指數矩在圖像重構中的仿真分析*

吳 娛，平子良，李 殷

（北京郵電大學 世紀學院，北京 102101）

指數矩在圖像重構中的仿真分析*

吳 娛，平子良，李 殷

（北京郵電大學 世紀學院，北京 102101）

在數字圖像信息處理技術中，如圖像識別、圖像傳輸、圖像壓縮領域等廣泛存在矩和矩函數的使用。論證一種基于指數構建的圓諧傅里葉矩——指數矩，分析指數矩在極坐標下的計算原理，并利用指數矩對圖像進行重構，同時分析階次和重構圖像質量之間的關系。仿真實驗結果表明，對于字母圖像、文字圖像、彩色圖像，指數矩具有很好的重構圖像能力，且計算速度較快，可作為一種圖像特征被應用于圖像重構中。

圓諧傅里葉矩；指數矩；極坐標；重構圖像

0 引 言

不變矩作為一種高度濃縮的圖像特征，已被廣泛應用于圖像識別、圖像傳輸、圖像壓縮等圖像處理領域。2002年，平子良等提出的切比雪夫-傅里葉矩，與正交傅里葉-梅林矩相比，獲得了相似的結果。2003年，任海萍等人提出利用三角函數構建圓諧傅里葉矩，證明其在各種描繪圖像的矩中性能最好[1]。2010年，平子良等人提出基于指數構建的圓諧-傅里葉矩——指數矩[2]。與圓諧傅里葉矩相比，指數矩形式簡單，性能優良，計算速度較快。

本文分析圓諧-傅里葉矩的定義計算，利用指數和三角函數的關系，發現可以用指數矩構建圓諧-傅里葉矩。數學上，指數矩和圓諧-傅里葉矩有等價效果。通過MATLAB軟件仿真實驗證明，利用指數矩可以重構原圖像，且證明了重構圖像的效果與指數矩階次之間的關系。

1 圓諧-傅里葉矩的定義

圓諧-傅里葉矩具有多畸變不變性，對圖像的平移、縮放、旋轉等幾何變換具有不變性。圓諧-傅里葉矩在極坐標下的定義，如式（1）所示。基函數Pnm(r,θ)由徑向函數Tn(r)和角向傅里葉因子exp( jmθ )組成。

式中，n為非負數，m為整數，r的取值范圍為0≤r≤1，θ的取值范圍為0≤θ≤2π。

圓諧-傅里葉矩的徑向基函數Tn(r)由正交完備的三角函數系構成[3]：

在0≤r≤1內，徑向基函數Tn(r)是加權正交的：

圓諧-傅里葉矩的基函數Pnm( r,θ )在單位圓0≤r≤1，0≤θ≤2π內是正交的：

根據式（4），圓諧-傅里葉矩是將函數圖像映射在圓諧-傅里葉矩的基函數上得到的系數，其在極坐標下的表達式為：

式中，φnm為圖像函數f (r,θ )的圓諧-傅里葉矩。

2 指數矩的定義

在極坐標系( r,θ )中，定義函數系Pnm( r,θ )：

式中Qn( r,θ )為徑向函數，exp( jmθ )為角函數。

根據歐拉公式：

用復指數形式表示的圓諧-傅里葉矩徑向基函數中的三角函數為：

式中，n的取值范圍是所有整數，r的取值范圍為0≤r≤1。

根據Qn(r)和角向傅里葉因子的性質可知，函數系Pnm(r,θ)在單位圓內是正交的[4]：

按照函數正交理論，在極坐標系中，圖像函數f (r,θ)可以分解為函數系Pnm(r,θ)的無限加權和：

式中，Enm為展開式的系數。

在極坐標系下，圖像函數可用f(r,θ)表示，其在基函數Pnm(r,θ)上的展開式系數Enm為(n,m)階指數傅里葉矩：

3 應用指數矩進行圖像重構

關于指數矩的定義，上文給出的是在極坐標系下圖像函數和基函數的積分形式，而傳統的關于指數矩的計算是在直角坐標系下進行的。所以，在進行圖像重構時，需要將極坐標系下指數矩的表達式轉換到直角坐標系。若要得到直角坐標下的指數矩表達式，就要利用數學中直角坐標和極坐標轉換的式（12）、式（13）：

式中，(r,θ)為極坐標下任一點，(x, y)為直角坐標下任一點。

積分微元在兩種坐標下的轉換公式為：

根據式（12）、式（13）和式（14），可得指數矩在直角坐標系下的表達式：

式中，在計算圖像指數矩時，積分變量的變化范圍是0≤x2+y2≤1。

對圖像進行歸一化處理，將其歸一化到單位圓內，用單位圓的圓心表示圖像的中心點。把每個像素區域的中心點定為被積函數值的抽樣點，把像素坐標(i, j)變換成單位圓內的離散坐標(xj, yi)；再進行函數值抽樣，將像素坐標變換為單位圓內的坐標，依次如式（16）、式（17）、式（18）和式（19）所示：

