具有Hassell-Varley型的隨機(jī)捕食系統(tǒng)正全局解的存在性

葉麗霞，蘭德新

（武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300)

具有Hassell-Varley型的隨機(jī)捕食系統(tǒng)正全局解的存在性

葉麗霞，蘭德新

（武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300)

基于Hassell-Varely型功能性反應(yīng)和隨機(jī)干擾，研究了一類(lèi)具有Hassell-Varely型的隨機(jī)捕食系統(tǒng)正全局解的存在性與唯一性。利用隨機(jī)微分方程中的比較原理及It?積分方法，給出了該系統(tǒng)正全局解的存在性與唯一性的充分條件，為研究該系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定奠定基礎(chǔ)。

隨機(jī)擾動(dòng)；Hassell-Varley型功能性反應(yīng)；正全局解

在生物種群的研究中，研究者們把種群與種群之間相互競(jìng)爭(zhēng)、捕食與被捕食、互惠合作等情況建成數(shù)學(xué)模型，用來(lái)描述、預(yù)測(cè)以致調(diào)節(jié)和控制物種的發(fā)展過(guò)程和發(fā)展趨勢(shì)。食餌-捕食者相互作用的關(guān)系是生物種群之間相互作用的基本關(guān)系之一，是生態(tài)學(xué)、生物學(xué)的研究熱點(diǎn)。

功能性反應(yīng)是指單個(gè)捕食者在單位時(shí)間內(nèi)捕食者、食餌的數(shù)量，其在食餌-捕食者系統(tǒng)的研究中扮演著重要角色.目前，對(duì)于不同功能性反應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)已建立相應(yīng)的研究成果[1-12]。

1969年，Hassell和Varley首先發(fā)現(xiàn)捕食者種群之間的干擾影響捕食效率的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，并提出了現(xiàn)在被稱(chēng)作Hassell-Varley[6]型功能性反應(yīng)

這里和分別代表食餌和捕食者種群規(guī)模（或者密度），是捕食者搜尋食餌的效率，用來(lái)表示捕食者之間的干擾，一般介于0到1之間。近年來(lái)，具有Hassell-VarleyH-V型功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)深得許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，并建立了相應(yīng)的研究。

2013年，楊戈鋒[3]研究一類(lèi)具有遷移效應(yīng)的Hassell-Varley型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)，利用比較原理和解的延展定理，給出了該系統(tǒng)耗散性和持續(xù)生存的條件。

2012年，鐘敏玲,劉秀湘[5]對(duì)一類(lèi)具有Hassell-Varley型功能性反應(yīng)的非時(shí)滯捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解存在性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)重合度定理的延拓定理的改進(jìn)，給出了一種新的解的估計(jì)方法，同時(shí)運(yùn)用拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃裕o出了該系統(tǒng)周期解存在性的充要條件。

但目前對(duì)具有Hassell-Varley型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的研究，大多涉及其正周期解、持續(xù)生存的研究，對(duì)于該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，全局解的存在唯一性涉及的比較少,而且對(duì)該類(lèi)系統(tǒng)的研究很少考慮隨機(jī)因素的影響。

然而，在現(xiàn)實(shí)的生物系統(tǒng)中，隨機(jī)因素總是不可避免的。我們發(fā)現(xiàn)，外界的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)生物的生長(zhǎng)及種群的密度產(chǎn)生影響。因此，隨機(jī)生物系統(tǒng)模型的研究具有現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用意義，是十分重要的。

JiCY等[11]利用隨機(jī)微分方程的比較原理及It?積分，對(duì)一類(lèi)具有隨機(jī)干擾的時(shí)滯食餌-捕食系統(tǒng)進(jìn)行分析，給出了其系統(tǒng)正全局解的存在唯一性和該解的階矩上界.目前，對(duì)具有隨機(jī)擾動(dòng)和時(shí)滯的食餌-捕食者系統(tǒng)的研究涉及比較少，尤其是具有Hassell-Varley型功能性反應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)。

