剛體與質(zhì)點動力學關系的內(nèi)在統(tǒng)一性*

張明鐸 郝長春 莫潤陽 沈壯志

(陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710119)

(收稿日期：2016-04-26)

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剛體與質(zhì)點動力學關系的內(nèi)在統(tǒng)一性*

張明鐸 郝長春 莫潤陽 沈壯志

(陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710119)

(收稿日期：2016-04-26)

質(zhì)點動力學和剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學分別遵循牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定理，好像互不相關,但這兩個規(guī)律本質(zhì)上都是描述適用對象在外因作用下運動狀態(tài)的變化與外因量之間的關系，反映相關物理量之間關系的數(shù)學方程形式上完全一樣．通過對比分析這些內(nèi)在聯(lián)系，給出了這兩個力學模型動力學方程的統(tǒng)一表述．

質(zhì)點 剛體 動力學規(guī)律 動量定理 牛頓第二定律 角動量定理 轉(zhuǎn)動定理

1 引言

質(zhì)點和剛體是分析和研究力學現(xiàn)象的兩個非常重要的基本模型，質(zhì)點動力學和剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學是大學物理教學的主要內(nèi)容[1～4]．中學物理涉及的動力學問題絕大多數(shù)是質(zhì)點動力學．與中學物理相比，大學物理有關質(zhì)點動力學內(nèi)容的主要差異在于更多的強調(diào)矢量的概念、運動的多維性和瞬態(tài)性以及微積分的應用等．所以，學生對于這一部分的學習理解相對容易些．但剛體動力學涉及的概念、定義、定律等，對學生來說幾乎是“全新”的問題，大家往往感覺理解困難．本文從動力學的因果關系入手，結(jié)合剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學問題，運用比較的方法，揭示這兩個力學模型實質(zhì)上的“統(tǒng)一性”．

2 兩個力學模型的概念與主要研究內(nèi)容

2.1 質(zhì)點的概念與主要內(nèi)容

就所研究的問題而言，當物體的大小和形狀可忽略不計時，可把物體簡化為理想化的模型——只有質(zhì)量而沒有形狀和大小的幾何點，稱之為質(zhì)點．一個物體能否看作質(zhì)點，并不取決于其實際大小，而是由研究問題的性質(zhì)確定．

描述質(zhì)點動力學關系的物理量主要有：位置矢量、位移、速度、加速度、動量、動能及勢能等．相關的主要定律、定理有：牛頓定律、動量定理、動量守恒定律、動能定理、功能原理、機械能轉(zhuǎn)化與守恒定律等．

質(zhì)點模型主要用于研究物體平動過程的動力學現(xiàn)象．

2.2 剛體的概念與主要內(nèi)容

對所研究的問題來說，當物體在受力時發(fā)生的形變很小且可忽略不計時，可把物體簡化為理想化的模型——在任何情況下其形狀和大小都保持不變的物體，稱之為剛體．一個物體能否看作剛體，并不取決于其形變的實際大小，而是由研究問題的性質(zhì)確定．

描述剛體動力學關系的物理量主要有：角坐標、角位移、角速度、角加速度、角動量、轉(zhuǎn)動動能等．相關的主要定律、定理有：角動量定理、角動量守恒定律、轉(zhuǎn)動定理、轉(zhuǎn)動動能定理、功能原理、機械能轉(zhuǎn)化與守恒定律等．

剛體模型主要用于研究物體較復雜運動過程的動力學現(xiàn)象．許多情況下，物體的復雜運動可看作由兩種基本運動(物體的質(zhì)心運動和物體繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動)疊加而成．質(zhì)心運動可用質(zhì)點動力學描述，所以，本文重點探討剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學問題．

3 兩個力學模型的比較

質(zhì)點動力學和剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學是大學物理力學部分的主要內(nèi)容，相關物理量的定義以及它們各自所遵循的規(guī)律，在相關教材[1～4]中都有詳盡的描述．為便于比較和分析，本文作了簡要總結(jié)，如表1和表2所示．

表1 質(zhì)點與剛體定軸轉(zhuǎn)動的比較之一

注1：對于質(zhì)點一維直線運動，為了保持表述的連貫性，即使是矢量，表中繼續(xù)沿用中學物理的表述方法．

注2：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度也是矢量，表中只是給出計算其大小的公式，其方向的確定方法在大學物理教材中有詳細的表述，這里不再贅述．

表2 質(zhì)點與剛體定軸轉(zhuǎn)動的比較之二

4 兩個力學模型的內(nèi)在統(tǒng)一性分析

表面上看，兩個力學模型互相獨立且分別遵循不同的動力學規(guī)律，好像互不相關，其實不然．

首先，所有大學物理教材[1～4]都強調(diào)，處理剛體動力學問題遵循如下原則：

(1)將剛體分成若干微小部分．

(2)將每一微小部分看成一個質(zhì)點．

(3)將剛體看作是由無數(shù)質(zhì)點組成的質(zhì)點系．

(4)構成剛體的任意兩個質(zhì)點間的距離在運動中恒定不變．

(5)以質(zhì)點力學為基礎研究剛體運動學和動力學，每一質(zhì)點是局部，剛體是全局．

所以，就分析和研究問題的思路而言，這里還是將剛體當作質(zhì)點看待，只不過是一個特殊的質(zhì)點系．

其次，物理規(guī)律的定量描述是通過一系列數(shù)學方程表述的，如表1和表2所示．仔細分析表中對相關量和定理、定律的表述不難發(fā)現(xiàn)，它們描述的物理現(xiàn)象雖然不同，但如果剔除各個符號的具體物理意義，其數(shù)學方程的形式則是一樣的．

