三體問題一類特解的研究

姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

(收稿日期：2016-04-08)

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三體問題一類特解的研究

姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

(收稿日期：2016-04-08)

采用等效質量的方法對三體問題中3個天體始終構成一個正三角形的特解進行研究，得到了其運動的軌跡方程和運動周期的解析解.

三體問題 等效質量 解析解

宇宙中由3個天體構成的系統，忽略其他天體對它們的作用時存在一種運動形式：3個天體在相互之間的萬有引力的作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點上，繞其一共同圓心在三角形所在平面內做曲線運動.本文先研究了3個天體做勻速圓周運動的規律，后研究一般軌道上的運動規律.

1 三體做勻速圓周運動

圖1 三體做勻速圓周運動

A，B星系統的質心為D在x軸上坐標為

設A，B，C 3天體的質心為O′，則O′在CD的連線上，C天體做勻速圓周的半徑為

同理可求得天體A和B的軌道半徑分別為

C做勻速圓周運動過程中受到的萬有引力的合力為

F=

三體若始終構成一個邊長不變的正三角形，則系統的周期與邊長和三體的總質量有關.

2 三體的一般軌道

若用等效質心法,則3個天體一定組成一個正三角形，質心位置不變.

代入F和rC可求得

同理得

圖2 三體等效質量的計算

在圖3中，令中心天體的等效質量為M，某一個天體的質量為m，則星體與中心天體的作用力可寫為

圖3 三體的一般軌道

由比耐公式[2]

代入后得

即

這個微分方程形式與諧振動方程完全一樣，它的解為

ξ=Acos(θ-θ0)

而

即

三體問題中的某一個天體的軌道方程可寫為

式中

其中θ0與初始位置有關.

當E<0時，則e<1軌道為橢圓;

當E>0時，則e>1軌道為雙曲線;

當E=0時，則e=1軌道為拋物線.

說明:

(1)要保證3個天體始終組成一個正三角形，則3個天體運動軌跡的離心率應相等.

3 三體問題的周期

設A是矢徑掃過的面積，由開普勒第二定律，知單位時間內矢徑掃過的面積相等，即

即

或

將上式兩邊積分后得

2A=h(T-t0)

當矢徑掃過全部橢圓后，A=πab，而所需的時間就是周期T，2πab=hT，整理后得

即

整理為

實際運動中能量為NE0，即

當N>0時，則e<1軌道為橢圓;

當N<0時，則e>1軌道為雙曲線;

當N=0時，則e=1軌道為拋物線.

4 數值模擬

為了研究問題的方便，令G=1,m1=1,m2=2,m3=3,數值模擬如圖4所示.

圖4 三體運動軌道的數值模擬

5 結束語

通過對三體問題此類特解的分析可以發現，三體的運動軌道和周期與它們初始狀態有關，比如能