深度解析磁通量的變化

胡愛和

(張家港崇真中學 江蘇 蘇州 215631)(收稿日期：2016-05-23)

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深度解析磁通量的變化

胡愛和

(張家港崇真中學 江蘇 蘇州 215631)(收稿日期：2016-05-23)

高中階段由于引入磁通量的教學時機有待商榷，主觀造成了學生對磁通量及其變化的理解困難；基于高中物理教學的實際需要，提出了兩種磁通量變化的簡易算法，并對涉及磁通量變化的應用提出了幾點建議．

磁通量變化 平面法向量 電荷量 電磁感應定律

磁通量及其變化貫穿《物理·選修3-2》，盡管它們的作用、意義巨大，但磁通量好似罩著一層朦朧面紗，學生對其的認知感悟總是充滿了困惑．之所以認識上模糊，筆者認為主要原因：首先磁通量引入時機尷尬；高中階段物理量引入目的性很強，或為解決某類問題，或為描述某些現象，而磁通量是《物理·選修3-1》學習磁場時突然出現的(起碼學生這樣認為)，缺少了服務于教學的迫切動機，正因為目的不明確，教師在新課教學中忽視了對磁通量內涵的理解和外延的把握，造成了磁通量教學地位尷尬．其次不少教師對磁通量變化的認知不統一；物理學習中一直沒有較好的方法計算磁通量的變化，前幾年教師間關于“交流發電機線圈轉動一周，磁通量的變化是4BS還是零？”的爭論還歷歷在目，甚至出現了同校不同教師的班級得出兩種不同的“正確”分析；教師內部的認識都不統一，學生出現困惑也理所當然．

本文基于高中物理教學需要，擬提出兩種磁通量變化的計算方法，并對涉及磁通量變化的應用提出幾點建議，供同行探討．

1 磁通量變化的兩種算法

磁通量是標量，有正有負，磁通量的正負不表示大小，可以理解為是一種標示，類似功的正負．高中物理學習中，若不涉及磁通量變化，規定磁通量的正負意義不大；而在磁通量變化過程中，教師對磁通量正負的規定又具有隨意性，正是這種隨意讓學生費解，因此厘清磁通量為什么會有正負變化是解決學生困惑的關鍵，也是正確計算磁通量變化的關鍵．

1.1 引入平面法向量計算磁通量的變化

高中《數學·選修2-1》空間向量(第99頁)對平面法向量做出了明確的定義，該內容的教學和《物理·選修3-1》磁場的學習幾乎同步，因此學生在學習《物理·選修3-2》時具備了應用平面法向量的數學基礎，也為計算磁通量變化做好了鋪墊．下面用一個案例探討引入平面法向量計算磁通量變化的過程．

如圖1所示，矩形線圈從與磁場垂直的位置(圖中實線)繞軸轉動180°，已知勻強磁場的磁感應強度為B，線圈面積為S，求過程中磁通量的變化．

圖1 磁場中的矩形線圈

選取一條與線圈平面垂直的有向線段——平面的法向量n，如圖1中所示；線圈轉動時，與線圈構成一個整體的平面法向量n也隨之一起轉動，穿過線圈的磁通量可以表示為Φ =BScos α，其中α是磁感應強度與平面法向量的夾角．根據表達式，初始位置線圈的磁通量Φ1=BS，末位置的磁通量為Φ2= -BS，因此過程中磁通量的變化

ΔΦ=Φ2-Φ1=-2BS

若線圈從初始位置開始轉動一周，由于初末位置的平面法向量與磁感應強度的夾角相同，初末位置的磁通量也相同，所以磁通量的變化

ΔΦ=Φ2- Φ1= 0

引入法向量不僅方便計算轉動中磁通量的變化，對平動中的磁通量變化計算也有益．

如圖2所示，完全對稱的磁場其磁感應強度為B，面積為S的線框從磁場Ⅰ區拖動到Ⅱ區，磁通量的變化為

ΔΦ=Φ2-Φ1= BScos 180°-BScos 0°=-2BS

圖2 線圈在完全對稱的磁場

以往計算磁通量或磁通量的變化，習慣做法是將磁感應強度分解或將面積沿磁場方向投影，學生由于空間感不強對角度的判斷容易混淆；引入平面法向量n計算磁通量變化，有利于學生迅速找準磁感應強度與法向量的夾角α(比線面夾角更直觀，更容易確定)，有利于學生理解磁通量正負的來歷——只由兩者夾角α決定，也讓學生了解磁通量規定正負是為了方便計算其變化．

