雙時滯線性切換正系統的魯棒L1控制器設計

李艷輝 袁 帥

(東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318)

雙時滯線性切換正系統的魯棒L1控制器設計

李艷輝 袁 帥

(東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318)

設計了一類正系統在任意切換信號下的魯棒L1控制器。針對一類帶有狀態時滯和輸入時滯的線性切換正系統，基于線性余正Lyapunov-Krasovskii泛函和平均駐留時間理論，推導出在任意切換信號下使系統指數穩定且具有干擾抑制能力γ的充分條件，進一步設計了魯棒L1控制器，保證系統不僅是指數穩定且具有干擾抑制能力γ。最后通過數值仿真示例證明了控制器的有效性。

L1控制器 線性切換正系統 平均駐留時間 指數穩定

正系統是一類狀態非負的系統，在化工、工業工程、生態學、生物醫學、經濟學及人口模型等領域中較為常見。目前，正系統的分析和綜合成為一個熱點課題，吸引了國內外學者的關注[1～3]。然而在工程背景下，時滯普遍存在，使系統性能變差，因此時滯系統的研究就變得具有實際意義。關于時滯系統的分析和綜合，眾研究者取得了一些成果[4]。張會珍等針對多時滯系統設計了魯棒容錯控制器[5]；Zhu S等研究了時滯正系統的指數穩定性的判據[6]；Aleksandrov A Y和Mason O基于Lyapunov-Krasovskii泛函，研究了時滯離散正系統的穩定性[7]。

切換系統中一般含有多個子系統，若子系統均為正系統，則此類系統稱為切換正系統，此類系統在編隊飛行、通信系統中具有重要的研究價值。Du H和Liu Y Z基于余正Lyapunov函數與平均駐留時間理論，得到了切換正系統漸近穩定的充分條件[8]；翟世東和楊曉松針對時滯離散分段線性正系統，給出系統漸近穩定的充分條件[9]；Chen X M等分析了離散正系統的漸近穩定性，并通過迭代優化算法設計了滿足L1性能的控制器[10]。然而在網絡系統、通信系統中時滯可能不唯一，所以研究雙時滯正系統就具有了重要意義，而且關于雙時滯線性切換正系統方面的研究很少，因此筆者針對該類系統，利用線性余正Lyapunov-Krasovskii泛函和平均駐留時間理論，給出系統指數穩定且具有抑制干擾能力γ的充分條件，并將此條件轉化為線性規劃問題，然后設計魯棒L1控制器使系統不僅是指數穩定的且具有抑制干擾能力γ，最后通過仿真實例驗證了控制器的有效性。

1 問題描述①

考慮如下雙時滯線性切換正系統：

(1)

通過狀態反饋控制u(t)=Kpx(t)，閉環系統變為：

(2)

筆者的目標是設計一個魯棒L1控制器，使得系統(2)滿足以下兩個條件：

a. 系統(1)是指數穩定的；

注1：由于系統是切換系統，所以設計模態依賴的控制器，即針對每個切換子系統都對應不同的控制器，這樣可以降低控制器的局限性。

定義1 一個實矩陣A，對角線元素是任意的，非對角線元素為非負的，則稱該矩陣為Metzler矩陣。

引理1 當且僅當矩陣Ai(i∈N)為Metzler矩陣，且Adi≥0時，該系統為正系統。

定義2 考慮一個切換系統，如果存在切換信號σ=σ(t)，使得系統的軌跡滿足‖x(t)‖≤a‖x(t0)‖cle-β(t-t0),其中‖x(t0)‖cl=sup-τ≤θ≤0x(t0+θ),α≥1,β>0,t≥t0，則稱該系統是指數穩定的。

2 系統的指數穩定性和L1性能判據

下面考慮雙時滯線性切換正系統，給出L1性能判據。

(3)

(4)

(5)

常數μ≥1滿足vi≤μvj,ζ1i≤μζ1j,υ1i≤υ1j,ζ2i≤μζ2j,υ2i≤υ2j,?i,j∈N

(6)

則對任意切換信號σ(t)，系統(2)是指數穩定的，且具有魯棒L1抑制干擾能力γ。

證明 當ω=0時，選擇如下形式的線性余正Lyapunov-Krasovskii泛函：

Vp(t)=Vp1(t)+Vp2(t)+Vp3(t)+Vp4(t)+Vp5(t)

(7)

對泛函(7)進行求導并進行整理可得：

根據條件(3)可得不等式：

又因為-e-λτ1υp1≤0、-e-λτ2υp2≤0,可得到：

Vp(t)+λVp(t)≤0

(8)

