模型預(yù)測控制系統(tǒng)的性能評價研究

肖 振 高 強 常 勇

(天津理工大學(xué)天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室,天津 300384)

模型預(yù)測控制系統(tǒng)的性能評價研究

肖 振 高 強 常 勇

(天津理工大學(xué)天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室,天津 300384)

以單容水箱、精餾塔為仿真對象，以模型預(yù)測控制作為實現(xiàn)過程，通過Matlab仿真方式，利用最小方差法進一步提高單容水箱單變量模型的預(yù)測控制性能；對精餾塔模型多變量系統(tǒng)，利用歷史性能指標(biāo)和設(shè)計性能指標(biāo)，以殘差的累積和圖為手段進行模型預(yù)測控制性能監(jiān)視，最后驗證了所提方法的有效性。

模型預(yù)測控制系統(tǒng) 動態(tài)矩陣算法 最小方差 性能評價 Matlab

模型預(yù)測控制(Model Predictive Control,MPC)產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代，是先進工業(yè)過程控制領(lǐng)域中一類計算機控制算法。因MPC可將控制系統(tǒng)接近到約束邊界附近并達到提高經(jīng)濟效益的目的，因此被廣泛應(yīng)用于煉油、化工等復(fù)雜過程工業(yè)中。MPC作為一種復(fù)雜工業(yè)過程控制和優(yōu)化的有效手段，在工業(yè)投入運行初期可以獲得良好的性能，但在運行一段時間后，其控制性能會逐漸變差，損害企業(yè)利益[1]。因此，使用一定的評價理論監(jiān)測控制器性能是否下降，確定性能惡化程度，已成為當(dāng)前控制領(lǐng)域研究的一大熱點[2]。

為了提高控制器的控制效果，鄒濤等深入研究了魯棒預(yù)測控制和自適應(yīng)預(yù)測控制，重點提出并研究了新算法；同時對控制系統(tǒng)參數(shù)整定的可維護性進行了研究，提出通過實時在線的方式監(jiān)測和評價MPC系統(tǒng)的性能[3]。在此，筆者以MPC控制系統(tǒng)作為控制對象，對其單變量和多變量系統(tǒng)進行性能評價理論的研究，并分別以單容水箱與精餾塔作為仿真對象，驗證所提方法的有效性。

1 MPC①

1.1 基本原理

MPC算法以計算機理論為基礎(chǔ)，其算法流程一般為：在采樣時刻，將測得的被控變量加上預(yù)測模型所得出的預(yù)測值，以優(yōu)化性能指標(biāo)為目標(biāo)在一定時域內(nèi)進行控制增量的優(yōu)化計算，以此求出開環(huán)最優(yōu)問題[4]；將求解出的控制增量序列的首個控制增量應(yīng)用于被控系統(tǒng)，再利用反饋校正對預(yù)測模型進行修正，到下個采樣時刻將修改后的預(yù)測值與預(yù)測模型代入系統(tǒng)中繼續(xù)求解。MPC原理如圖1所示。

圖1 MPC原理

動態(tài)矩陣控制算法的預(yù)測模型以被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為基礎(chǔ)，結(jié)合實時監(jiān)測進行滾動優(yōu)化，并加以反饋校正來進行修正[5]。

1.2預(yù)測模型

利用當(dāng)前系統(tǒng)的歷史數(shù)據(jù)結(jié)合未來的控制輸入得到未來輸出。依據(jù)預(yù)測模型可以觀察輸出在不同控制策略下的變化，從而得到不同控制策略的控制效果，并作以比較。基于模型的預(yù)測如圖2所示。

圖2 基于模型的預(yù)測

1.3滾動優(yōu)化

滾動優(yōu)化是MPC優(yōu)越于其他控制理論的一項重要特點，即MPC在每個控制周期都要根據(jù)優(yōu)化指標(biāo)對控制增量進行一次優(yōu)化計算(圖3)，因此能夠充分考慮模型失配、時變及外部擾動等的影響，不斷計算優(yōu)化，達到最優(yōu)控制效果。