1.2 Φ- t圖像法計算磁通量的變化

線圈繞與勻強磁場垂直的軸轉動，穿過線圈的磁通量變化是連續的；線圈處在與磁場平行的位置時，磁通量為零，零是連續變化的正負數轉換的臨界點；當線圈即將轉過與磁場平行的位置(Φ=0)，此時穿過線圈的磁通量即將由正值變為負值，或剛好相反．根據這一特點，可以繪制Φ-t圖像形象地反映并計算線圈中磁通量變化．

在圖1所示的線圈勻速轉動中，取初始時刻磁通量為正值，當t1時刻線圈轉過90°時，磁通量為零，此時線圈的磁通量即將由正變負，描繪Φ- t圖像如圖3所示，以后再轉90°至圖1中虛線所示位置時，磁通量為- BS；轉半圈的磁通量變化

ΔΦ= -BS - BS= -2BS

圖3 Φ-t圖像

轉一圈的磁通量變化為

ΔΦ= BS - BS=0

即使線圈不是勻速轉動也可以借鑒圖像計算磁通量變化，只不過最好能轉換為Φ-θ圖像，θ是線圈轉過的角度．當然圖像法也有局限性，僅限于線圈在磁場中轉動，當線圈平動如圖2所示，此時應用圖像法計算磁通量變化就不方便．

2 對電荷量的限制應用

足夠長的導軌MON處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場垂直于導軌平面，如圖4所示，ON和OM的夾角為53°，與ON垂直的導體棒AB從O點開始以速度v向右勻速運動，導體棒與ON和OM始終接觸良好且它們單位長度的電阻均為r.求經過3t時間通過導體棒橫截面的電荷量．

圖4 導體棒在成夾角的導軌上運動磁通量的變化

學生解題思路1：

導體棒在3t時間內的位移

x=3v t

導體棒在回路中的有效長度

L=4v t

此時回路的電阻為

R=12v tr

回路面積為

所以穿過的電荷量為

學生解題思路2：

經任意時間t導體棒的位移

x= v t

切割磁感線的有效長度為

閉合回路中的有效電動勢為

此時閉合回路的電阻為

在t時刻電路中的電流

該電流與時間無關，是一個定值．

因此穿過橫截面的電荷量

據法拉第電磁感應定律感應電動勢

電路中的感應電流

電荷量q=IΔt， 聯立3個表達式得

3 磁通量與感應電流間正負的自洽問題

近日聽公開課“交流電的產生”，覺得有些方面值得商榷．

經歷了實驗、理論探究，師生共同歸納了正弦交流電產生的規律；課堂尾聲，教師拋出這樣一個問題，出現了下面的教學片段：如圖5所示，線圈處于變化的勻強磁場中，開始時磁場向里；穿過線圈的磁通量隨時間的變化如圖6所示，規定沿ABCDA(逆時針)電流為正，試判斷各階段電流的方向，并定性畫出i-t圖像．

圖5 線圈處于變化的勻強磁場中

圖6 Φ-t變化曲線

學生在充分的思考以及小組交流后，師生互動中學生應用楞次定律判斷電流方向，再與規定的電流方向比較畫出i-t圖，并在實物投影上展示如圖7所示的i-t圖像，得到師生的肯定．整個過程邏輯嚴密，合乎規范，那值得商榷的地方在哪兒？

圖7 值得商榷的i-t圖像

圖8 正確的i-t圖像

也就是說，一旦在情境中規定了磁通量的正負，在磁通量的變化過程中，電流、電動勢的正負就隨

之確定．而題干中Φ-t圖像明確的情況下，再規定電流的正負反而是畫蛇添足．

Depth Analysis on Magnetic Flux Changes

Hu Aihe

(Zhangjiagang Chongzhen Middle School,Suzhou,Jiangsu 215631)

Due to the introduction of magnetic flux teaching time for debate in middle school,Subjective caused difficulties of understanding flux and its changes for students.This article is based on middle school physics teaching actual need,Put forward the two kinds of magnetic flux change simple algorithm,And to involve the application of magnetic flux change puts forward some Suggestions.

the change of the magnetic flux；surface normal vector；electric quantity；law ofelectromagnetic induction