包絡線在經濟學中的應用

哈爾濱商業大學基礎科學學院 曲國坤

包絡線在經濟學中的應用

哈爾濱商業大學基礎科學學院 曲國坤

在我們的日常生活中，包絡線的應用非常廣泛，利用包絡線不僅可以解決相關的數學函數問題，而且可以處理很多現實生活中所遇見的經濟問題。本文介紹了包絡線在數學領域和經濟學領域中的運用，其中重點介紹了如何利用包絡線來求函數的最值、包絡線在常微分中的運用、包絡原理，以及包絡線在西方經濟學長期、短期成本曲線中的運用。

包絡線 成本曲線

包絡曲線是西方經濟學中的一個基本概念, 也是分析長期成本中重要的分析工具之一。

1 包絡線的基本概念

1.1 包絡線的幾何學定義常微分方程中對包絡線的定義：設給定一個單參數曲線族為參數。如果存在連續可微的曲線，其上任意一點均有中某一曲線與相切，且對上不同的點，有中不同曲線與之相切，那么稱曲線為曲線族的包絡線。

1.2 包絡線的經濟學定義

在經濟學中，就是各種需求曲線或供給曲線或其他曲線的頂點(所謂的峰點)連接起來形成的一條平滑曲線，就是“包絡線”，看起來就像把許多拋物線“包”起來一樣。

2 包絡線在經濟學中的應用

2.1 包絡定理(1)無約束模型設最大值函數為：

(2)等式約束模型

設最大值函數為：

2.2 對包絡定理的說明

例：求

解：方法一：建立拉格朗日函數：

一階必要條件為：

由此可得：

方法三：用傳統方法驗證。

2.3 包絡原理的應用

應用一：證明Shephard's 引理[1]

Xi是生產廠商對相應要素i的派生需，其中成本函數在點是可微的, 則有：

應用二：稅金問題[1]

問稅金的變化對利潤影響?

應用三：拉格朗日乘子

(1)約束型參數

有一類特殊的參數是所謂“約束型參數”。例如，消費者的預算線為均為向量)。這里，收入即為約束型參數。

(2)約束型參數對最大值函數的影響

約束型參數對最大值函數的影響有一個非常簡單的結果，即它等于拉格朗日乘子在最優處取值)。

設等式約束模型為：

根據包絡定理有：

例如：效用最大化問題

該問題的拉格朗日函數

應用四：包絡線指標[2]

兩條移動平均線組成了包絡線技術指標，具體見圖1。市場的變化率決定了相關聯數量的通道邊幅的移動，市場變化率相對較高時，通道邊幅的變化也會表現得相對激烈，市場變化率相對較低時，通道邊幅的變化也會表現得相對弱化。

包絡線指數是由價格變化范圍的上下界來定義的。當價格上升到通道頂端時，出現了賣出信號；當價格下降到通道底端時，出現了購買信號。

包絡線指標實際上就是賣家以及買家共同作用，推動價格達到邊界位置。價格在以上幾點的作用下，不斷移動以至于到達一個相對現實的水平上，最終達到比較穩定的位置。包絡線指標在這一點上保力加通道指標的解釋有共通之處。

圖1 包絡線技術指標

包絡線可以用作預測市場價格在平均價格附近的波動范圍，包絡線的中軸是一條可以移動的平均線，包絡線的上軌以及下軌，用當前均線值加上(減去)固定的百分比。

應用五：分析長期成本

我們可以將長期曲線看作由多個不同短期曲線來構成的,每條不同產量的短期平均成本曲線都可以找到最低點，將所有的最低點連接起來,長期平均成本曲線就是由所有的點構成的。從包絡的角度來講，LTC是STC的包絡線，另外LAC也稱為SAC的包絡線。事實上，長期總成本曲線上的每一個點，它都是表示一個最優的生產規模, 也就是表示相應不同產量下短期成本的最低點，所以，在一個長期的分析過程中，長期平均成本也就對應了廠商按照不同的產量生產，所需要的最低平均成本。按照以上分析的方法，就可以得到長期平均成本的曲線圖。

對于短期平均成本曲線以及長期平均成本曲線來講，每條短期平均成本曲線上都會有一個切點，而對于長期平均成本曲線來講，在它的最低點處，一定會存在一條短期平均成本曲線，此曲線與長期平均成本曲線相切。廠商就可以按照這樣的方式來確定自己的生產計劃，所以長期平均成本曲線又被稱為計劃曲線。

長期平均成本曲線和短期平均成本曲線的區別是：長期成本曲線下降和上升時都相對比較平坦。由此可以看出，長期平均成本在增加和減少的速度上來講，都是相對比較緩慢的，這主要是因為在一個長期的生產過程中，所涉及到的生產要素都要求隨時可以調整，在規模收益遞增和規模收益遞減中間還存在一個階段，即規模收益不變階段；而在一個短期過程中，這個規模收益不變階段是非常短的，或者是不存在的。上述原因導致長期平均成本曲線是短期平均成本曲線的包絡線，而不是各短期平均成本曲線最低點的連線。

把生產規模按極限思想無限細分，將每一條SAC曲線的最低平均成本點，這些最低點就是長期分析中各產量水平所對應的最低平均成本，將所有的點連接起來，構成長期平均成本曲線，如圖2所示。

圖2 構成長期平均成本曲線

另一方面，長期平均成本曲線也可以是短期平均成本曲線的包絡線，但是需要滿足以下幾個條件。首先，要求所有短期平均成本曲線都處于同一個水平線；其次，要求工廠的規模可以無限細分，即可以任意調整，并且要保證在每一個規模的特定產量下，都只有一個最低成本點；再次，生產規模要求服從經濟的遞增、不變和遞減這三個階段規律。

[1] 鄧軍，吳漢洪．西方微觀經濟學中的包絡定理述評[J]．北京機械工業學院學報，1994(01)．

[2] 崔慧永．談包絡曲線在實踐運用中的矛盾[J]．吉林師范大學學報(人文社會科學版)，2006(04)．

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2096-0298(2016)08(a)-171-02