雷達目標檢測的最優波形設計綜述

王璐璐 王宏強 王滿喜 黎 湘

①(電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室 洛陽 471003)

②(國防科學技術大學電子科學與工程學院 長沙 410073)

雷達目標檢測的最優波形設計綜述

王璐璐*①王宏強②王滿喜①黎 湘②

①(電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室 洛陽 471003)

②(國防科學技術大學電子科學與工程學院 長沙 410073)

充分利用雷達目標和環境特性，設計最優發射波形，能夠從本質上提高雷達目標檢測性能，具有重要的研究價值。該文將近幾年發表的雷達目標檢測的最優波形設計文獻進行總結和歸納，為面向目標檢測的波形優化設計研究提供方法和依據，具有一定的參考價值。

認知雷達；目標檢測；波形優化

1 引言

傳統雷達只發射一種或幾種波形，波形變化僅限于一定范圍內的波形參數調整，靈活程度低。隨著高速率信號處理、任意波形產生器等技術的不斷進步，波形設計具有更大的自由度，脈間波形捷變和發射任意形狀的復雜波形成為可能，為雷達波形設計的研究提供了硬件基礎。

隨著大量復雜電子設備的使用以及電子對抗的加劇，戰場環境更加瞬息萬變，傳統的僅在接收機進行自適應信號處理的方法已經無法滿足復雜電磁環境的需求。需要從發射信號這一源頭上進行自適應優化設計，從而提高雷達系統的性能。SimonHaykin教授提出的認知雷達(Cognitive Radar)概念，就是一種全自適應的雷達系統[1]，其系統原理框圖如圖1所示。由雷達發射機發射的信號，經過目標和環境的調制，被雷達接收機接收，雷達對回波進行分析和處理后將實時的目標和環境信息再反饋給發射機，利用該信息或其他先驗知識進行波形設計，從而發射與當前目標和環境相匹配的最優雷達波形，提高雷達系統的檢測、跟蹤和識別性能。基于知識的自適應波形設計是認知雷達研究的關鍵技術之一，得到了雷達界的廣泛關注和充分研究。

波形設計是一個約束最優化問題，通常包括一個或多個優化準則函數以及一個或多個約束條件。準則函數的選擇通常與雷達任務有關[2,3]，例如采用信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)、信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio, SINR)1))本文中提到的信干噪比SINR和信雜噪比 (Signal-to-Clutter-plus-Noise Ratio, SCNR) 不加區分，因為雜波可以認為是信號相關的干擾(Signal-Dependent Interference)，所以都用SINR表示。或檢測概率作為準則函數，用于提高雷達系統的檢測性能；采用參數估計的最小均方誤差(Minimum Mean Square Error, MMSE) 或雷達回波與目標沖激響應之間的互信息(Mutual Information, MI)作為準則函數，從而提高雷達系統的參數估計性能；采用不同類別的目標回波之間的歐氏距離或馬氏距離作為準則函數，優化雷達系統的目標識別性能。約束條件通常包括發射波形的能量恒定，包絡恒定，或者相似性約束(Similarity Constraint)等等。

圖1)本文中提到的信干噪比SINR和信雜噪比 (Signal-to-Clutter-plus-Noise Ratio, SCNR) 不加區分，因為雜波可以認為是信號相關的干擾(Signal-Dependent Interference)，所以都用SINR表示。認知雷達系統原理框圖Fig. 1 Schematic diagram of cognitive radar system

目標檢測性能是雷達系統的重要指標之一，也是雷達進行目標跟蹤和參數估計的前提條件。通過波形設計來提高雷達系統的目標檢測性能是本文研究的關鍵問題。針對不同雷達系統、不同的目標環境和實際情況，雷達目標檢測的最優波形設計包含著豐富的內容，如表1所示。對于不同的雷達系統，如單發單收(Single-Input-Single-Output, SISO)雷達，設計一個發射機的發射信號；對于多發多收(Multiple-Input-Multiple-Output, MIMO)雷達，設計發射波形的協方差矩陣，或優化每個發射機的功率分配。根據雷達帶寬與目標物理尺寸之間的相對關系，雷達檢測的目標模型包括點目標模型和擴展目標模型；目標沖激響應有確定沖激響應和隨機沖激響應之分。檢測目標的個數可能是一個或者多個；環境中可能包含了信號相關噪聲，即雜波，也可能包含了其他電子設備的有意或無意干擾信號；噪聲特性可能是白噪聲或者色噪聲；波形設計對象可以是任意波形設計，也可以給定某種信號形式(如OFDM信號或相位編碼信號)設計其參數；波形設計的結果可能是能量譜密度(Energy Spectral Density, ESD)，也可以直接合成時域波形；優化準則可能同時包含多個函數；波形的約束條件也根據實際需求各有不同。因此，雷達目標檢測的波形優化研究內容多樣，文獻層出不窮。

