不同參考系下的相對(duì)論多普勒效應(yīng)
——求解第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第4題

郁林富

(寧波市鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江 寧波 315200)(收稿日期：2016-05-06)

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競(jìng)賽與物理專題研修

不同參考系下的相對(duì)論多普勒效應(yīng)
——求解第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第4題

郁林富

(寧波市鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江 寧波 315200)(收稿日期：2016-05-06)

基于相對(duì)論速度變換和同一直線上相對(duì)論多普勒效應(yīng)，給出了在接收者系下，運(yùn)動(dòng)方向與位移連線不在同一直線上的相對(duì)論多普勒效應(yīng)的頻率變換公式．

多普勒效應(yīng) 相對(duì)論 競(jìng)賽

第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第4題解析非常復(fù)雜，讓一般的同學(xué)望而卻步，在此結(jié)合相對(duì)論多普勒效應(yīng)給出新的思路，避開(kāi)了多次近似，大大降低了題目計(jì)算難度，更有利于競(jìng)賽推廣．

1 一維方向上的多普勒效應(yīng)

(1)接收者靜止，光源以u(píng)S向接收者靠近

圖1 接收者靜止，光源向接收者靠近

根據(jù)相對(duì)論效應(yīng)其在S系中的周期

所以在S系中的波長(zhǎng)

λ=λ0-uST=cT-uST

接收者系接收到的頻率

(2)光源靜止，接收者以u(píng)0向光源靠近

如圖2所示，接收者為S′系，實(shí)驗(yàn)系為S系(光源系)，設(shè)S系中光的頻率為v0，為了得到接收者在接收者系的頻率，光源的速度利用相對(duì)論速度變換公式轉(zhuǎn)換到接收者參考系中．

圖2 光源靜止，接收者向光源靠近

此時(shí)光源的速度為

在接收者為S′系看來(lái)光源以u(píng)0在靠近，同(1)可得此時(shí)接收者接收到的頻率

(3)光源以u(píng)S，接收者以u(píng)0相互靠近

接收者為S′系，實(shí)驗(yàn)系為S系(光源在S中以u(píng)S運(yùn)動(dòng))，此時(shí)光源在S′系的速度為

2 二維方向上的多普勒效應(yīng)

(1)接收者靜止，光源以u(píng)S運(yùn)動(dòng)

圖3 接收者靜止，光源沿直線運(yùn)動(dòng)且與觀察者連線成θ角

根據(jù)相對(duì)論效應(yīng)其在S系中的周期

將uS投影到連線上

uScos θ

所以在S系中的波長(zhǎng)

λ=λ0-uSTcos θ=cT-uSTcos θ

接收者接收到的頻率

(2)光源靜止，接收者以u(píng)0運(yùn)動(dòng)

如圖4所示，接收者為S′系，實(shí)驗(yàn)系為S系，設(shè)S系中光的頻率為v0，夾角為θ．

圖4 光源靜止，接收者沿直線運(yùn)動(dòng)且與光源連線成θ角

此時(shí)光源在S′系的速度為

原本光速沿x，y兩方向的分量分別為

ux=ccos θ uy=csin θ

由速度變換公式，在S′系中光速的兩個(gè)分量分別為

則在S′系中，來(lái)自銀河系邊緣的光的速度方向與x′軸的夾角為θ′,有

S′系中接收者接收到的頻率

(3)光源以u(píng)S運(yùn)動(dòng)，接收者以u(píng)0運(yùn)動(dòng)

如圖5所示，接收者為S′系，實(shí)驗(yàn)系為S系(光源在S中以u(píng)S運(yùn)動(dòng))，此時(shí)光源在S′系的速度為

圖5 光源和接收者平行運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向與兩者連線的夾角成θ角

原本光速沿x，y兩方向的分量為ux=ccos θ和uy=csin θ,由速度變換公式，可得在S′系中光速的兩個(gè)分量分別為

則在S′系中，來(lái)自銀河系邊緣的光的速度方向與x′軸的夾角為θ′,有

接收者接收到的頻率

利用二維方向上的多普勒效應(yīng)(1)、(2)中的結(jié)論求解第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第4題.