1.4反饋校正

為了克服系統(tǒng)外界干擾與系統(tǒng)的不確定性，MPC加入反饋校正環(huán)節(jié)，以維持閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。反饋校正在控制周期后將實際輸出與預(yù)測值比較并得到誤差值，再用誤差值去修正預(yù)測輸出值，因此MPC是將滾動優(yōu)化與反饋校正相結(jié)合并反復(fù)進行的。誤差修正的原理如圖4所示[6]。

圖3 不同時刻的滾動優(yōu)化

圖4 誤差修正原理

2 基于最小方差的單變量MPC系統(tǒng)評價

2.1最小方差控制性能評價算法

對如圖5所示的單入單出控制系統(tǒng)進行分析，其中Gp是過程對象傳遞函數(shù)，Gl是噪聲擾動傳遞函數(shù)，Gc是控制器的傳遞函數(shù)，et是一組零均值的白噪聲，ut是輸入信號。

圖5 單入單出控制系統(tǒng)框圖

系統(tǒng)輸出量yt為：

(1)

利用丟番圖方程展開如下：

(2)

其中，fi(i=0,1,…,d-1)是Gl的單位脈沖響應(yīng)系數(shù)，R是剩余合理的傳遞函數(shù)。

將式(2)代入式(1)得：

(3)

=Fet+Let-d

由于Fet是獨立的白噪聲時間序列，因此式(3)中等號右側(cè)的兩部分是相互獨立的，作為一個結(jié)果可表示為：

Var(yt)=Var(Fet)+Var(Let-d)

(4)

因此Var(yt)≥Var(Fet)。當(dāng)且僅當(dāng)L=0時取得等號，即：

(5)

因此得到最小變量控制的控制器傳遞函數(shù)為：

(6)

其中，F(xiàn)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，所以Fet的輸出是在最小方差控制下的過程輸出，即Fet在系統(tǒng)反饋中是不變的。

又考慮到閉環(huán)日常運行數(shù)據(jù)是有效的，為了克服隨機量的耦合性，運用時間序列分析，建立不同形式的模型等式，進行二次z變換，則不同的等式寫成離散時間傳遞函數(shù)為：

(7)

(8)

2.2實驗仿真分析

以單容水箱模型的液位控制系統(tǒng)為研究對象，其動態(tài)特性常表現(xiàn)為大慣性和滯后性。針對MPC的DMC算法，利用Matlab的MPC工具箱，對系統(tǒng)添加白噪聲擾動并進行分析。基于MPC控制器的單容水箱Simulink仿真模型如圖6所示。

圖6 基于MPC控制器的單容水箱Simulink仿真模型

2.3單容水箱MPC數(shù)學(xué)模型的建立

首先采用Matlab的MPC工具箱建立系統(tǒng)模型并轉(zhuǎn)換系統(tǒng)函數(shù)，完成各模型之間的相互轉(zhuǎn)換，然后創(chuàng)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在工作空間定義并記作WaterModel，接著應(yīng)用MPC工具箱中的GUI工具對控制器進行設(shè)計。

按照上述步驟，在Matlab中使用函數(shù)辨識輸出數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)模型為：

State-space model:x(t+Ts)=Ax(t)+Ke(t)

y(t)=Cx(t)+e(t)

A=x1 x2 x3

x1 0.99215 -0.0078815 0.013997

x2 0.0083576 -0.2056 -0.53377

x3 0.038632 -0.2179 -0.34158

C=x1 x2 x3

y1 -2.4168 -2.047 -0.83695

K= y1

x1 -0.022481

x2 0.30819

x3 0.0033448

x(0)=x1 1.1205,x2 7.982,x3 -9.4862

根據(jù)系統(tǒng)階躍輸出信號可以得到動態(tài)矩陣控制中的預(yù)測模型，因此對MPC控制器進行設(shè)計時，必須要知道被控系統(tǒng)階躍響應(yīng)的相關(guān)情況，以此驗證模型的可靠性。對被控系統(tǒng)和單位階躍響應(yīng)模型描述的系統(tǒng)分別輸入正弦信號u=sin(t)，得到隨時間的變化曲線如圖7所示，可以看出所建立模型的理論輸出信號與系統(tǒng)的實際輸出信號基本相同，驗證了模型的可靠性。