表1 雷達目標檢測的波形優化研究內容Tab. 1 Research content of radar waveform optimization for target detection

本文將檢測波形最優化研究中若干重要步驟進行分類總結梳理，回顧了其中的一些經典方法，并探討該研究的發展趨勢。

2 雷達目標檢測的最優波形設計方法

這一節中，我們將雷達目標檢測的最優波形設計問題分為了若干類別，并對每一類的經典文獻和方法進行了總結回顧，每個類別并不是完全獨立的，而是可能存在一定的交叉。這是由于雷達目標檢測的最優波形設計中，模型的建立與多種實際因素有關，研究中要根據目標和環境的實際情況建立合適的數學模型來進行求解。本節首先討論了雷達目標檢測的最優波形設計問題采用的準則函數和約束條件；然后分別從不同目標模型、不同環境特性和時域波形合成方法這3大類問題入手進行總結歸納，它們是最優檢測波形設計中都會涉及到的不同環節的問題，通過這一節的論述，不僅可以對雷達目標檢測的波形設計問題有整體宏觀把握，而且對該問題中涉及到的重要細節有更加深入的認識，為該領域的研究者提供思路和借鑒。

2.1 不同準則函數與約束條件

雷達目標檢測的最優波形設計問題是一個約束優化問題，包含優化準則函數和約束條件兩部分。優化準則函數有以下4種，一是采用檢測概率作為優化準則函數，檢測概率越大，目標檢測性能越好，這種方法最為直接，但是需要建立檢測概率與雷達波形之間的關系，在求解時較為復雜。第2種方法是采用SNR或SINR作為優化準則函數，因為通常情況下，SNR或SINR越大，檢測概率越高，而且SNR或SINR更容易與發射波形建立簡單的關系，從而簡化了模型和求解。但需要注意的是，有些情況下檢測概率不僅與SNR或SINR有關，還與其他因素如信號協防差矩陣的秩有關[4,5]，這時不能簡單地采用SNR或SINR準則，而需要直接采用檢測概率準則。第3種準則函數是積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level, ISL)，通常用于多目標檢測問題，考慮到自相關函數的旁瓣較高會將相鄰弱小目標的主瓣淹沒，影響檢測性能，因此具有較低ISL的發射波形能夠較好地進行多目標檢測。對于距離-多普勒2維的情況，則采用信號模糊函數作為準則函數，希望發射波形的模糊函數具有尖銳的峰值和較低的旁瓣。第4種準則函數是信息論準則中的Kullback-Leibler散度。雷達目標檢測問題可以看作二元假設檢驗問題，原假設為目標不存在，備選假設為目標存在，原假設概率密度函數到備選假設概率密度函數的Kullback-Leibler散度越大，采用似然比檢驗的檢測概率就越高。Kullback-Leibler散度準則多用于MIMO雷達目標檢測的波形優化設計。

常用的約束條件見表2所示。能量約束是最基本的約束條件，發射信號需要是能量或功率有限的。為了最大化發射功率，需要發射信號具有恒定的包絡，也就是恒包絡約束。對包絡約束的適當松弛是低PAPR約束，注意到，當PAPR=0時，就是恒包絡約束。文獻[6]研究發現通過適當放松恒包絡約束，可以獲得更好性能的發射波形。相似性約束是為了保證設計的發射信號能夠具有某種常用雷達信號(如線性調頻信號)的良好性質，因此約束發射信號與該基準信號具有相似性。

表2 常見的一些約束條件Tab. 2 Commonly used radar waveform constraints

2.2 不同目標模型的最優波形設計

最優波形設計不僅與采用的優化準則函數和約束條件有關，還與目標和環境模型有關。本小節考慮不同目標模型以及相應的最優波形設計方法。

2.2.1 點目標模型與擴展目標模型 根據雷達信號帶寬與目標物理尺寸之間的相對關系，可以將目標分為點目標或者擴展目標。當雷達信號為窄帶信號時，目標可以看作具有無限小物理尺寸的點目標，其各個方向的雷達散射系數是相同的，雷達發射波形經過目標的反射后，具有一定的時延和多普勒頻移。假設雷達發射信號為其中ET是發射信號的能量，s(t)是能量歸一化的信號復包絡，fc是信號載頻，那么點目標的回波為：