本文在王莉[7]提出模型的基礎(chǔ)上，考慮環(huán)境白噪聲的干擾，提出一類(lèi)具有隨機(jī)擾動(dòng)的食餌-捕食者系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有Hassell-Varley型功能性反應(yīng)函數(shù)。利用隨機(jī)微分方程中的比較原理及It?積分公式，在一些假定條件下，給出了該系統(tǒng)正全局解存在唯一性的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1（隨機(jī)微分方程的比較原理）設(shè)xi（t）分別是隨機(jī)微分方程

的解，其中f（x，t）∈C（Rx［0，∞］），g（x，t）∈C（Rx［0，∞］）.若還滿(mǎn)足：

（2）f1（x，t）

（3）x1（0）≤x2（0）；

則依概率1有,x1（t）≤x2（t），t≥0。

2 主要結(jié)論

Hassell-Varley模型是Hassell和Varley在1969年首次發(fā)現(xiàn)充裕的捕食者數(shù)量對(duì)捕食量有反作用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并提出的模型，該模型更形象地描述了生物系統(tǒng)相互作用的關(guān)系。H-V型功能性反應(yīng)的食餌-捕食系統(tǒng)的一般形式為：

其中，x（t），y（t）分別表示食餌種群和捕食者種群在t時(shí)刻的密度；r，k，a，β,γ分別表示食餌內(nèi)稟增長(zhǎng)率，捕食率，半飽常數(shù)，捕食者的死亡率和食餌生物量轉(zhuǎn)化為捕食者生物量的轉(zhuǎn)化率；δ稱(chēng)為Hassell-Varley系數(shù).該模型能夠反映形成群體的捕食者之間的相互關(guān)系，對(duì)于某些構(gòu)成群體的陸地捕食者，可設(shè)而對(duì)某些構(gòu)成群體的水生捕食者，設(shè)更合適些，若δ=1，即捕食者沒(méi)有形成群體，則模型就要變?yōu)楸嚷市筒妒痴?食餌系統(tǒng)。

基于此，本文假設(shè)系統(tǒng)（2）中食餌和捕食者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率r，k受到隨機(jī)干擾，即

研究下列具有擾動(dòng)的Hassell-Varley型功能性的食餌-捕食者系統(tǒng)：

下面將研究系統(tǒng)（3）的解是存在且唯一的。

全文中，除非特別說(shuō)明，設(shè)（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）是完備的概率空間，｛Ft｝t≥0滿(mǎn)足通常條件，即單調(diào)遞增且右連續(xù)，F(xiàn)0包含所有零測(cè)集，B1（t），B2（t）是定義在整個(gè)概率空間上的相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)。

系統(tǒng)（3）中，x（t），y（t）表示種群密度，則由實(shí)際意義可知它們非負(fù)，現(xiàn)在我們通過(guò)變換，并利用引理1隨機(jī)方程的比較原理，證明系統(tǒng)（3）的解存在唯一且是全局的。

定理3.1若下列條件

成立，則對(duì)給定的初始函數(shù)x（0）=x0，y（0）=y0，系統(tǒng)（3）存在唯一解，且此解以概率1位于中，即

證明：首先條件變換x（t）=eu（t）,y（t）=eν（t）則可得到如下方程：

具有初始函數(shù)

顯然系統(tǒng)（5）系數(shù)滿(mǎn)足局部Lipschitz條件，則在t∈（［0，τe］上有唯一局部解（u（t），ν（t）），其中τe是爆破時(shí)間，由It?式可知x（t）=eu（t）,y（t）=eν（t）是對(duì)任意給定的初始函數(shù)，系統(tǒng)（3）的唯一正局部解。

