月球低能返回軌道設計的混合自適應遺傳算法

劉 玥，錢霙婧，馬 林，王 鵬，荊武興

(1.航天東方紅衛星有限公司，100094北京; 2. 北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，100022北京; 3.哈爾濱工業大學 航天學院，150001哈爾濱)

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月球低能返回軌道設計的混合自適應遺傳算法

劉 玥1，錢霙婧2，馬 林1，王 鵬1，荊武興3

(1.航天東方紅衛星有限公司，100094北京; 2. 北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，100022北京; 3.哈爾濱工業大學 航天學院，150001哈爾濱)

針對月球探測器低能量返回軌道設計問題，在橢圓四體問題下建立探測器動力學模型，考慮太陽引力與月球橢圓運動對探測器軌道的影響，并分析探測器低能量返回軌道的存在性與軌道動力學特性，以及針對設計月球最低能量返回軌道過程中模型強非線性、全局優化性能差等現象，提出了一種混合自適應遺傳算法用于尋找月球探測器返回地球所需的最低能量以及對應的轉移軌道，算法根據種群適應度數據自適應改變進化特征，提高了種群向全局最優點進化的效率，降低了計算量.仿真結果表明，此種算法可以精確高效地計算月球探測器返回地球所需的最低能量，所需的速度脈沖僅為傳統的雙曲拼接法的75%，顯著節約了能源消耗.

月球探測器；返回軌道；低能量；自適應；遺傳算法

隨著我國探月計劃的推進，月球返回技術已由“嫦娥5”實驗探測器成功驗證，該技術對未來建立月球基地、開發月球資源至關重要[1-2].然而，傳統的月球采樣返回方式需要將探測器送入月球雙曲軌道脫離月球引力場進而返回地球，燃料消耗極大(約810 m/s的速度脈沖)[3]，因此如何利用盡量少的燃料將更多的月球資源返回地球，決定了未來開發月球的效益[4].

研究低能量返回軌道，主要關注兩方面:1)月球探測器脫離月球影響球的最低能量需求;2)如何在低能量脫離月球影響球的同時能夠返回地球.對于前者，研究表明，100 km環月圓軌道上的探測器能夠借助日月引力與地月橢圓運動的作用，以最低603 m/s左右的速度脈沖經地月平動點脫離月球影響球[5].對于后者，文獻[6]在其研究中曾以仿真算例的形式證明了探測器能夠從地月L2平動點逃逸后，經日地月引力共同作用返回地球.然而，月地低能返回軌道存在較強的引力混沌現象，飛行器微量的飛行狀態偏差會導致終端狀態明顯的改變，甚至無法實現返回，利用傳統的梯度法迭代設計軌道，或不能求取迭代所需的梯度數值，或使算法收斂迭代步長很難選取，導致迭代無法進行，因此，需要采用收斂性較強的軌道設計方法，保證軌道設計的成功率和計算效率.

事實上，月地低能返回軌道與Hiten號飛行器所使用的低能奔月軌道具有明顯的對稱性，其軌道設計方法也可對本文的研究提供參考[7].當前，主要有主矢量法、Halo軌道演化法、流形拼接法、智能搜索算法等尋優算法可代替傳統打靶迭代法用于設計低能奔月軌道[8-12].其中，主矢量法利用極大值原理求取從地球出發到月球彈道式捕獲所需的最小脈沖能量，但需要猜測本無物理意義的協狀態初值，計算效率和自動化水平不高.Halo軌道演化法和流形拼接法利用了低能轉移軌道所在的空間不變流形與平動點穩定/非穩定流形接近甚至相切的特性，快速獲得低能轉移軌道的初值，但是需要先花費大量時間計算空間不變流形管路，且對捕獲后的軌道參數并沒有加以限制.月地返回軌道要求探測器以嚴格的再入軌跡進入大氣層，加之軌道本身的弱穩定性，上述這些軌道設計算法都很難獲得符合工程任務的計算結果[9-12].而遺傳算法在求取強非線性、多局部最優點的問題時具有較強的優勢，適合本文中對月地低能返回軌道的設計工作[13-15].但其計算量大，求解精度與種群數量相關，因此需要對其進行改進.