其中，ER是回波信號能量，τ和fd分別是目標的時延和多普勒頻移。

當雷達信號帶寬B與c/2ΔL可以比擬時，其中c為光速，ΔL是目標在距離向的空間展布，那么目標回波將不是單色波，而是具有不同的頻率響應分量，點目標模型將不再適用[7,28]。此時，需要將目標回波看作是多個點或者是連續的點在一定擴展區域的回波的疊加，這種目標稱為擴展目標。通常用時域的目標沖激響應來描述擴展目標的散射特性。對于一定的目標姿態角，目標沖激響應可以看作一個線性時不變系統，如圖2所示。目標沖激響應用h(t,θ,φ)表示，它是當發射信號為沖激函數s(t)=δ(t)時的目標回波。由于目標沖激響應與目標姿態有關，因此是方位角θ和俯仰角φ的函數。目標沖激響應從信號與系統的角度描述目標特性，而不是從電磁散射理論的角度來表示的。當雷達發射信號為s(t)時，目標的回波為：

圖2 擴展目標沖激響應[28]Fig. 2 Impulse response of extended target[28]

其中，*表示信號卷積。

特別地，當擴展目標可以等效為多個靜止點目標的疊加時，其目標沖激響應為：

其中，K為等效的點目標個數，αi和τi分別為每個點目標的幅度和時延，i=1, ..., K。這是擴展目標模型的一種特例。若K=1，則為點目標模型。一般情況下h(t)可能是其他函數形式。可見，點目標模型只在一定的前提假設下才成立，因而擴展目標沖激響應模型具有更廣泛的應用范圍。

根據擴展目標沖激響應是確定的還是隨機的，可以把擴展目標進一步地分為確定目標沖激響應模型和隨機目標沖激響應模型[8]。確定目標沖激響應模型中，目標沖激響應h(t)是已知的確定信號，用該目標沖激響應來描述目標特性。隨機目標沖激響應模型中，目標沖激響應h(t)是能量有限的隨機信號，可以看作一系列樣本函數的集合{h(t,ω)}，其中是樣本空間。h(t)具有以下性質：

(1) h(t)的所有樣本函數都是因果沖激響應，也就是說h(t,ω)=0,?t＜0,?ω?Ω。這是所有線性時不變系統的特性。

(4) 假設h(t)是一個高斯隨機過程。當目標包含很多個在空間內隨機分布的散射中心時，該假設是成立的。這是由于接收信號的同相通道和正交通道都是高斯隨機過程。

該有限持續時間隨機目標沖激響應的產生框圖如圖3所示。假設目標沖激響應在時間范圍[0, Th]內是非零值，在這個區間外都是0。g(t)是一個復平穩隨機過程。a(t)是一個長度為Th的矩形窗函數。那么，h(t)=a(t)g(t)就是一個有限時間長度的隨機過程，其支撐區間為[0, Th]。由于g(t)是廣義平穩的，因此h(t)在范圍[0, Th]內局部平穩。

圖3 隨機目標沖激響應模型Fig. 3 Impulse response of random target

2.2.2 點目標的最優檢測波形 當噪聲為白噪聲時，點目標的檢測概率只與發射波形的能量有關，為：

其中，PD是檢測概率，PFA是給定的虛警概率，E是發射波形的能量，σ2為白噪聲功率，函數Q(.)為正態右尾函數。檢測概率與發射波形的形狀無關。

當環境中存在雜波時，S M Kay研究了高斯點目標在雜波環境中的最優波形設計[9]。高斯點目標的沖激響應函數為g(t)=A(t)，其中A是概率密度函數(Probability Density Function)已知的復隨機變量，雜波中點目標檢測問題的信號模型如圖4所示。其中，c(t)表示雜波沖激響應，與雷達波形卷積得到雜波，它是一個零均值復高斯平穩隨機過程，功率譜密度(Power Spectral Density, PSD)為Scc(f)。n(t)是零均值復高斯平穩噪聲，PSD為Snn(f)(下同)。x(t)是發射波形，在時間t?[-T/2,T/2]內非零，其傅里葉變換為X(f)(下同)，所有信號都是基帶信號，且假設頻率集中在頻帶f?[-W/2,W/2]內。