圖7 階躍響應(yīng)模型的輸出響應(yīng)

2.4MPC控制器參數(shù)調(diào)節(jié)

動態(tài)矩陣算法中的預(yù)測模型是根據(jù)辨識模型獲得的，通過限制預(yù)測模型進行參數(shù)調(diào)節(jié)，單容水箱的MPC控制器參數(shù)如下：

優(yōu)化時域P250

控制時域M100

誤差加權(quán)矩陣Q0.017 5

控制作用加權(quán)矩陣R0.75

控制時間間隔 0.4

2.5實際系統(tǒng)控制效果

建立單容水箱模型后，通過對控制仿真前的模型可預(yù)測性和可靠性的驗證，以及對模型參數(shù)的調(diào)節(jié)，最后利用Simulink對系統(tǒng)進行仿真，得到波形圖如圖8所示。

由圖8可知，曲線1含噪高，不平穩(wěn)、不光滑，控制器控制效果較差，應(yīng)對MPC控制器重新進行調(diào)節(jié)；而曲線2是經(jīng)過最小方差基準(zhǔn)進行改進后的MPC控制曲線，該曲線更平滑，控制效果得到提升。

圖8 控制性能對比分析曲線

則基于最小方差基準(zhǔn)的曲線1和曲線2評價結(jié)果分別為：

通過數(shù)據(jù)可以看出，曲線2的輸出更接近1，說明經(jīng)過最小方差基準(zhǔn)進行改進后MPC控制器性能更好，驗證了算法的有效性。

3 基于歷史性能指標(biāo)和設(shè)計性能指標(biāo)的MPC系統(tǒng)評價

3.1MPC性能指標(biāo)評價法

根據(jù)模型預(yù)測的基本原理，可以把MPC目標(biāo)函數(shù)寫做：

性能指標(biāo)可以寫成：

J(t)=εT(t)Qε(t)+ΔuT(t)RΔu(t)

其中，ε(t)是被控變量。

根據(jù)上述基本原理的描述，引入歷史性能指標(biāo)與設(shè)計性能指標(biāo)評價方法。

依照專家經(jīng)驗評估系統(tǒng)在一段時間內(nèi)的性能，進而應(yīng)用目標(biāo)函數(shù)得到一個標(biāo)準(zhǔn)，再利用被控系統(tǒng)實際工作的數(shù)據(jù)計算出目標(biāo)函數(shù)值。則歷史最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值與可獲得的目標(biāo)函數(shù)值的比即為歷史性能指標(biāo)：

設(shè)計最優(yōu)目標(biāo)的函數(shù)值與可獲得的目標(biāo)函數(shù)值的比即為設(shè)計性能指標(biāo)：

模型設(shè)計預(yù)測控制時會獲得設(shè)計目標(biāo)函數(shù)值，設(shè)計性能指標(biāo)就是利用這一數(shù)值作為標(biāo)準(zhǔn)。

3.2MPC系統(tǒng)的在線監(jiān)視

在系統(tǒng)利用基于數(shù)據(jù)統(tǒng)計的評價方法時，由于針對系統(tǒng)外數(shù)據(jù)的分析處理，并沒有對系統(tǒng)的操縱變量做過多處理，因此對控制器壽命的增加和經(jīng)濟利益的增長具有很大優(yōu)勢。

然而由于隨機噪聲的影響，在利用歷史性能指標(biāo)監(jiān)控系統(tǒng)的過程中，隨機量的自相關(guān)現(xiàn)象嚴重，為了解決這一問題提出了時間序列分析法。使用該方法時首先由過程穩(wěn)態(tài)下自相關(guān)的觀測值來預(yù)估時間序列模型，然后根據(jù)時間序列模型得到預(yù)測值，再與實際輸出比較得到兩者的殘差。時間序列分析法在保證得到的時間序列模型是準(zhǔn)確的情況下，使最終的殘差序列是互不干擾的，此時再用傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法實現(xiàn)系統(tǒng)監(jiān)控是可行的。

