基于馬爾可夫模型的路網養護管理排序問題研究

白國鵬，李換平，李笑宇

（1.天津市市政工程設計研究院，天津 300051；2.哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，黑龍江哈爾濱 150090）

基于馬爾可夫模型的路網養護管理排序問題研究

白國鵬1，李換平2，李笑宇1

（1.天津市市政工程設計研究院，天津 300051；2.哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，黑龍江哈爾濱 150090）

對馬爾可夫排序模型進行研究，分析了該模型在路網養護管理中的適用性；建立了路網多因素排序模型，通過在實例分析中繪制馬爾可夫圖，闡明了馬爾可夫排序模型的應用原理，并利用MATLAB程序對模型進行了求解，為解決路網養護規劃中的養護路段排序問題提供依據。

工程管理；路網養護管理；馬爾可夫；排序模型

隨著中國公路網建設進入尾聲，路網的養護資金投入、養護資金分配等養護投資規劃問題日益明顯，主要表現為嚴格按照規范要求進行養護所需資金不足、具體路段的養護對策難以從長遠意義角度出發進行選取、資金的利用效率低等。這些問題的存在嚴重影響了路網路況，養護資金投入不合理使得路網錯過了最佳養護時機，養護對策選取不合理則導致路況過早過快惡化。同時由于不同氣候地區路網的主要病害與破壞形式均不相同，養護規劃的影響因素眾多。人為地對每個路段進行排序來確定養護優先級是不客觀的，如何科學、客觀地對路網道路進行養護排序顯得尤為重要。

馬爾可夫排序模型的核心思想在于投票，而排序就是所有投票人的選票結果。不同的是，投票人不是每一位專家，而是馬爾可夫排序模型里客觀存在的隨機游走的評分人（稱其為墻頭草評分人）。該文擬利用馬爾可夫排序模型對路網道路進行多因素排序，解決路網養護規劃中的排序問題。

1 馬爾可夫排序模型適用性分析

馬爾可夫排序模型是多因素排序模型，其核心思想充分體現了模型的客觀性，盡量減少了主觀排序的可能。該模型為其客觀性所付出的代價是計算量增大，但現在計算機性能的不斷提高使將馬爾可夫排序模型用于處理大型路網排序問題成為可能。

馬爾可夫排序模型的原理是：系統中客觀存在一個墻頭草隨機游走的評分人，根據墻頭草在馬爾可夫圖上隨機游走時在每個節點上所消耗的時間比例獲得評分排名即馬爾可夫評分向量r，根據該向量進行排序。將公路網內的每個路段進行養護優先排序的過程比擬為馬爾可夫排序的投票過程，根據每個需要養護路段的自由屬性來確定每個養護路段的養護優先級。

2 建立馬爾可夫路網養護排序模型

根據某項指標（如交通量、指標值）的分差，建立馬爾可夫排序模型隨機矩陣V，稱其為馬氏排序模型原始矩陣；通過對V進行歸一化處理、全勝隊伍處理，得到具有穩態向量的隨機矩陣Si；利用每個指標的Si計算得到最終隨機矩陣S；計算S的穩態向量（主特征向量），得到馬爾可夫排序模型評分向量r即排序結果。

為了更清晰地表達模型建立的過程，選擇交通量（年平均日交通量AADT）和路況指標（如路面狀況指數PCⅠ）雙變量進行闡述。將交通量作為排序的因素之一，可優先對交通量大的路段進行養護。某路段的交通量越大，在路網中發揮的作用就越大。單純考慮交通量因素也存在缺點：路段的交通量小，路況將持續下降，交通量也將隨之更小，下撥的資金就更少，路況將更差，形成惡性循環。決策者不希望看到這種情況，所以考慮添加路況指標作為另一變量來平衡這種缺點，路況差的路段將獲得更為合理的分配資金的機會，整體上改進了模型。

馬爾可夫排序模型不局限于雙變量排序，可根據決策者的需求采取多變量排序的方式。

雙變量排序中的每個變量都存在一個權重α1、α2，若它們同等重要，則α1=α2=0.5，只要保證α1+ α2=1且αi≥0即可。基于交通量（AADT）和路況指標（PCⅠ）雙變量模型的建立步驟如下：