當發射信號具有較大的時寬帶寬積時，上述檢測問題在Neyman-Pearson準則下的檢測概率為：

圖4 雜波中點目標檢測的信號模型Fig. 4 Signal model for point target detection in clutter

可見，最優波形的ESDεx(f)=|X(f)|2對檢測性能有影響，采用拉格朗日乘數法對上述優化問題求解，可以得到最優波形的ESD，為：

其中，max(x, 0)表示x和0之間的最大值，常數A由能量約束得到，即

這是經典的注水法(Waterfilling)結論。采用文獻[9]中雷達實例的仿真參數可以得到圖5，可見最優檢測波形的ESD將能量集中在雜波和噪聲功率較小的頻帶內。

圖5 點目標檢測的注水法解[9]Fig. 5 Waterfilling result for point target detection[9]

最優波形的注水法解給出了雷達目標檢測的最優波形ESD的解析表達式，但是僅得到了最優波形的ESD，要得到時域波形還需要進一步求解。該方法可以推廣到擴展目標檢測的情況。

2.2.3 點目標的最優檢測波形 擴展目標模型比點目標模型的應用更為廣泛，擴展目標檢測的最優波形設計研究也可以根據環境特性分為只考慮加性高斯噪聲的情況[7,29]和雜波環境中擴展目標檢測的情況[4,8,10,11,30,31]。

M R Bell推導了無雜波情況下擴展目標檢測的最優波形[7]，通過最大化接收機濾波器輸出的SNR，得到最優波形是下面Fredholm方程的解：

其中，λmax是最大特征值，最優波形xopt(t)是相應的特征函數，通過縮放使得其能量為給定的發射信號能量，核函數L(t)為：

其中，H(f)是任意擴展目標沖激響應函數h(t)的傅里葉變換(下同)。該方法需要求解Fredholm方程，不便于應用。

雜波環境中擴展目標檢測問題的信號模型如圖6所示。其中，h(t)是任意擴展目標沖激響應函數。

圖6 雜波中擴展目標檢測的信號模型Fig. 6 Signal model for extended target detection in clutter

S U Pillai等人和D A Garren等人研究了雜波環境中擴展目標檢測的最優波形設計[10,11]，文獻中提出了一種迭代的方法來求解匹配濾波器輸出SINR最大時的最優發射波形，其中仍然沒有擺脫求解積分方程的步驟，而且沒有保證算法的收斂性。R A Romero推導了雜波環境中擴展目標檢測的最優波形ESD的解析表達式[8]，與S M Kay的方法類似，優化問題為最大化頻域SINR并約束波形能量：

采用拉格朗日乘數法可以得到最優波形也滿足注水法解的形式。

其中，常數A由波形能量約束決定。

可見，最優波形ESD與目標沖激響應頻譜、噪聲PSD、雜波PSD以及能量約束有關。當目標沖激響應為圖3所示的隨機過程時，需要將目標沖激響應頻譜的模平方替換為h(t)的能量譜方差(Energy Spectral Variance, ESV)即

上述方法可以看作S M Kay的方法[9]在擴展目標模型中的推廣。同樣的，該方法只給出了最優波形的ESD，沒有給出時域波形的情況。

秩1目標是擴展目標模型的一種特例。假設擴展目標沖激響應是K個散射點的疊加，即式(3)所示，那么目標回波信號為：

式(15)寫成頻域表示為：

ht是目標散射矢量，可以認為是零均值復高斯隨機矢量，協方差矩陣為Rht，即假設Rht具有低秩分解是N×r的矩陣，是Rht的秩。若目標是剛性的，不同散射點之間沒有相對多普勒，那么目標散射矢量可以表示為其中，是確定矢量，φ是隨機相位，此時rank(Rht)=1。這種擴展目標被稱為秩1目標。

文獻[4]針對擴展目標中的秩1目標，推導了最大化檢測概率的最優波形，證明了秩1目標最大化檢測概率的最優波形與最大化SINR的最優波形是等價的，對于最大化SINR的波形優化問題，采用交替迭代發射波形和接收機濾波器的方法進行求解。進一步的，討論了目標特性已知而環境特性未知情況下，最大化目標回波的次優發射波形設計；以及環境特性已知而目標特性未知情況下，最小化雜波回波能量的次優發射波形設計。對于大時寬帶寬積的漸近情況，推導了最優波形的注水法形式，該結論是S M Kay注水法結論[9]在秩1目標情況下的推廣。

2.3 不同環境特性的最優波形設計

2.3.1 環境特性建模 最優波形設計與環境特性是密切相關的。雷達目標檢測所處的環境通常包括：噪聲、雜波(信號相關干擾)、干擾等。信道噪聲或者接收機噪聲通常建模為加性高斯隨機過程，其中C為噪聲協方差矩陣，若則為白噪聲，否則為色噪聲，通常假設其協方差矩陣或PSD是已知的。

