巧用K字型，品基本圖形在相似中的妙用

施長燕

【內容摘要】文章通過對幾何解題中一些“似曾相識”的圖形進行適當地提煉，就會發現一些經驗型的“基本圖形”，再運用這樣的“基本圖形”去解題。這樣學生不僅可以迅速地抓住問題的本質，思考問題的時間也大大縮短，解題效率得到提高。文章以K字型為例，來說明它在相似解題中的運用，為我們學生的解題拓展了思路，更容易看清事物的本質，從而有效的進行解題，同時讓學生體會基本圖形在相似中的妙用。

【關鍵詞】K字型相似 基本圖形 構造 妙用

從教至今，我們的學生學習幾何時遇到相似有關的內容往往愁眉不展，而近年的中考綜合題中總會穿插著相似的應用，所以相似這塊的內容要求學生熟練掌握。

在幾何解題中對一些“似曾相識”的圖形進行適當地提煉，就會發現一些經驗型的“基本圖形”，再運用這樣的“基本圖形”去解題。這樣學生可以迅速地抓住問題的本質，思考問題的時間也大大縮短，解題效率得到提高。而相似中的基本圖形有A字型，X字型，K字型等。一旦學生學會關注這些基本圖形，并讓學生學會運用基本圖形解題，那對于復雜的幾何圖形可以分解出基本圖形個個擊破，解題往往變得得心應手！在這些基本圖形的應用中“K字型”的應用比較廣泛，下面我將結合自己多年的教學經驗追溯“K字型”的起源，談談其在相似中的應用。

一、追溯K字型的根源

1.初見K字型

回顧勾股定理中的“總統證法”，將兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形，以下是“總統”證法的用圖：

在勾股定理的“總統證法”中我們發現一直線上出現三個直角，這就是我們第一次接觸“K字型”這個基本圖形。數學中的基本圖形分為兩種：課本中的概念、公式和定理所對應的圖形叫做理論型基本圖形；重要的例題和習題所對應的圖形叫做經驗型基本圖形，K字型屬于經驗型基本圖形。初見“K字型”我們可以感受到幾何學習中內藏奧秘，需要我們去探尋、解答，那么這個基本圖形究竟如何應用呢？

2.K字型常見形式的探討

（1）K字型的特殊形式（一線三直角）

我們從勾股定理的證明開始，我們發現如果一條直線上出現三個直角就會出現基本圖形——K字型，在這個基本圖形中我們發現存在著相似，因此在教學中我們要引導學生來進行證明。

條件：B，C，E三點共線，∠B= ∠ACD=∠E=90°

結論：△ABC∽△CED

證明：∵∠B=∠ACD=∠CED=90°

∵∠ACE=∠B+∠A=∠ACD+∠DCE

∴∠A=∠DCE

∴△ABC∽△CED

通過證明歸納得到：如果出現一條直線上出現三個直角簡稱“一線三直角”這個特殊的K字型，得到一組相似，這個結論在解題中可以拿來靈活應用。

（2）K字型的一般形式（一線三等角）

如果把一直線上的三個直角換成三個相等的角，同樣K字型還是存在，那么換成三個相等的角之后K字型的相似是否依然存在呢？我們繼續探討。

條件：B，D，C三點共線，∠B= ∠EDF=∠C=α

結論：△BDE∽△CFD

證明：∵∠B=∠EDF=∠C=α

∵∠EDC=∠B+∠E=∠EDF+∠FDC

∴∠E=∠FDC

∴△BDE∽△CFD

通過上面的證明我們同樣發現一直線上三個角相等簡稱（一線三等角）會出現K字型這個基本圖形，同樣存在K字型的相似。

從K字型的出現到常見形式的探討，我們發現“一線三等角”的K字型中存在著相似，這幫助我們學生拓展解題思路，看清事物本質，從而有效地進行解題。下面繼續結合典型的例子，體會K字型在相似中的妙用。

二、品味K字型在相似中的妙用

在討論完K字型的基本應用后，在學習相似中我們要幫助學生深入挖掘K字型這個基本圖形，抓住問題的本質，使學生肯質疑、善思考，從而幫助學生提高發現問題、分析問題、解決問題的能力。接下來為了把K字型融會貫通地使用，我打算從找出K字型、構造K字型兩方面來品味相似中基本圖形應用的精彩。