本文針對月球非載人探測器返回軌道的設計問題，在橢圓四體問題下研究探測器的動力學特性，并提出了一種改進的混合自適應遺傳算法，用于搜索最低返回能量，最終仿真結果表明，月球探測器可以月球橢圓軌道初始速度出發，經過地月L2平動點返回地球.

1 日地月多體動力學與低能返回軌道分析

1.1 探測器動力學模型

研究月球低能返回軌道的設計問題，至少需要同時考慮日地月引力和月球橢圓運動對探測器的影響，因此，探測器動力學模型使用日地月星橢圓四體問題進行建模.模型建立在地月旋轉坐標系中，以地月質心為原點，月心方向為x軸，月球軌道角動量方向為z軸，y軸與另外兩軸形成右手系，如圖1所示.

探測器在地月旋轉坐標系中的動力學方程矢量形式如下

式中:μe、μm、μs分別為地球、月球和太陽的引力常數;rep、rmp、rsp分別為探測器相對于地球、月球和太陽的位置矢量;rso為太陽相對地月質心的位置矢量;ω為地月旋轉角速度.

圖1 月球低能返回軌道模型

1.2 返回軌道特性分析

設計月地低能返回軌道，首先需要研究確定返回軌道的存在性以及動力學特征.本文中，主要著眼于彈道式低能量返回軌道的設計問題，所以僅考慮月球探測器以單次脈沖變軌進入返回軌道返回地球.首先，為了驗證返回軌道的存在性，利用數值搜索的方法，以月球白道100km圓軌道為初始軌道，時間區間為2020年1月，以不同的月心經度為初始位置施加切向脈沖，使探測器進入一條半長軸為25 000km的月球大橢圓軌道，在多體系統的作用下，可得到不同的發射時間和月心經度對應的軌道近地點半徑分布圖，如圖2所示.

圖2 探測器近地點分布情況

從分布圖中可以看出，在一個月球運動周期內(約為28d)，不同的發射相位對應的軌道近地點高度分布可分為4個區域，而只有處于D區域時，探測器才有可能以單次變軌的形式低能量彈道式返回地球.圖3為地心慣性系下月球探測器低能量返回軌道，值得指出的是，圖2所示的軌道分布規律具有普遍性，幾乎每個月均有1個低能量返回軌道發射窗口.

圖3 月球低能返回軌道(慣性系)

通過仿真計算可知，選擇合適的探測器發射狀態，可實現低能量返回，然而此結論并不具有工程實踐性，由于返回地球需要保證較高的再入點精度，因此需要對探測器返回軌道的終端再入點進行約束，并以此約束修正發射點參數，得到滿足再入參數需求的低能返回軌道.

2 月球返回約束條件分析

月球返回任務中，若不考慮探測器從月面起飛進入環月過渡軌道的發射段，可以假設探測器已經處于一條圓形環月軌道上，其高度為100km，探測器從該軌道出發，轉移至地球大氣層邊緣，考慮探測器在我國內蒙地區再入著陸，其軌道約束條件見表1.

可見，對于工程可實現的月地低能返回軌道來說，是一個典型的多目標優化問題，通常，遺傳算法對于這種強非線性優化問題具有較好的搜索性能，但是這種方法計算量較大，特別是對于月球低能返回軌道設計問題，需要同時優化點火時間、脈沖方向、脈沖大小等，計算量將呈指數增加，并且遺傳算法的局部搜索能力不如梯度法，因此，若能設計兼顧全局尋優和局部快速收斂的混合算法，可以顯著提高返回軌道設計的效率.

表1 混合遺傳算法計算結果

注：rm0為月心軌道半徑；Hef為再入點高度；if為軌道傾角；λf為再入點經度；φf為再入點緯度.