雜波與實際環境關系較大，因此雜波模型比較多樣化，一種簡單的方式是將其看作信號相關干擾，即雜波是雷達發射波形經過隨機線性時不變濾波器的輸出，其沖激響應是一個廣義平穩隨機過程[8–11,32]。如圖4和圖6中所示，雜波為：

該模型不允許頻譜擴展，因此雷達和雜波之間不存在相對運動。通常假設c(t)的PSD是已知的，為Scc(f)，那么雜波的PSD為

特別的，也可以認為c(t)是由多個不同散射強度和時延的散射點構成的[4]，雜波沖激響應函數為：

當雜波為相鄰距離單元的回波信號時[33–35]，將其建模為不同距離單元的不相關散射中心回波的疊加，當前距離單元回波與雜波和噪聲的回波為：

當環境雜波為海雜波時，S P Sira將常用的復合高斯海雜波模型用于波形設計問題中[36]，研究了強海雜波參數估計與最優檢測波形設計問題。綜上，雜波中目標檢測的波形設計問題需要根據實際雜波模型來分別進行研究。

干擾樣式多種多樣，其分類和建模不在本文考慮范圍內。本文基于目標檢測的波形優化問題進行討論，而干擾雷達系統檢測性能的干擾模式通常為噪聲壓制干擾。因此在目標檢測波形優化設計的文獻中，一般簡單地將干擾看作色噪聲，具有某個給定的PSD。如對于窄帶噪聲壓制干擾或相鄰頻帶的其他電子設備干擾，其PSD在某一個或幾個頻帶內較大，其余頻帶內較小，采用色噪聲環境中最優波形設計相同的方法，通過最大化SINR，構造波形頻譜凹口來抑制該類干擾，提高干擾環境中的雷達目標檢測性能。如圖7所示[12]，干擾頻譜是系統頻帶內某個頻帶的噪聲。

圖7 干擾頻譜Bjam與系統帶寬BsysFig. 7 Jamming band Bjamand system bandwidth Bsys

2.3.2 色噪聲環境中的最優波形設計 色噪聲是與發射信號不相關的噪聲，通常認為其協方差矩陣是已知的。文獻[12]提出了3種抑制色噪聲的波形優化方法，準則函數為最大化SINR。

其中，C是噪聲協方差矩陣。

方法1是簡單地將最優波形矢量選為噪聲協方差矩陣的最小特征值對應的特征矢量[10]，即方法2將噪聲協方差矩陣的特征值小于噪聲電平的對應特征向量求和，并進行縮放使之滿足能量約束，從而具有更大的設計靈活性，即其中，是小于噪聲電平的相應特征向量，γ是使其滿足能量約束的縮放系數。方法3是方法2中特征向量的加權和，其中權系數的選擇使得設計的波形接近于某種需要的波形(如LFM信號)，即這3種方法可以提高雷達系統的SINR，從而提高目標檢測概率，有效地抑制色噪聲的影響。3種方法得到的最優波形頻譜都在色噪聲頻帶內有明顯的凹口。如圖8所示，為其中方案2的最優波形頻譜，它在色噪聲較強的頻帶內具有較少的功率。

圖8 色噪聲PSD與方法二得到的最優波形功率[13]Fig. 8 Colored noise PSD and the optimal waveform power using method 2[13]

進一步地，Li Jian等人在上述色噪聲中SINR最大的波形優化問題中增加了相似性約束和恒包絡約束[13]，提出了SWORD(Signal Waveform's Optimal-under-Restriction Design)方法來求解該優化問題，相比于文獻[12]有較大的性能提升。

2.3.3 雜波環境中的最優波形設計 與色噪聲不同，雜波信號回波與雷達發射波形相關，使得雷達波形設計更加復雜。早期研究中，通過設計發射信號和濾波器對來最大化信雜噪比以提高雷達目標檢測性能的文獻有很多[37–40]。這些算法統稱為特征迭代算法[41]，首先對于給定的發射信號獲得最優濾波器，再利用該最優濾波器求解最優發射信號，依次迭代來求解Fredholm積分方程，這種特征迭代算法的最優性并未被證明。

文獻[42]證明了不需要同時設計信號和濾波器，當已知信道PSD，噪聲PSD和點目標運動的多普勒和發射信號頻譜時，干擾環境中點目標檢測的最優接收機是確定的，只需要進行發射波形設計，再采用與之對應的Neyman-Pearson接收機即可。