1.善于觀察，巧用K字型

K字型這一基本圖形往往隱藏于復雜的幾何圖形中，對于復雜的幾何圖形首先我們要學會分解，把它從圖形中找出，根據它的特征進行相似中應用，從而提高學生的幾何解題能力。在尋找是否存在K字型的過程中，可以根據K字型的特征嘗試著尋找一直線上是否存在三等角（或三直角）。K字型相似三角形往往是以等腰三角形、矩形為背景，下面我將結合具體的例子來體會如何順利找出K字型，并巧妙的運用K字型進行精彩的解題。

【例1】三角形中的K字型

如圖1，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動點，∠EDF=60°。求證：△BDE∽△CFD

【思路分析】由題意得∠B=∠C= ∠EDF=60°并且頂點B、D、C在直線BC上，這屬于典型的K字型相似，得出△BDE與△CFD相似。

圖1

點評：該題中學生可以輕松找出K字型，讓學生覺得找出K字型不是一件難事，有助于學生樹立學習的信心。在輕松找出三角形中K字型，我們來觀察如何找出矩形和等腰梯形中的K字型。

【例2】矩形中的K字型

已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點，經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP。設BP=t。

（Ⅰ）如圖2，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）。

圖2

【思路分析】

（1）對于題中（Ⅰ）發現通過兩次翻折得出∠OPQ=90°，繼而發現K 字型相似的存在，由∠OBP=∠OPQ= ∠PCQ=90°易證得△OBP∽△PCQ。

（2）問題（Ⅱ）由K字型的啟示首先過點P作PE⊥OA于E，構造新的K字型易證得△PC′E∽△C′QA：

點評：該題由于矩形的特殊性，可以利用一線三直角的K字型進行解決，在（Ⅰ）中我們成功的找到了K字型，但（Ⅱ）的解題中我們是構造了K字型，那如何構造K字型下面將繼續探討。

通過上面的探討發現任何一個復雜的幾何圖形都是由若干個基本圖形組合而成的，將一個復雜圖形中的基本圖形“離析”出來，是解決問題必須具備的重要能力之一，而這種“離析”是在真正理解基本圖形上才能進行的。在挖掘題中多個隱含的基本圖形時，學生的數學素養和圖形感知也將得到發展。

2.勇于構造，活用K字型

當通過觀察找不出K字型如上面例2中的（Ⅱ）需要添加適當的輔助線，構造出K字型使問題得以解決。在下面結合具體例子討論幾種常見的構造方法。

【例3】如圖3，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F。若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長。

【思路分析】在本題中出現了一直線上兩直角的K字型的不完整圖形，因此我們可以用作高的方法構造K字型，過點D作DH⊥BC于H，再通過證明△BEF∽ △HDE加以解決；

圖3

點評：以上例題是我們熟知K字型的基礎上，利用作高來構造K字型，運用相似的有關性質進行順利的解題。

通過上面探討可以幫助學生歸納在運用K字型這個基本圖形時分以下兩種情況：

（1）題目具備K字型的所有特征，可以直接通過這個基本圖形的性質進行簡單應用；

（2）題目具備K字型的部分特征，可以添加適當的輔助線或稍作變形構造出基本圖形。

總之，復雜的圖形都是由基本圖形組合而成的，如果解題中通過觀察、分析，快速地從復雜圖形中分離出基本圖形，，定能將問題化繁為簡，事半功倍。通過對K字型基本圖形的多種應用，可以獲得常用的解題思路，從而進行有效的解題。

三、體驗無處不在的K字型，感受一法解多題

《數學課程標準》要求，隨著學生學習經驗的積累和研究能力的發展，教師應逐步提高學生探究性水平的層次，為學生完善學習方式提供有利的條件。在品味完K字型在相似中的妙用，我們要會進行知識的遷移，結合下面精選的2題來體驗無處不在的K字型從而提高學生的幾何解題能力。

題1：如圖正五邊形ABCDE，B'是邊BC上任意一點，以AB'為邊（在BC的上方）向外作正五邊形AB'C'D'E'，連接CC'，則∠B'CC'=_____°。

題2：如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點分別在直線l1、l3上并與l2相交于點E，若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點恰好分別在直線l2、l4上，則sinα=_____。

以上2題表面不同，但本質相同，都可以通過發現或構造出K字型的基本圖形，達到運用基本圖形解決問題的目的。

《數學課程標準》在幾何方面的學習要求學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”。當學生成功掌握了K字型這個基本圖形所隱含的基本性質和基本結論，在解題時只要根據試題特征，巧妙構造基本圖形，運用其知識和方法，為解題思路的探求提供思維方向。在平時教學中要注重滲透基本圖形的教學，引導學生成功地從復雜圖形中分解出基本圖形，并靈活地運用基本圖形解決有關問題。

【參考文獻】

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（作者單位：江蘇常熟市濱江實驗中學）