基于循環譜特性的BPSK信號角跟蹤方法研究*

宋曉瑞，鄭海昕，況學偉

（1.裝備學院，北京101416；2.63612部隊，甘肅 酒泉736200）

基于循環譜特性的BPSK信號角跟蹤方法研究*

宋曉瑞1，鄭海昕1，況學偉2

（1.裝備學院，北京101416；2.63612部隊，甘肅 酒泉736200）

為了解決測控數傳一體化體制中由于BPSK信號低信噪比、含有相關噪聲等問題導致的角跟蹤誤差過大問題，提出了基于BPSK信號循環譜特性的角跟蹤方法。該方法的核心思想是利用BPSK信號在頻率、循環頻率處具有譜峰的特性進行和差通道信號幅值比的估計。仿真實驗結果表明，和差通道相關噪聲功率為噪聲總功率0.1倍時（以理想高斯白噪聲背景），所提出的方法角誤差值估計門限為1.5 dB，能夠滿足角跟蹤要求。

低信噪比；相關噪聲；BPSK信號；角跟蹤；循環譜

0 引 言

為適應運載火箭上面級短時大數據量傳輸的特點，支持箭載高清圖像傳輸的功能[1]，航天測控系統在兼顧系統建設整體思路的基礎上，發展出了基于原非相干擴頻測控體制的測控數傳一體化體制，而該體制下BPSK數傳信號的信噪比較低。

對于目標跟蹤，現行角跟蹤方法在該信噪比下難以滿足任務所需的跟蹤精度。究其原因，主要是對于某些角跟蹤方法，該信噪比在其解調門限之下。同時，在較低信噪比時，角跟蹤所需的和差通道信號所含有的相關噪聲部分使跟蹤結果產生了較大的系統誤差。目前，尚未有一種BPSK信號角跟蹤方法可以在低信噪比、相關噪聲的條件下滿足上面級火箭的角跟蹤需求。因此，亟需研究一種可以在該條件下實現正確角跟蹤的算法。

針對低信噪比時和差通道相關噪聲對角跟蹤結果帶來的影響，通過對BPSK信號循環平穩特性進行分析，結合含有隨機噪聲的BPSK信號循環譜特性，提出一種基于循環譜特性的角跟蹤方法。

1 BPSK信號循環平穩特性

大部分通信或雷達信號的均值為零，自相關函數呈周期變化，因此可將其建模為二階循環平穩信號[2]。

循環自相關函數可表述為：

循環譜密度函數可表述為[3]：

BPSK信號可以表述為：

根據循環譜密度函數計算公式，可求得BPSK信號循環譜為：

設置仿真參數：碼速率Rb為2 Mbps，載頻fc為14 MHz，采樣頻率fs為56 MHz。圖1為BPSK信號循環譜的仿真圖，可見BPSK信號的循環譜在( α, f )坐標為(0, fc)，(0,-fc)，(2fc,0)，(-2fc,0)處有譜峰。

圖1 BPSK信號循環譜

當信號中混 有噪聲時，由于平穩噪聲為非循環平穩信號，其一階（均值）、二階（相關函數）為常量或僅與時間間隔有關為非時變，所以其影響主要體現在循環頻率α=0所對應的頻率平面，而對α≠0所對應的頻率平面影響較小。尤其當信號積累時間足夠長時，上述影響將完全消失。設BPSK信號比特信噪比1.6 dB，所加噪聲為高斯白噪聲，其余仿真條件同圖1的仿真參數設置，則譜相關函數計算的仿真結果如圖2所示。

圖2 BPSK信號循環譜

由圖2可看出，信號 的循環特征有較好的抗噪性能。

2 基于循環譜特性的角跟蹤方法

由于空間目標角度信息存在于和差通道信號的幅值比中，因此基于信號循環譜特性的角跟蹤方法的關鍵在于對和差通道信號幅值比的估計，本質是利用BPSK信號在全相干循環頻率處的譜相關特性。根據前面分析可知，當信號積累時間足夠長時，平穩噪聲的影響僅存在于循環頻率α=0所對應的頻率平面。因此，這里利用BPSK信號在頻率f=0、循環頻率α=2fc處具有譜峰的特性進行和差通道信號幅值比的估計。研究思路如圖3所示。