對于圖4和圖6所示的一般雜波模型，SINR的形式很容易得到，點目標模型和擴展目標模型最大化SINR的最優波形ESD都是注水法的形式，見式(8)和式(13)。最優波形將能量集中在雜波功率較小的頻帶內，從而抑制雜波[8,9]。

對于式(21)所示的相鄰距離單元雜波回波模型，最大化信雜噪比的波形優化準則同樣可以表示為[34]：

注意到，與式(22)不同，此時的協方差矩陣C不僅包含了噪聲協方差，還包含了雜波分量，因此與信號有關，不能直接采用類似SWORD的方式進行求解。文獻[34]研究了恒包絡或低PAPR約束下的最優波形設計，證明了散射系數估計的MSE最小準則與最大化SINR準則是一致的。對于恒包絡約束條件，采用梯度下降法可以從時域直接求解最優波形與相應的濾波器；對于低PAPR約束，仍然從頻域求解最優波形的ESD，進而采用循環算法(Cyclic Algorithm)進行時域合成。

對于上述相鄰距離單元雜波回波模型，M Piezzo等人將雷達網絡中多部雷達的波形設計問題看作非合作博弈[33]，用博弈論的方法來求解雜波中最大化SINR的最優波形。

對于一些具體問題中的雜波模型，如文獻[36]中的復合高斯海雜波，通過估計雜波的時變參數，最小化其它距離單元的雜波貢獻來設計相位調制波形。

2.4 時域波形合成

在雷達目標檢測的最優波形設計過程中，有的方法只能獲得最優波形的ESD，要得到時域信號需要進一步進行時域波形合成[5,9,23,15–18]；有的方法可以直接設計時域最優發射波形[6,7,10,12,13,30]。

2.4.1 最優ESD合成時域波形 由于雷達目標檢測的最優波形設計通常采用SINR作為優化準則函數，而SINR的頻域表達式只與波形的ESD有關，與波形相位無關。在得到最優波形ESD之后，如何進行時域信號合成使得合成的時域信號ESD與最優波形ESD差距最小，是波形設計研究的重要問題之一。

Durbin方法[43]是一種簡單的時域信號合成方法，它通常用于MA模型譜估計問題中，采用Durbin方法的好處是可以合成最小相位信號。首先將最優波形ESD進行傅里葉反變換，得到自相關函數，將該自相關函數帶入Yule Walker方程，用Levinson算法來求出最佳線性預測系數，從而得到自相關函數的估計。將求得的自相關函數估計寫成Yule Walker方程，得到的MA參數就是時域波形[9]。這里，并沒有對信號進行其他約束，實際應用中通常需要信號是恒包絡的，或者具有較低的PAPR。

對于恒包絡信號的時域合成，一種簡單的方法是計算最優ESD的傅里葉反變換，加窗獲得所需要的樣本數，然后加上恒包絡約束。但是該方法合成的時域信號ESD與所需的最優ESD差距很大。也可以采用駐定相位原理來進行時域信號合成[15]。

給定最優波形的ESD，求解具有恒定包絡約束的時域波形問題屬于相位恢復(Phase Retrieval)問題，有關相位恢復問題的綜述可以參考文獻[19]第2章。最早的相位恢復問題采用Gerchberg-Saxton算法(GSA)來求解，這是一種誤差遞減算法，通過在時域和頻域之間不斷投影，逐漸減小設計的信號ESD與最優波形ESD之間的誤差，從而求得滿足時域包絡約束條件，且頻域ESD與最優ESD誤差最小的最優時域波形。文獻[19]對傳統的GSA算法進行改進，用來設計時頻域樣本數不相等情況下的最優時域波形。圖9為該投影過程中誤差減小的示意圖[18]，其中，集合CM表示滿足頻域ESD要求的波形集合，集合CA表示滿足時域恒包絡約束的波形集合，注意到，兩個集合可能不存在交集。為第k次迭代的誤差，PM為投影算子，在迭代過程中誤差逐漸減小，最終收斂到既滿足時域包絡恒定要求，又使得設計信號的ESD與最優ESD誤差最小的最優波形。

圖9 誤差減小性質[18]Fig. 9 Error reducing[18]

文獻[15]采用最小化設計信號的頻率響應與最優ESD的平方根之間的均方誤差的方法來進行恒包絡時域信號合成，即其中，時域信號s的長度為M，持續時間為T，能量為E, S(fn)是信號的傅里葉變換，表示其相位。最優ESD為長度為N，頻率采樣間隔為該方法相比于直接反變換法和駐定相位原理法，ESD誤差較小。如圖10所示，圖10(a)為仿真過程的目標和環境特性，其中環境特性為雜波PSD，目標特性為目標頻率響應。圖10(b)為最優ESD與采用文獻[15]中方法進行恒包絡時域波形合成的ESD。