對于N×N的圖像f(i,j)，把像素坐標(i,j)變換為外接單位圓內的坐標(xj, yi)，其中圓心位于圖像中心。

(xj, yi)表示每個像素所在的小區域的中心點的坐標值，滿足0≤x2+y2≤1。每個像素所在的小區域的面積為

每個像素所在的小區域內，積分變量和被積函數的采樣點為(xj, yi)，像素(i, j)點的圖像的函數值為f(i, j)，指數矩的基函數值的表達式為：

根據指數矩在直角坐標下的積分表達式，得出在直角坐標下指數矩離散形式的表達式[4]：

對圖像函數f (i, j)，由式（21）計算出圖像的指數矩后，就可以利用有限個指數矩近似重構圖像函數f (i, j)。

在極坐標系下，利用有限個指數矩近似重構圖像函數的表達式為：

將式（22）表示為直角坐標下重構圖像函數的表達式：

4 指數矩在圖像重構中的應用實現

上述指數矩的推導公式表明，用指數矩和對應的指數函數的乘積進行疊加求和，可以完整、無冗余地重構原圖像。選取適當數量的階次，可近似重構原圖像。選取的階次越高，近似程度越高[5]。

重構圖像實現中，利用的平臺為MATLAB 7.0和Windows XP。分別對有代表性的字母圖像、文字圖像、彩色圖像進行實驗，結果如圖1、圖2和圖3所示。

圖1 字母圖像重構結果

圖2 文字圖像重構結果

圖3 彩色圖像重構結果

對字母圖像、文字圖像、彩色圖像重構時間進行統計，結果如表1、表2和表3所示。

表1 字母圖像重構階次N與重構所需時間T統計

表2 文字圖像重構階次N與重構所需時間T統計

表3 彩色圖像重構階次N與重構所需時間T統計

實驗結果表明，對于字母圖像、文字圖像、彩色圖像，利用指數矩均可很好地重構圖像，并且隨著階次的增高，重構圖像質量越來越好，用時也越來越長。

5 結 語

本文研究指數矩在圖像重構中的應用，推導分析基于指數構建的圓諧傅里葉矩——指數矩重構圖像的理論依據。通過在MATLAB軟件上進行的一系列實驗表明，對于字母圖像、文字圖像、彩色圖像，利用指數矩均可很好地重構圖像。同時，階次越高，重構圖像質量越好。由此證明，指數矩具有有效的圖像描述能力，可作為一種圖像特征被應用于圖像重構中。

[1] 孟敏,平子良.基于指數矩的圖像分解和重建[J].內蒙古師范大學學報:自然科學漢文版,2011,40(03):258-260. MENG Min,PING Zi-liang.Based on Moment Index Image Decomposition and Reconstruction[J].Journal of Inner Mongolia Normal University:Natural Science Edition,2011,40(03):258-260.

[2] 平子良,盛云龍.用切比雪夫圖像矩描述圖像[J].內蒙古師范大學學報:自然科學漢文版,2002,31(03):216-219. PING Zi-liang,SHENG Yun-long.Chebyshev Moments of Image Description Image[J].Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition),2002, 31(03):216-219.

[3] 銀國瑞.基于圓諧-傅里葉矩的抗幾何攻擊數字水印算法研究[D].呼和浩特:內蒙古師范大學,2009. YIN Guo-rui.Research on Digital Watermarking Algorithm based on Harmonic Fourier Moments[D]. Hohhot:Inner Mongolia Normal University,2009.

[4] 姜永靜.指數矩及其在模式識別中的應用[D].北京:北京郵電大學,2011. JIANG Yong-jing.Exponential Moment and its Application in Pattern Recognition[D].Beijing:Beijing University of Posts and Telecommunications,2011.

[5] 楊帆.數字圖像處理與分析[M].北京:北京航空航天大學出版社,2010. YANG Fan.Digital Image Processing and Analysis[M]. Beijing:Beihang University press,2010.

吳 娛（1984—），女，碩士研究生，講師，主要研究方向為數字圖像處理；

平子良（1945—），男，碩士研究生，教授，主要研究方向為數字圖像處理；

李 殷（1980—），女，碩士研究生，講師，主要研究方向為數字圖像處理。

Simulation Analysis of Exponent Moments in the Image Reconstruction

WU Yu, PING Zi-liang, LI Yin
(Century College, Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 102101, China)

Moments and moment function are widely applied in the digital image information processing domain of image recognition, image transmission, image compression, and so on. The circular harmonic-Fourier moments established on the basis of exponent, i,e,exponent moments are demonstrated in the paper. The computer theory of exponent moments in the polar coordinates is analyzed and the images are reconstructed based on exponent moments, meanwhile the relation of orders and the quality of restricted images are also analyzed in the paper. Simulation experiments demonstrate that exponent moments enjoys the ability of image reconstruction and rapid computation speed and exponent moments can be applied in image reconstruction as an image feature.

circular harmonic-Fourier moments; exponent moments; polar coordinates; restricted images

Beijing Education Commission "Youth Talent Plan" Project Funding(No.YETP1957)

TP391.41

A

1002-0802(2016)-07-0862-05

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.07.013

2016-03-20;

2016-06-18 Received date:2016-03-20;Revised date:2016-06-18

北京市教委“青年英才計劃”項目資助（No.YETP1957）