圖3 循環譜峰值法研究思路

2.1 理想情況

基于上 述分析，基于循環譜特性的角跟蹤方法的信號處理流程如圖4所示。

圖4 循環譜峰值法信號處理流程

測控數傳一體化體制中，下行鏈路為BPSK數傳信號。因此，不考慮一切噪聲，和差通道信號可分別表示為：

式中，S△A(t)為方位差通道信號，S△E(t)為俯仰差通道信號，A、Aaz、Ael分別為和通道信號、方位差通道信號與俯仰差通道信號的幅值。

由式（2）可以求得和通道信號S∑（t）在α=2fc處的循環譜為[4]：

式中，

將式（9）帶入式（8）可得：

同理，可以求得方位差通道信號S△A與俯仰差通道信號S△E在α=2fc的循環譜分別為：

綜合式（10）、式（11）與式（12），令頻率f=0，可求得和差通道信號幅值平方比為：

對式（13）、式（14）進行開方運算，可以求得和差通道信號幅值比的絕對值為：

根據單脈沖角跟蹤系統角誤差的定義，式（15）、式（16）分別為方位、俯仰角誤差的絕對值。

由于這種角跟蹤方法是通過計算和差通道信號的非零循環頻率處循環譜峰值求得角誤差值，因此稱為循環譜峰值法。

2.2 實際情況

考慮天線接收到的和差通道信號中含有噪聲，即：

式中，n∑(t)、n△A(t)與n△E(t)均為零均值平穩噪聲，且各通道中信號與噪聲統計獨立。

由于和差通道信號組成形式相同，噪聲來源一致，下面僅以和通道信號與方位差通道信號為例，分析噪聲對角誤差絕對值估計所造成的影響。

對式（18）求循環頻率α（不為零）處的循環自相關函數，可得：

式中，等式右側第一項為信號項，第二項為噪聲干擾項，第三項和第四項為信號與噪聲的交叉項。

由文獻[5]可知，零均值平穩噪聲n∑(t)與循環平穩信號S∑(t)的循環相關函數仍為零均值平穩噪聲。由于平穩噪聲為非循環平穩信號，且循環頻率α≠0，因此理想情況下觀測時，式（20）的后三項均應為零，于是：

相同地，對于方位差通道信號x△A(t)，理想情況下觀測時，有：

所以，當信號積累時間無限長即理想情況下觀測時，由式（13）可知和差通道信號幅值平方比為：

通過上述分析可知，循環相關函數具有較好的抑制各種平穩噪聲和干擾的能力。利用譜相關分析方法對單脈沖系統角誤差值進行估計，可以克服信號低信噪比帶來的不利影響。

然而，受實際信號環境以及觀測條件等限制，進行無限長時間觀測不現實，因此使用譜相關分析方法時必須考慮有限數據條件下剩余噪聲及干擾分量的影響，并盡可能采取可行措施減小或消除上述影響。

已有研究表明[6]，循環平穩過程二階統計量的估計方差以1/N2的速度收斂，且平穩隨機信號非零循環頻率處二階循環統計量也以1/N2的速度收斂，即式（20）中右側第二項噪聲干擾項以1/N2的速度收斂到真實值零。另外，有實驗表明，循環周期內采樣點數取偶數較取奇數更為有利[6]。

式（20）后兩項為循環平穩過程與平穩過程非零循環頻率處的循環互相關函數。可以證明[7]，此類互相關函數以1/N的速度收斂到真實值零。以為例，其離散形式逼近特性的數學表達式為：

式中，Ts為采樣間隔，噪聲序列功率譜密度為N0(kTs)/2。特別地，當為白噪聲序列時，其循環譜在α=0處恒為N0/2（該值為白噪聲雙邊功率譜密度）。

顯然，它的收斂速度慢于循環自相關函數的收斂速度。因此，多數情況下，有用信號與噪聲干擾的剩余循環互相關分量將對信號譜相關分析產生主要影響。

綜上所述，利用譜相關分析方法對單脈沖角跟蹤系統角誤差絕對值進行估計時，為保證噪聲抑制效果，數據積累點數N需足夠大且為偶數。

另外，由于符號估計方法與文獻[8]中方法一致，這里不再贅述。

3 性能分析

循環譜峰值法對和差通道信號進行分路處理，在分別得到和通道信號及差通道信號的幅值平方項后，再進行角誤差值的求算。因此，這有效避免了因和差通道信號相乘而引入相關噪聲所產生的系統誤差。所以，對該算法進行性能分析時僅需考慮信噪比大小帶來的影響，不必考慮相關噪聲所占比重。

3.1 仿真結果

為了驗證循環譜峰值法原理的正確性，下面在不同和通道信號信噪比條件下對方位角誤差值進行估計。這里，比特信噪比Eb/N0的范圍為從-6 dB到12 dB（以0.5 dB步進）。仿真參數設置：BPSK數據碼速率為Rb為2 Mbps，數據點數N為280 000，載波頻率fc為14 MHz，采樣頻率fs為56 MHz，方位角誤差設為2 mil。基帶信號為隨機產生的0、1序列，噪聲為理想高斯白噪聲，和差相關噪聲功率為噪聲功率的0.1倍。

仿真結果如圖5所示。

圖5 不同信噪比角誤差仿真

由圖5可知，隨著信噪比的增大，方位角誤差估計值逐漸接近并收斂于真值，證明該方法原理正確。

圖6為兩種傳統角跟蹤方法的對比仿真結果。可以看出，在低信噪比、相關噪聲條件下，循環譜峰值法具有更 好的性能。

3.2 影響因素分析

根據原理分析可知，角誤差估計值的誤差影響因素主要有兩項：一是數據點數N的長度，二是頻率和循環頻率分辨率可靠性條件M的取值。下面將分別討論這兩方面因素對角誤差值估計產生的影響。