（1）建立馬爾可夫原始矩陣：

式中：［V］ij表示V中第i行第j列的數值；n為路段總數。

式中：VAADT為按交通量統計數據建立的馬氏原始矩陣；VZB為按道路性能指標均值統計數據建立的馬氏原始矩陣；ZB為道路性能指標值與滿分之差。

（2）根據馬爾可夫原始矩陣V按式（4）計算馬爾可夫隨機矩陣S。SAADT、SZB分別對應VAADT、VZB，分別根據VAADT、VZB計算得到。然后根據各因素權重按式（6）計算馬爾可夫隨機矩陣SEnd。

式中：［S］ij代表矩陣S中第i行第j列的值。

式中：SEnd為全部S構建的最終隨機矩陣，本例中由SAADT和SZB構建；αi為統計數據對應權重。

（3）為了保證SEnd具有不可約性，使其擁有穩態向量，按式（7）對SEnd進行處理。ˉS不可約，保證了其穩態向量存在且唯一。ˉS內的數值依賴于標量β的選擇，通常β越大，模型越符合原始數據。這里采用全勝隊伍均等對所有隊伍投票的算法保證ˉS矩陣的不可約性，并取β=1。

（4）計算每個路段的權值分量。利用式（8）、式（9）計算路網權值向量r，得到路網中所有路段的排序。由于計算得到的每個路段的權值分量均小于1（［r］i＜1），對于一些有養護硬性要求的路段，只要將其評分值設置為1，即可得到路網所有路段的排序方案。

式中：λ為ˉS轉置矩陣的特征值；Ⅰ為n階次對角陣，為主對角線全為1的矩陣；r為馬爾可夫評分向量，為ˉS轉置的穩態向量（即主特征向量）。

3 實例分析

下面通過一個實例對上述模型進行說明并求解。隨機取江蘇南京G104國道K1132—K1136路段5個上行路段進行養護優先排序，其2013年路面狀況指數PCⅠ、路面行駛質量指數RQⅠ、路面車轍深度指數RDⅠ、路面抗滑性能指數SRⅠ等指標值見表1。

表1　5個路段的路況指標值

從表1來看，RQⅠ差異較大。下面第1～3步以RQⅠ為例進行計算，其他指標類似。RQⅠ指標值與滿分之差見表2。

表2　5個路段的RQⅠ指標值

（1）計算馬爾可夫原始矩陣（投票矩陣）：

（3）為了保證得到的馬爾可夫隨機矩陣S具有穩態評分向量，采用全勝隊伍均等對所有隊伍投票的算法進行計算，得到S。繪制馬爾可夫排序圖（見圖1），用以表示馬爾可夫模型的物理意義即墻頭草評分人在每一個節點上所消耗的時間，從而獲得評分排名。

圖1　模型評分人在馬爾可夫圖上進行一次隨機游走

（4）計算SEnd。本例采用PCⅠ、RQⅠ、RDⅠ、SRⅠ4個指標進行排序，采用JTG H20-2007《公路技術狀況評定標準》中計算PQⅠ時的各指標權重，對于瀝青路面，道路等級為一級公路的權重值分別為0.35、0.4、0.15、0.1。按式（6）計算，得到最終隨機矩陣：

（5）利用MATLAB計算ST的穩態向量即主特征向量，程序如下：1）對S賦值，S=［0.03，0.10，0.20，0.30，0.37；0.09，0，0.26，0.23，0.42；0.17，0.10，0.08，0.31，0.34；0.15，0.11，0.30，0.07，0.38；0.05，0.05，0.45，0.40，0.05］；2）利用eig函數計算ST的所有特征值及特征向量，［X，Z］=eig（S′）；3）取特征值的模，M=abs（X）；4）計算主特征向量并歸一，T=M（：，1）/sum（M（：，1））。計算結果見表3。

表3　馬爾可夫排序模型5個路段的排序結果

4 結語

該文旨在研究一種客觀有效的多因素排序方法，用以解決路網養護中對養護道路優先選取問題。利用馬爾可夫排序模型建立路網養護排序模型，為解決路網養護規劃中的養護優先排序問題提供了一種新方法。

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U418.2

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1671-2668（2016）05-0234-03

2016-05-23