淺析高考中的三角問題

李紅艷

三角函數(shù)是高考中的重點(diǎn)熱點(diǎn)之一，選擇、填空、解答題都有所體現(xiàn)，約有20分左右，難度屬于中低檔，也是學(xué)生得分的主要途徑。在高考中，常考察的內(nèi)容有三角函數(shù)的恒等變換、圖像、性質(zhì)，現(xiàn)在就各題型略做總結(jié)分析。

考點(diǎn)1、化簡(jiǎn)求值：主要應(yīng)用三角中的誘導(dǎo)公式，和與差，倍角公式等進(jìn)行化簡(jiǎn);

例1、（2016年全國(guó)II高考）若，則sin2α（ ? ?）

（A） ? ? ?（B） ? ? （C） ? ? ?（D）

【解析】，故選D

例2、（2016年全國(guó)III高考）若tanα= ，則cos2α+2sin2α=（）

（A） ? ? ? ? ? ?（B） ? ? ? ? ? ? （C） ?1 ? ? ? ? ? ?（D）

【解析】，故選A

考點(diǎn)2、求最值：這是三角函數(shù)中最重要的內(nèi)容之一，主要是利用正余弦函數(shù)的有界性求最值;

例3、（2016年北京高考） 在?ABC中，.

（1）求∠B的大小;

（2）求 的最大值.

【解析】⑴ ∵ ? ?∴

∴ ? ? ? ∴∠B=

⑵∵A+B+C= π∴A+C=

∴

∵A+C= ? ? ?∴A∈（0，） ? ?∴A+∈（，π）

∴sin（A+）最大值為1

例4、（2016年山東高考）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

（Ⅰ）證明：a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

【解析】（Ⅰ）由得，

所以2sinC=sinB+sinC，由正弦定理，得a+b=2c.

（Ⅱ）由.所以cosC的最小值為.

考點(diǎn)3、三角函數(shù)的圖像：三角函數(shù)從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考所考察的問題之一;

例5、（2016年全國(guó)III高考）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移 ? ? ? ? ? ? ? 個(gè)單位長(zhǎng)度得到。

【解析】

例6、（2016年浙江高考）函數(shù)y=sinx2的圖象是（ ? ?）

【解析】D首先能判斷出函數(shù)是偶函數(shù)，排除A、C，然后取得

考點(diǎn)4、三角函數(shù)的性質(zhì)

例7、（2016年山東高考）函數(shù)f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ? ? ?）

（A） ? （B）π ? ? ? （C） ? ?（D）2π

【解析】化簡(jiǎn)后，故選B

例8、（2016年天津高考）已知函數(shù)f（x）=4tanxsin（）cos（）-.

（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期;

（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間[]上的單調(diào)性.

解析：（Ⅰ）解：f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠+kπ，k∈Z}.

f（x）=4tanxcosxcos（x-）-=4sinxcos（x-）-

=4sinx（cosx+sinx）-=2sinxcosx+2sin2x-

=sin2x+（1-cos2x）-=sin2x-cos2x=2sin（2x）-

所以，f（x）的最小正周期T==π.

（Ⅱ）解：令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

由，得

設(shè)，易知.

所以， 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減。

考點(diǎn)5、求三角函數(shù)解析式

例10、（2016年全國(guó)II卷高考）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（ ? ?）

（A） ? （B）

（C） ? ?（D）

【解析】∴ω=2再由五點(diǎn)法，，k∈Z，故選A

考點(diǎn)7、解三角形

例11、（2016年全國(guó)II高考）?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，a=1，則b=.

【解析】∴sinB=sin[π-（A+C）]=sinAcosC+cosAsinC=

由正弦定理可得：

例12、（2016年全國(guó)I高考）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

（I）求C;

（II）若的面積為，求的周長(zhǎng).

【解析】（1）2cosC（acosB+bcosA）=c

由正弦定理得：

2cosC（sinA·cosB+sinB·cosA）=sinC

2cosC·sin（A+B）=sinC

∵A+B+C=π，A、B、C∈（0，π）

∴sin（A+B）=sinC>0

∴2cosC=1，

∵C∈（0，π）

∴C=

（2）由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab·cosC

∴ab=6

∴（a+b）2-18=7

a+b=5

∴周長(zhǎng)為。

在復(fù)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候應(yīng)加強(qiáng)對(duì)兩角和與差的正弦、余弦公式，倍角公式，三角函數(shù)的圖形，性質(zhì)以及正、余弦定理的應(yīng)用，多練習(xí)，題的難度不宜過大，注意做題的效率，特別要對(duì)每類題型的技巧方法加以歸類總結(jié)，習(xí)慣用圖形來解決關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)的題。