圖6 不同角誤差跟蹤方法的角誤差估計值

由圖7可知，當數據長度N在一定范圍內增大時，方位角誤差值的估計精度不斷提高，門限信噪比不斷降低。但是，隨著數據長度N的不斷增大，估計精度的提高幅度以及門限信噪比的降低幅度迅速減小。當 數據長度N增大到某一特定值時，估計精度的提高幅度及門限信噪比的降低幅度趨近于零。因此，當數據長度N增大至這一特定值時，可以認為該值已經滿足原理分析中所要求的數據積累點數N足夠大這一條件。因此，綜合考慮噪聲抑制效果與處理時間的要求，在本文的系統環境下，利用循環譜峰值法對角誤差值進行估計時，通常N取280 000。

圖7 不同數據長度角誤差估計仿真

下面對頻率和循環頻率分辨率可靠性條件M的取值對角誤差估計值的影響進行討論。

僅從原理分析中難以確定M的取值與誤差之間的明確關系。因此，下面在不同M的取值條件下對方位角誤差值進行估計。M分別取[32,64,128,256,512,1 024]，數據長度280 000，比特信噪比Eb/N0的范圍為從-6 dB到12 dB（以0.5 dB步進），其他仿真參數設置不變。

仿真結果如圖8所示。

圖8 不同M取值下方位角誤差仿真

由圖8可知，當頻率和循環頻率分辨率可靠性條件M的取值漸次增大時，方位角誤差值的估計精度逐漸提高，門限信噪比逐漸降低。由此可見，雖然譜相關函數工程計算的穩定性條件僅要求M≥1，但M的取值在很大程度上影響循 環譜峰法的角誤差估計精度。因此，在計算量允許的范圍內，M的取值越大越好，綜合角誤差值估計的精度指標要求，在本文的系統環境下，取M=1024。

3.3 估計精度分析

本文以均方根誤差作為評價指標，對相位旋轉法的角誤差值估計精度進行定量研究。

下面在不同和通道信號信噪比條件下對方位角誤差值估計進行1 000次Monte Carlo實驗，仿真參數設置不變。仿真結果如圖9所示。

圖9 角誤差估計的均方根誤差

由圖9可知，隨著信噪比的提高，方位角誤差估計值的均方根誤差逐漸降低。當和通道信號信噪比Eb/N0〉0 dB時，均方根誤差小于0.01 mil。根據仿真參數設置，方位角誤差真值為2 mil。因此，均方根誤差系數在Eb/N0〉0 dB時 小于0.5%。由上述分析可知，當Eb/N0〉0 dB時，循環譜峰值法具有較高的角誤差值估計精度，可以滿足角跟蹤系統的精度指標要求。

綜上所述，當和差相關噪聲功率為噪聲功率的0.1倍時，利用循環譜峰值法對BPSK信號進行角跟蹤的門限要求為和通道信號比特信噪比大于1.5 dB，即該方法在較低信噪比且含有和差通道相關噪聲的條件下仍能具有較高的角誤差值估計精度。由于測控數傳一體化體制中跟蹤系統要求角跟蹤的門限信噪比不得高于1.6 dB，因此該方法可以滿足系統指標要求。

4 結 語

本文提出了一種基于循環譜特性的BPSK信號角跟蹤方法。通過分路處理和差通道信號，利用BPSK信號在非零循環頻率處抗噪性強的特點，提高了角誤差估計的精度。經驗證，該方法可以在相關噪聲功率為噪聲功率的0.1倍、和通道信號比特信噪比大于1.5 dB的情況下，滿足角跟蹤系統的精度要求，從而有效解決了測控數傳一體化體制中低信噪比條件下角跟蹤誤差過大的問題。

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Angular Tracking Method based on Cyclic Spectrum of BPSK Signal

SONG Xiao-rui1, ZHENG Hai-xin1, KUANG Xue-wei2
(1.Equipment Academy, Beijing 101416, China; 2.Unit 63612 of PLA,Jiuquan Gansu 736200,China)

In order to solve the problem of angular tracking error caused by low SNR of BPSK signal and containing correlated noise in measurement and control data transmission integration system, an angular tracking method based on cyclic spectrum of BPSK signal is proposed. The core idea of the method is using the cyclic spectral peak of sum and different signals to estimate the angle. Compared with the traditional methods, method based on cyclic spectrum of BPSK signal enjoys less calculation. Simulation indicates that when the correlated noise of the difference channel is one tenth of the total power, the method proposed by this paper angular tracking error estimation is about 1.5 dB.

low SNR; correlated noise; BPSK signal; angular tracking; cyclic spectrum

TN927.2

A

1002-0802(2016)-07-0842-06

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.07.009

2016-03-10;

2016-06-09 Received date:2016-03-10;Revised date:2016-06-09

宋曉瑞（1990—），女，碩士研究生，主要研究方向為航天測控技術。