用數學方法點亮物理思維

徐飛翔

(靈璧縣第一中學 安徽 宿州 234200)

(收稿日期：2016-04-06)

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用數學方法點亮物理思維

徐飛翔

(靈璧縣第一中學 安徽 宿州 234200)

(收稿日期：2016-04-06)

在具體的物理問題中，注重啟發學生的數學思維，發展學生數學與物理相結合的能力.根據物理場景，靈活運用歸納法、曲線方程、三角函數等數學知識，提煉出數學模型，構建數學方程.運用數學知識解決物理問題，促進學科融合，發展學生智力，滲透STEM教育.

數學方法 物理思維 歸納法 曲線方程 STEM教育

在自然科學發展的過程中，物理和數學緊密聯系相互滲透.物理教學中要培養學生靈活運用數學知識解決物理問題的能力.在物理習題教學中，要注意滲透數學思維方法.數學方法與物理場景結合，能夠激發學生的思維能力，培養學生嚴謹的邏輯思維習慣.

1 理論依據

在《普通高中物理課程標準》中規定課程具體目標時強調：通過物理概念和規律的學習過程，了解物理學的研究方法，認識物理實驗、物理模型和數學工具在物理學發展過程中的作用[1].這里明確提出物理模型與數學知識相結合的思維訓練.在物理高考考試說明中規定：(1)能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論；(2)能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析[2].在近年興起的STEM(科學、技術、工程、數學)教育中[3],也強調了數學與物理工程科學的融合對學生未來發展的重要作用.

2 應用舉例

【例1】一般指針式鐘表中的時針、分針與秒針都可視為勻速轉動，分針與秒針從第一次重合至第二次重合，中間經歷的時間為( )

解析：本題是一道經典的圓周運動的追及問題.常規思路是秒針再次和分針重合，必定秒針比分針多轉了一周即2π弧度，設秒針的角速度為ω1，分針的角速度為ω2，則

這里n→∞.此式中第1項到第 n項構成一個等比數列，聯系等比數列求和的通項公式

代入數據

此題運用邏輯推理的方法，歸納出兩針再次相遇時間的表達式，靈活運用數學知識，分析解決物理問題，培養了學生的思辨能力.

【例2】如圖1，一質點以速度v從傾角為θ的斜面底端斜向上拋出，速度v的水平分量為v0,落到斜面上的M點且速度水平向右.現將該質點以2v的速度從斜面底端朝相同方向拋出，落在斜面上的N點.下列說法正確的是( )

A．從出發點到M點和從出發點到N點所用的時間之比為1∶2

B．落到M和N兩點時速度之比為1∶1

C．M和N兩點的高度之比為1∶2

D．落到N點時速度方向水平向右

圖1 質點從斜面底端斜向上拋

解析：由于落到斜面上M點時速度水平向右，故可把質點在空中的運動逆向看成從M點向左的平拋運動.如圖2所示，從斜面上的M點以初速度v0平拋一物體，以M 點為坐標原點建立平面直角坐標系，不計空氣阻力，經時間t，物體落在斜面上時其速度為v,水平位移和豎直位移分別為x，y.

圖2 質點從斜面上M點水平拋出

可得

(1)

則有

(2)

對落點處分解速度如圖3所示.

圖3 在落點處分解速度

則有

(3)

α=arctan(2tan θ)-θ

(4)

可見，從斜面上任意位置水平拋出物體落到斜面上時速度方向與斜面的夾角都相同，角度為α.反之，逆向思維，若從斜面底端與斜面夾角為α，斜向上拋出物體落到斜面上時達到最高處，速度方向剛好水平.依本題意，若物體以2v的速度從斜面底端朝相同方向拋出，則落到N點時速度方向水平向右,可知D正確.又根據

又由

vy=gt

(5)

得出

(6)

又由落點的速度公式

(7)

小結：本題的一個重要思路是斜上拋運動的逆向思維.斜上拋運動到最高點的過程逆看為平拋運動.那么，換一種思維方式，對上圖1用斜上拋運動結合數學知識再來分析這一題會怎樣呢？

如圖4所示，假設物體斜上拋的速度與水平方向的夾角為β且β=α+θ.由斜上拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動，取水平、豎直方向為x軸、y軸，t 時刻物體的坐標為

圖4 對斜上拋物體進行分析

由以上兩式聯立消去參數t,可得到斜拋物體運動的軌跡方程

由拋物線方程得到頂點的坐標為

兩式相除可得

所以有

上式表明沿同一方向拋出的各個物體所到達的最高

tan(α+θ)=tan β=2tan θ

在教學中結合具體物理問題，靈活運用數學方法，注重滲透“STEM”教育，對理科學生的思維能力發展是大有幫助的.

1 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準.北京:人民教育出版社,2004

2 中華人民共和國教育部.2016年高考考試說明——理科綜合.北京:人民教育出版社,2015

3 朱學彥,孔寒冰.科技人力資源開發探究——美國STEM 學科集成戰略解讀.高等工程教育研究, 2008(2)

4 楊榕楠.更高更妙的物理.杭州:浙江大學出版社,2013.42

徐飛翔(1975- ),男,本科，中教一級，主要從事中學物理教學與研究.