3 基于自適應交叉變異概率與牛頓迭代的混合自適應遺傳算法

3.1 遺傳算法的計算步驟

遺傳算法自上世紀70年代發展至今，已按照編碼形式、進化法則等不同計算機制發展成多種子算法，廣泛應用于信息、計算和應用科學等領域，但是其基本原理與流程仍然是通過模擬自然選擇和自然遺傳機制進行隨機搜索，其計算流程如圖4所示[16-17].

圖4 遺傳算法計算流程

3.2 控制變量和適應度函數的定義

使用遺傳算法進行月地低能返回軌道的設計過程中，可以進行優化的控制變量有變軌時間、初始環月軌道傾角、變軌時刻探測器月心經度、變軌脈沖大小，采用混合編碼形式為

適應度函數值可以使用終端參數偏差的加權和，由于不要求控制變量與優化指標同維數，本文可以增加一些優化指標，如初始脈沖大小，以期能夠求取既滿足終端約束條件又最為節省發射能量的返回策略，因此適應度函數可以寫為

式中，加權系數c1～c5的選擇影響著優化算法對某一設計指標的搜索敏感程度.本文中，利用加權系數對各個參數進行歸一化處理，使得不同優化指標的變化范圍趨于統一，有利于搜索的進行.具體的系數定義為：c1=1.73(km/s)-1;c2=6 378(km)-1;c3=c4=c5=180 (°)-1，此處需要指出的是，由于各設計指標均具有不同的量綱，為對其進行加權和計算，加權系數應對其進行量綱一的處理，因此系數的量綱為指標量綱的倒數.

3.3 算法流程

針對上述優化問題的特點以及遺傳算法與微分修正法的優缺點，提出了混合自適應遺傳算法，算法的流程如下：

1) 隨機產生初始群體作為父代并計算其適應度；

2) 對其中的個體以概率Pc進行編碼-交叉-解碼運算，產生子代并加入群體；

3) 對群體中的個體以概率Pm進行編碼-變異-解碼運算，產生子代并加入群體；

4) 對群體中的個體以概率Ps對指標J進行微分修正，產生的新個體替換原有個體；

5) 按照優勝劣汰的規則，淘汰弱勢個體，保持種群規模.

3.4 自適應交叉與變異概率

本文中，為了避免遺傳算法概率性達到局部最優的情況，采用自適應交叉、變異和搜索概率進行補償，以期避免陷入局部最優的情況發生，其中心思想是，對于群體較為集中的情況，增大種群的交叉與變異概率，增加逃離局部最優點的機會，同時，對于種群中較為優勢的個體，增加搜索概率，使得算法收斂速度加快.實際計算中，以種群的最低適應度Fitmin、最高適應度Fitmax和平均適應度Fitave三者決定交叉、變異和搜索概率的大小，具體算法為：

式中:Pcmax、Pmmax、Psmax分別為個體最大交叉、變異與搜索概率. 需要指出的是，搜索概率對不同個體是不同的，個體越占有優勢，就有更大的幾率進行進一步的搜索以快速到達最優點.

4 仿真分析

4.1 算法參數設置

利用本文提出的混合自適應遺傳算法進行月地低能返回軌道設計，需要對程序算法進行參數設置.本文中，選取探測器初始軌道高度為100 km，入射脈沖沿軌道切線方向施加，入射時刻范圍為2020年1月1日至30日，入射時刻探測器月心經度為-180°～0°，變軌脈沖大小為600～650 m/s，環月軌道傾角為0°～90°，優化指標按照遺傳算法的計算步驟進行定義，通過多次計算經驗得到較好的個體最大交叉、變異與搜索概率為Pcmax=0.80%，Pmmax=0.05%，Psmax=0.05%，種群規模為2 000個，最大代數限制為100代.按照此設置進行搜索計算，可以較為迅速地搜索到所需的最優返回軌道.

