間變量的情況,得到了同步齒輪副防卡滯可靠度的一個上下限,通過分析說明了此種方法的有效性且更加具有參考價值.同時,通過計算結果分析可知,同步齒輪副按照正變位中心距安裝時更利于齒輪副防卡滯,而高溫不利于齒輪副防卡滯.

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(編輯:郭 華)

Interval and probability based analysis of seizure-preventing for synchronous gears of the astromesh deployable satellite antenna

LIU Shuaijie,DUAN Baoyan,YANG Dongwu
(Ministry of Education Key Lab.of Electronic Equipment Structure Design,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The seizure-preventing for synchronous gears of the Astromesh deployable satellite antenna is studied with random variables and interval variables existing at the same time.The uncertainties with influence on gear pair seizure failure are subdivided into interval variables and random variables,on the basis of which the interval and probability hybrid model is built for the synchronous gear pair seizure failure in the ring truss deployable antenna.The synchronous gear pair anti-seizure reliability is evaluated at different ambient temperatures with this hybrid model.And the results are compared with the reliability evaluated by the probability model in which the uncertainties are all regarded as obeying normal distribution.

deployable antennas;reliability;interval and probability hybrid model;synchronous gear; seizure-preventing

TH112.3

A

1001-2400(2016)03-0061-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.011

2015-01-31

時間:2015-07-27

國家自然科學基金資助項目(51490660)

劉帥杰(1990-),男,西安電子科技大學碩士研究生,E-mail:lsjxidian@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150727.1952.011.html