圖10 多目標分類的SINR最大的最優波形設計[20]Fig. 10 SINR based radar waveform optimization for multiple target classification[20]

文獻[17]采用最小化設計信號的ESD與最優ESD之間的均方誤差的方法來進行恒包絡時域信號合成，即

注意到，上述幾種迭代方法只能合成恒包絡時域信號，當放寬恒包絡約束條件，而采用低PAPR約束時，上述方法無法使用。P Stoica等人提出了一種循環算法進行時域信號合成，不僅適用于只有能量約束的波形設計，有恒包絡約束的信號合成，還適用于低PAPR約束的情況[16]。

2.4.2 直接設計時域最優波形 設計最優ESD進而合成時域波形的方法多少會帶來一定的性能損失，因此有的文獻轉而從時域直接合成所需要的最優發射波形。

求解Fredholm方程的方法以及利用求解Fredholm方程的特征迭代法屬于直接時域波形求解的方法[7,10,12]，不需要經過求解最優ESD再合成時域波形。經典的SWORD法[22]也是直接從時域求解式(23)中的優化問題。

雜波環境中恒包絡發射信號最優化問題[16]

可以直接采用梯度下降法來求解。但是由于每次迭代都需要求解M個方向的梯度，因此計算復雜度比較高。

對于一般雜波模型，將離散SINR的頻域表示

利用離散傅里葉變換矩陣轉化為如下時域表示[6,21,44]：

3 目標檢測的波形優化問題研究趨勢

通過第2節對雷達目標檢測的波形優化問題進行分類整理不難看出，雷達目標檢測的波形優化問題一直是認知雷達及波形優化問題中人們關注的重要問題之一，已有研究已經包含了不同準則函數、約束條件、目標模型、環境特性等多個方面的最優波形設計，但是這些研究仍然存在一些不足之處，例如干擾抑制和雜波抑制的波形優化設計研究中，對于實際的具體干擾模型或者雜波模型的情況研究較少，一些通用的簡化模型可能在實際應用中不足以描述環境特性，因而導致最優波形性能下降；最優波形設計算法的復雜度、實時性分析以及在實際系統應用中可能存在的問題討論不夠深入，與真正使用還存在很大的差距；發射波形最優化結合環境與目標參數估計，以及發射波形的自適應變化策略等研究不夠充分。因此，我們認為目標檢測的波形優化問題具有如下幾點重要的發展趨勢。

3.1 多目標場景的檢測波形最優化

已有的目標檢測最優波形設計問題中，通常要判決場景中存在/不存在某一類已知的目標。由于檢測概率、SINR等優化準則函數與該目標的特性(如目標沖激響應)有關，因此基于這些準則函數的波形優化都是針對該類目標的最優檢測波形。當場景中可能同時存在多類待檢測的目標時，最優檢測波形應如何設計是下一步研究的重要內容。已有研究中采用約束或優化波形的自相關/互相關函數的方法，使相關函數具有較尖銳的主瓣和較低的旁瓣，從而在多目標場景中減小強目標回波對鄰近弱目標的遮蓋，是多目標場景中最優波形設計的一種思路。另外，同時利用多類目標特性來設計某種最優發射波形，或交替發射多種目標分別對應的最優檢測波形等方法有待進一步研究。

3.2 多優化準則的檢測波形最優化

隨著雷達性能的不斷提高和技術的不斷發展，進一步需要雷達同時具有多種模式和多種任務。因此，雷達發射波形不僅要具有較好的目標檢測性能，還要具有較高的參數估計或跟蹤、識別性能，從而通過一次或較少次數的觀測同時完成檢測、估計等任務。一些研究已經開展了多個優化準則的波形最優化設計，如同時提高檢測概率和減小參數估計的克拉美羅下限[45]，同時提高SINR和互信息[23]，同時優化目標檢測性能和相關函數特性[6,21]，同時增大馬氏距離提高檢測性能和減小稀疏恢復的誤差[46]等。隨著對多模式多任務雷達需求的加劇，未來波形優化設計將朝著多種優化準則的方向發展，將模糊函數特性、相似性約束、檢測概率、參數估計性能等眾多因素同時考慮在內，設計具有多種優化性能的統一的發射波形形式。