4.2 軌道設計結果

利用上述混合自適應遺傳算法對月球探測器低能量返回軌道設計問題進行求解，代入仿真程序計算，最終得到了最優的月球探測器低能量返回軌道(見圖5)，返回參數見表2.

圖5 低能返回軌道設計結果

入射時間入射時刻月心經度/(°)脈沖大小/(m·s-1)環月軌道傾角/(°)再入點軌道傾角/(°)再入點高度/km再入點經度/(°)再入點緯度/(°)2020年1月5日13:15:30-123.373634.82023.51043.700131.350113.17025.950

與傳統的雙曲拼接方式相比，最低能量轉移軌道所需的速度脈沖僅為其3/4，對于未來的資源運輸任務來說，本階段的燃料節約意味著可以減少地球向月球運送燃料的總量，而且能夠提高資源運輸量，對商業開發月球來說無疑顯著提高了經濟效益.

4.3 算法性能比較分析

利用本文提出的混合自適應遺傳算法進行月地低能返回軌道尋優計算，所使用的計算機系統性能配置為：計算機采用3.0 GHz單核處理器，4 G內存，計算程序使用Matlab8.0編程，整個仿真計算過程耗時約10 min，經31代計算后得到軌道設計結果.

除本算例外，在研究過程中還使用相同算例對一般遺傳算法、流形拼接法、一般打靶法等算法一并進行仿真計算以作比較，各算法的計算性能見表3.

表3 算法性能比較

需要指出的是，表3中，流形拼接法、一般打靶法和主矢量法均可在短時間內迭代得到所需的月地低能轉移軌道，且計算時間遠優于遺傳算法，但這種高效計算的前提是需要通過大量手動試湊得到較為準確的迭代初值，往往耗時遠多于遺傳算法且不能保證計算成功率.然而，這也表明，若能在初值猜測方面尋找突破口，實現快速、自主地給出迭代初值，將顯著提高低能返回軌道的計算效率，得到比混合自適應遺傳算法更優的軌道設計方法.

5 結 論

1) 在橢圓四體問題下建立探測器動力學模型，分析了低能返回軌道的存在性與規律性；設計一種結合迭代法的混合式自適應遺傳算法，求解使得探測器以最低發射能量返回地球的發射時機、發射相位以及對應的速度脈沖.

2)仿真結果表明，采用混合自適應遺傳算法設計軌道，可利用相對較少的計算量得到優化的軌道參數，并實現完全自動化計算，無需人工給定迭代初值，具有較好的計算效率.

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(編輯 張 紅)

An adaptive genetic algorithm for low energy lunar return trajectory design

LIU Yue1, QIAN Yingjing2, MA Lin1, WANG Peng1, JING Wuxing3

(1.DFH Satellite Co. Ltd., 100094 Beijing, China; 2.College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, 100022 Beijing, China; 3.School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, 150001 Harbin, China)

To design low energy return trajectory for unmanned lunar probe, the dynamic model of the probe is developed under the elliptical four body problem in consideration of the effect of sun′s gravitation and lunar elliptical motion to the probe′s orbit. The existence and the dynamical characteristics of the return trajectory are analyzed. To deal with the strong nonlinearities of the dynamic model and the local convergence in the optimal process, an adaptive genetic algorithm is proposed which can adjust the self-evolution parameters according to the fitness of the population to improve the effectiveness of the evolution of the population to the global optimal point as well as to reduce the computation burden. According to the simulation results, the algorithm works well in optimizing the energy needed for the lunar probe to return to Earth, which is only 75% of that in the traditional hyperbolic matching method.

lunar probe；return trajectory；low energy；adaptive；genetic algorithm

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.04.013

2014-10-09.

國家自然科學基金(11172077)；高等學校博士學科點專項科研基金(20112302110055).

劉 玥(1986—)，男，博士;

荊武興(1965—)，男，教授，博士生導師.

荊武興，jingwuxing@hit.edu.cn.

V448.231

A

0367-6234(2016)04-0079-05