其次，證明此解是全局的，即證τe=∞。

由x（t）>0，y（t）>0可知，

dx（t）≤［r-bx（t）］x（t）dt+σ1x（t）dB1（t）

有解.It?積分方法可解得

由引理1知，x（t）≤φ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.（6）

有解.由It?積分方法可解得

由引理1知，y（t）≤ψ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.。（7）

另一方面,由于y（t）≤ψ（t）且δ∈（0，1），則有

有解.由It?積分公式可解得

則x（t）≥φ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.。（8）

又因?yàn)?/p>

有解.由It?積分方法可解得

則y（t）≥ψ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.。（9）

總之，由式（6）-（9）式可知

ψ（t）≤x（t）≤φ（t），ψ（t）≤y（t）≤ψ（t），a.s.。

注意到，當(dāng)t≥0，Φ（t），φ（t），Ψ（t）和ψ（t）都存在.所以?t≥0，對(duì)任意給定的初始函數(shù)x（0）=x0，y（0）=y0系統(tǒng)（3-2）有唯一正解（x（t），y（t）），幾乎處處成立，證畢。

[1]Liu M,Wang K.Global stability of stage-structured predator–prey models with Beddington–DeAngelis functional response[J].ELSEVIER,Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011（16）:3792–3797.

[2]張升泉,劉會(huì)民.具有非線性收獲率和Hassell-Varley型功能性反應(yīng)的差分方程組的周期解[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013（3）:415-422.

[3]楊戈鋒.具有遷移效應(yīng)的Hassell-Varley-Holling捕食者-食餌系統(tǒng)的持續(xù)生存[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013（1）:61-66.

[4]沈柳平,姚曉潔,楊繼昌.一類(lèi)具有Hassell-Varley型功能反應(yīng)和脈沖的擴(kuò)散捕食系統(tǒng)的正周期解存在性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011（13）:228-240.

[5]鐘敏玲,劉秀湘.脈沖時(shí)滯Hassell-Varley-Holling功能性反應(yīng)捕食者：食餌系統(tǒng)周期解存在的充要條件[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012（2）:297-308.

[6]Hassell M P,Varely G C.New inductive population model for insect parasites and its bearing on biological control[J]. Nature,1969（223）:1133-1137.

[7]王莉.有Hassell-Varley型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)持續(xù)生存性[J].企業(yè)技術(shù)開(kāi)發(fā)，2012,31（1）：1006-8937.

[8]JiCY,Jiang D Q,Li X Y.Qualitative analysis of a stochastic ratio-dependent predator–prey system[J].ELSEVIER,Journal of Computational and Applied Mathematics，2011(235):1326–1341.

[9]LiYQ,Gao H L.Existence,uniqueness and global asymptotic stability of positive solutions of a predator–prey system with Holling II functional response with random perturbation[J]. ELSEVIER,Nonlinear Analysis,2008(68):1694–1705.

[10]孟笑瑩，鄧其飛，彭云建.具有隨機(jī)擾動(dòng)的食餌-捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011，33（2）：385-389.

[11]Ji C Y,Jiang D Q,Shi N Z.Analysis of a predator–prey model with modified Leslie–Gower and Holling-type II schemes with stochastic perturbation[J].ELSEVIER,Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009(359):482–498.

[12]Hye K K,Hunki B.The dynamical complexity of a predator–prey system with Hassell–Varley functional response and impulsive effect[J].ELSEVIER,Mathematics and Computers in Simulation,2013(94):1–14.

（責(zé)任編輯：葉麗娜）

Existence of Global Solutions Stochastic Prey-Predator System with Hassell-Varley Type Functional Response

YE Lixia，LAN Dexin
(School of Mathematics and Computer,Wuyi University,Wuyishan,Fujian 334300)

With Hassell-Varley type functional response and random disturbance,this paper further studies existence and uniqueness of global solutions stochastic prey-predator system with Hassell-Varley type functional response.A sufficient condition of existence and uniqueness of global solutions have been presented for such systems by using the comparison principle of stochastic differential equation and integral,contributing to study global asymptotic stability of the systems.

random disturbance;Hassell-Varley type functional response;global solutions

O175

A

1674－2109(2016)09－0038－04

2016-01-05

國(guó)家自然科學(xué)基金（11202249）,福建省青年教師科研基金（JA15524）。

葉麗霞（1987-），女，漢族，助教，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)方面的研究。