3.3 認知MIMO雷達和認知雷達網絡的波形設計與資源優化配置

與傳統的相控陣雷達相比，MIMO雷達的每個發射天線可以發射不同的波形，具有較大系統自由度，可以獲得更高的目標分辨和參數估計性能。認知MIMO雷達基于目標和環境信息，通過自適應調整MIMO雷達各天線的發射波形，適應變化的目標和環境并提高MIMO雷達性能。復雜環境中通常包括多部雷達系統，充分利用每部雷達的信息構建認知雷達網絡，也是未來發展趨勢之一。基于MIMO雷達和雷達網絡的波形設計以及有限資源的優化配置問題是研究的熱點之一，也將進一步獲得更大的發展。

3.4 檢測波形最優化方法在認知雷達中的應用

目前開展的檢測波形最優化方法與認知雷達技術中的波形自適應優化方法還存在一定的差距。檢測波形最優化方法通常假設目標和環境特性已經獲取，利用該信息或其他先驗知識進行波形最優化。并沒有將回波參數估計與發射波形設計結合起來，將整個認知雷達探測過程串聯起來進行研究。在實時雷達觀測過程中，如何將回波中提取的目標和環境信息提供給發射機進行最優波形設計，目標和環境特性的變化對發射波形調整的影響、波形自適應方法、波形調整的策略制定等問題，還需要進一步深入研究。

3.5 檢測波形最優化方法的統一性與特殊性研究

一方面，檢測波形最優化方法將朝著統一化的方向發展：不同目標模型和環境特性下的檢測波形最優化方法具有某些方面的共同點，其統一性研究有重要的意義；實際環境的影響、先驗信息或估計誤差對波形設計的影響以及非理想統計特性的影響等需要進一步開展全面、普適性的研究；并且不同的檢測波形最優化方法都將朝著更加快速、穩健的方向發展。

另一方面，針對特別場景的檢測波形最優化有待進一步研究，如城市環境、地海交界等特殊雜波模型下的最優檢測波形；檢測波形設計與其他方向的交叉結合，如基于空時自適應處理、壓縮傳感、貝葉斯估計等技術的檢測波形設計等問題，需要針對特定問題和特定應用，研究最優波形設計算法。

4 總結

本文對雷達目標檢測的最優波形設計研究進行了歸納總結，將其按照一些常見的重要問題分為若干類別，分別分析了一些常用的準則函數和約束條件，點目標模型和擴展目標模型的最優檢測波形設計，色噪聲和雜波環境中的最優檢測波形設計，最優檢測波形ESD合成時域信號及直接時域波形設計等問題。通過分類梳理，有助于充分了解和掌握現有目標檢測波形優化設計問題的研究現狀和主要研究內容。根據現有研究，本文提出了目標檢測的波形優化問題發展的趨勢，為該領域的研究者提供借鑒與思路。

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An Overview of Radar Waveform Optimization for Target Detection

Wang Lulu①Wang Hongqiang②Wang Manxi①Li Xiang②

①(State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System, Luoyang 471003, China)

②(College of Electronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

An optimal waveform design method that fully employs the knowledge of the target and the environment can further improve target detection performance, thus is of vital importance to research. In this paper, methods of radar waveform optimization for target detection are reviewed and summarized and provide the basis for the research.

Cognitive radar; Target detection; Waveform optimization

TN95

A

2095-283X(2016)05-0487-12

10.12000/JR16084

王璐璐, 王宏強, 王滿喜, 等. 雷達目標檢測的最優波形設計綜述[J]. 雷達學報, 2016, 5(5): 487–498.

10.12000/JR16084.

Reference format: Wang Lulu, Wang Hongqiang, Wang Manxi, et al.. An overview of radar waveform optimization for target detection[J]. Journal of Radars, 2016, 5(5): 487–498. DOI: 10.12000/JR16084.

王璐璐(1988–)，女，河南人，2015年獲得國防科技大學工學博士學位，現任電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室助理研究員，主要研究方向為自適應波形設計、認知雷達。

E-mail: wanglulunudt@163.com

王宏強(1970–)，男，陜西人，現任國防科技大學電子科學與工程學院研究員，博士生導師，主要研究方向為太赫茲技術、量子雷達、雷達目標特性。

王滿喜(1979–)，男，河南人，現任電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室助理研究員，主要研究方向為通信對抗。

黎 湘(1967–)，男，湖南人，現任國防科技大學電子科學與工程學院教授，博士生導師，主要研究方向為雷達系統與信號處理、雷達自動目標識別與模糊工程、雷達成像等。

2016-07-01；改回日期：2016-08-29；

2016-10-19

*通信作者：王璐璐 wanglulunudt@163.com