一般情況下，用自回歸模型的形式來表示MPC的性能，即：

A(q-1)η(k)=ε(k)

其中，A(q-1)是一個系數(shù)為ai(i=1,2,…,na)的多項式，ε(k)是高斯白噪聲。MPC的性能可以利用該模型估計，即：

3.3仿真實例

3.3.1仿真對象

精餾塔模型是一個典型的具有多個束縛條件的多變量過程模型。精餾塔仿真系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

Y(s)=G(s)u(s)+N(s)d(s)

(9)

其主要輸入輸出變量之間的傳遞函數(shù)用一階慣性加純滯后的形式表示，其矩陣形式的模型可分為兩個部分，一個是過程模型G(s)，另一個是過程的干擾模型N(s)：

(10)

(11)

其中，y1為輕餾分，y2為重餾分，u1為蒸發(fā)器流量，u2為回流冷凝器流量，u3為進料的可測擾動，d1(s)、d2(s)為干擾模型的不可測擾動變量。塔頂餾分與塔底餾分的組分濃度作為動態(tài)矩陣控制器的被控變量，回流冷凝器流量和再沸器流量作為動態(tài)矩陣控制器的操作變量，進料流量的波動作為被控系統(tǒng)的可測干擾量[8]。

則MPC問題可描述如下：

u3sp)2

約束滿足：-0.5≤y1,k+j≤0.5,-5≤y2,k+j≤5,1≤j≤P,-0.5≤u1,k+j≤0.5,1≤j≤M-1,-0.5≤u2,k+j≤0.5,1≤j≤M-1,-0.5≤u3,k+j≤0.5,1≤j≤M-1。

3.3.2仿真過程

實驗應(yīng)用Matlab仿真軟件中自帶的MPC工具箱設(shè)計MPC控制器，控制器的預(yù)測模型見式(9)，參數(shù)配置如下：

優(yōu)化時域P50

控制時域M2

誤差加權(quán)矩陣Q1.45

控制作用加權(quán)矩陣R1.5

控制時間間隔 1.0

為了對歷史性能指標(biāo)法在MPC控制器評價中的可行性進行驗證，對模型人為添加干擾，并進行對比分析。在運行初期階段，模型運行于標(biāo)準(zhǔn)模型附近，系統(tǒng)的控制性能非常穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)運轉(zhuǎn)一段時間后，其性能指標(biāo)顯著下降，監(jiān)視指標(biāo)殘差也超出了控制限度。圖9為增大增益1.5倍后的歷史性能指標(biāo)統(tǒng)計圖，圖10為設(shè)計性能指標(biāo)的統(tǒng)計圖。

圖9 增大增益1.5倍后的歷史性能指標(biāo)統(tǒng)計圖

圖10 增大增益1.5倍后的設(shè)計性能指標(biāo)統(tǒng)計圖

4 結(jié)束語

[1] Ender D B.Process Control Performance:Not as Good as You Think[J].Control Engineering Practice,1993,40(10):180～190.

[2] 金曉明,王樹青,榮岡.先進控制技術(shù)及應(yīng)用第四講模型預(yù)測控制及其工業(yè)應(yīng)用[J].化工自動化及儀表,1999,26(5):67～74.

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[4] 錢積新,趙均,徐祖華.預(yù)測控制[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2007.

[5] 董洪霞.動態(tài)矩陣控制算法的改進及其仿真研究[D].鞍山:遼寧科技大學(xué),2012.

[6] Sun Z J,Qin S J,Singhal A,et al.Performance Monitoring of Model-Predictive Controllers via Model Residual Assessment[J].Journal of Process Control,2013,23(4):473～482.

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ResearchonPerformanceEvaluationofModelPredictionControlSystem

(Continued on Page 719)

2015-11-30(修改稿)

天津市中青年骨干創(chuàng)新人才培養(yǎng)計劃項目(20130830)

TH865

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1000-3932(2016)07-0706-07