例如，質(zhì)點的動力學關系是用牛頓第二定律表述的，即

其中力F是導致質(zhì)點運動狀態(tài)——動量p發(fā)生變化的原因，正是由于受到外因(力)的作用，使得質(zhì)點的動量發(fā)生了變化，或者說使得質(zhì)點產(chǎn)生了加速度a．從式(1)可知，(慣性)質(zhì)量m相同的物體，所受外力越大，其動量變化率和加速度越大；受力相同的物體，質(zhì)量越大，其動量變化率和加速度越小，即質(zhì)量越大，物體的運動狀態(tài)越不易發(fā)生變化．

又比如，剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學關系是用轉(zhuǎn)動定理(角動量定理的特例)表述的，即

其中力矩M是導致剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)——角動量L發(fā)生變化的原因，正是由于受到外因(力矩)的作用，使得剛體的角動量發(fā)生了變化，或者說使得剛體產(chǎn)生了角加速度β．從式(2)可知，轉(zhuǎn)動慣量J相同的物體，所受外力矩越大，其角動量變化率和角加速度越大；受力矩相同的物體，轉(zhuǎn)動慣量越大，其角動量變化率和角加速度越小，即轉(zhuǎn)動慣量越大，物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)越不易發(fā)生變化．

綜合上述分析可知，質(zhì)點或剛體的運動狀態(tài)之所以會發(fā)生變化，是由于有外因的作用；外因量(力或力矩)越大，其運動狀態(tài)(動量或角動量)的變化越大；慣性量(質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量)越大，其運動狀態(tài)越不易發(fā)生變化．

據(jù)此，若換一種表述，將質(zhì)點和剛體動力學關系中物理意義相似的量統(tǒng)一用一個新的量來表述，如表3所示，則質(zhì)點和剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學關系可統(tǒng)一表述為

表3 質(zhì)點與剛體定軸轉(zhuǎn)動部分相關量的統(tǒng)一

質(zhì)點剛體統(tǒng)一量物理量符號物理量符號物理量符號質(zhì)量m轉(zhuǎn)動慣量J慣性量I速度v角速度ω速度量V加速度a角加速度β加速度量A動量p=mv角動量L=Jβ運動量m=IV力F力矩M外因量R

通過類似的變換，當然可以得到質(zhì)點和剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學以及動力學關系的統(tǒng)一表述，如表4所示．

表4 質(zhì)點與剛體定軸轉(zhuǎn)動的統(tǒng)一性表述

續(xù)表

5 結(jié)束語

表面上看，兩個互相獨立的力學模型——質(zhì)點和剛體分別遵循不同的動力學規(guī)律，好像互不相關,但就其本質(zhì)上而言，牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定理所描述的都是在外因作用下，適用對象運動狀態(tài)的變化與外因量之間的關系，反映相關物理量之間關系的數(shù)學方程形式上是完全一樣的．本文通過對比分析這些內(nèi)在聯(lián)系，給出了這兩個力學模型動力學關系的統(tǒng)一表述．本文結(jié)論對于學生更好地學習和理解剛體力學相關內(nèi)容有很大的幫助．

致謝:真誠感謝陜西師范大學吳勝舉、盧永智、李永放、陳玲、王元、醋燕妮等老師對本文工作的支持與幫助．

1 程守洙，江之永．普通物理學(第1冊)(第4版)．北京: 人民教育出版社，1982．6～143

2 馬文蔚．物理學(上冊)(第5版)．北京：高等教育出版社，2006．1～136

3 范中和．大學物理學(上冊)(第2版)．西安: 陜西師范大學出版社，2008．14～141

4 彭志華，付茂林．大學物理(上冊)(第2版)．武漢: 華中科技大學出版社，2009．7～75

The Inherent Uniformity of the Dynamic Relationship of Rigid Body and Mass Point

Zhang Mingduo Hao Changchun Mo Runyang Shen Zhuangzhi

(College of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University, Xi′an,Shaanxi 710119)

Mass point dynamics and rigid body dynamics of the axial rotation follow Newton′s second law and rotation theorem respectively, as if they are not correlate to each other. But all the two laws are essentially to describe the relationship between the change of the moving state of an applicable object and the external paramerters when external factors act on the object. And, the forms of the mathematical equations reflecting the relationship between the relevant physical quantities are exactly the same. By comparativing and analyzing the internal relationships, this paper gives the unitive expression of the dynamic equation of the two mechanic models.

mass point; rigid body; dynamic law; theorem of momentum; Newton′s second law; theorem of angular momentum; rotation theorem

*陜西師范大學2016年度校級綜合教學改革項目，項目編號：16JG23

張明鐸(1963- )，男，副研究員，主要從事聲學及大學物理的教學和科研工作.