【題目】如圖6所示，飛機(jī)在距水平地面(xz平面)等高的航線KA(沿x正方向)上，以大小為v(v遠(yuǎn)小于真空中的光速c)的速度勻速飛行；機(jī)載雷達(dá)天線持續(xù)向航線正右側(cè)地面上的被測(cè)固定目標(biāo)P點(diǎn)(其x坐標(biāo)為xP)發(fā)射扇形無(wú)線電波束(扇形的角平分線與航線垂直)，波束平面與水平地面交于線段BC(BC隨著飛機(jī)移動(dòng)，且在測(cè)量時(shí)應(yīng)覆蓋被測(cè)目標(biāo)P點(diǎn))，取K點(diǎn)在地面的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知BC與航線KA的距離為R0．天線發(fā)出的無(wú)線電波束是周期性的等幅高頻脈沖余弦波，其頻率為f0．

已知機(jī)載雷達(dá)天線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)(其x坐標(biāo)為xA)及此后朝P點(diǎn)相繼發(fā)出無(wú)線電波信號(hào)，由P反射后又被機(jī)載雷達(dá)天線接收到，求接收到的回波信號(hào)的頻率與發(fā)出信號(hào)的頻率之差(頻移)．

圖6 飛機(jī)在空中飛行所建立的坐標(biāo)系

解析：如圖7所示，光源P點(diǎn)接收到的頻率為

其中

在P點(diǎn)反射，頻率不變，所以飛機(jī)在A′點(diǎn)接收到的頻率為

圖7 解題的題圖

其中

所以

cos α1cos Δα-sin α1sin Δα≈cos α1

所以飛機(jī)接收到的頻率可變?yōu)?/p>

頻率差值為

其中

即α1為從機(jī)載雷達(dá)射出的光線與飛機(jī)航線之間的夾角.

注：本題中所求頻率差均為飛機(jī)上的觀察者觀察得到，若題干中的飛機(jī)發(fā)射頻率f0為地面系中的參數(shù)，則可先將地面上的頻率變?yōu)轱w機(jī)上的觀察者系中的頻率，求解后再逆變換回地面參考系頻率，由于兩次變化都乘除相同系數(shù)，所以兩次變換所得結(jié)果在地面系中觀察到飛機(jī)接收到的頻率也為

3 結(jié)束語(yǔ)

近年來(lái)競(jìng)賽加分取消，但拔尖高校對(duì)競(jìng)賽生的偏好沒(méi)有降低，在高校自主招生中競(jìng)賽生優(yōu)勢(shì)依舊明顯，除了北京大學(xué)、清華大學(xué)以外，其他的一流10校基本都要求考生為省一等獎(jiǎng)，特別是C9高校，如，上海交通大學(xué)、中國(guó)科技大學(xué)、浙江大學(xué)等高校．其他高校天津大學(xué)、南開(kāi)大學(xué)等都要求省一等獎(jiǎng)．全國(guó)物理競(jìng)賽新大綱中沒(méi)有相對(duì)論多普勒效應(yīng)，但掌握相對(duì)論多普勒效應(yīng)對(duì)全國(guó)物理競(jìng)賽帶來(lái)很大的幫助，可謂站在高山頂上往下看往往能看到上山的最佳路線．

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué)．北京：高等教育出版社，2004.364～374

2 黎永光．相對(duì)論能量——?jiǎng)恿孔儞Q關(guān)系式與光波的多普勒效應(yīng)．武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1999(3):93～96

The Relativistic Doppler Effect under Different Reference Frame——Solution of Question 4 in the 32nd Chinese Physics Competition

Yu Linfu

(Zhenhai High School，Ningbo,Zhejiang 315200)

Based on the relativistic Doppler effect in the same line and Relativistic velocity transformation, the relativistic Doppler effect frequency conversion formula, which can be used in the condition that motion direction and displacement of the connection is not in the same line in different reference frames.

doppler principle；the theory of relativity；competition