假設t0,t1,…,tk為[t0,t)的切換時刻，對式(8)兩邊同時積分可得：

Vσ(t)≤e-λ(t-ti)Vσ(ti)(ti)，?t∈[ti,ti+1),i=0,1,…,k-1

(9)

由式(6)和給出的線性余正Lyapunov-Krasovskii泛函(7)可得：

(10)

根據式(4)、(9)、(10)和k≤(t-t0)/Ta，在區間[t0,t)上：

μVσ(tk-1)(tk-1)=e-λ(t-tk-1)μVσ(tk-1)≤…

(11)

由Vσ(t)(t)的定義，可得：

(12)

(13)

由于系統狀態滿足定義(2)，所以系統是指數穩定的。

(14)

其中，I=[1,1,…,1]T，根據式(3)可得：

對于?p∈N，由以上6個不等式可知：

整機面板只有兩個操控按鍵，分為清洗和復位鍵，使用期間最好每月進行一次清洗作業，更能使凈水器保持持續的良好運轉。

(15)

由式(3)知J<0，因此可以進一步推導出：

(16)

定理1得證。

注2：正系統的狀態都是在非負象限內，研究L1性能更能說明系統的特性，系統穩定都需要一定的時間，指數穩定可以加快系統穩定的速率。

3 系統的魯棒L1狀態反饋控制器設計

(17)

注3：針對本系統，不要求開環系統為正系統，即A矩陣可以不是Metzler矩陣，只需要保證在控制加上之后，閉環系統是正系統，則可保證系統的魯棒L1性能。

算法步驟如下：

a. 給定常數矩陣Ap、Adp、Ep、Edp、Bp、Cp、Dp，?p∈N設定初始值；

b. 給一個常數λ，通過解不等式(17)可求得vp、gp、ζp1、ζp2、υp1、υp2、γ；

d. 得出最終的控制器增益Kp，并構造反饋控制器u(t)=Kpx(t)。

4 數值例子

考慮式(1)的系統，描述如下：

時變時滯d1(t)=0.5|sin(0.2t)|，d2(t)=0.4|sin(0.1t)|

圖1 任意切換信號下的開環狀態響應曲線

圖2 任意切換信號下的閉環狀態響應曲線

注4：從圖1、2可以看出，信號是滿足平均駐留時間的隨機信號；從圖1可以看出，開環系統以指數形式快速發散，而在加了控制器后，閉環系統在短時間內快速收斂，使系統達到穩定。

5 結束語

筆者針對一類具有狀態時滯和輸入時滯的線性切換正系統去設計魯棒L1控制器。基于線性余正Lyapunov-Krasovskii泛函和平均駐留時間理論，先給出使雙時滯線性切換正系統指數穩定的充分條件，之后給出該系統的狀態反饋控制器設計方法，并使該魯棒L1控制器有干擾抑制能力γ，最后通過數值仿真實例證明了控制器的有效性。

[1] 段良婧.正系統的H∞降階濾波器的設計[D].臨汾：山西師范大學,2012.

[2] Rami M A.Solvability of Static Output-feedback Stabilization for LTI Positive Systems[J].Systems and Control Letters,2011,60(9):704～708.

[3] 宋世君,馮俊娥，孟敏.受控正系統的彈性靜態輸出反饋魯棒H∞控制[J].控制理論與應用,2014,31(5):671～676.

[4] Zhu S Q,Meng M,Zhang C H.Exponential Stability for Positive Systems with Bounded Time-varying Delays and Static Output Feedback Stabilization[J].Journal of the Franklin Institute,2013,350(3):617～636.

[5] 張會珍,王德平,邵克勇,等.一類不確定多時滯系統的魯棒容錯控制研究[J].化工自動化及儀表,2013,40(7):831～833.

[6] Zhu S,Li Z,Zhang C H.Exponential Stability Analysis for Positive Systems with Delays[J].IET Control Theory and Applications,2012,6(6):761～767.

[7] Aleksandrov A Y,Mason O.Diagonal Lyapunov-Krasovskii Functional for Discrete-time Positive Systems with Delay[J].Systems & Control Letters,2014,63(1):63～67.

[8] Du H,Liu Y Z.Stability Analysis for Continuous-time Switched Positive Linear Systems[J].Journal of Shenyang Normal University,2015,33(2):192～196.

[9] 翟世東,楊曉松.離散分段線性時滯正系統的穩定性分析[J].動力學與控制學報,2010,8(4):346～349.

[10] Chen X M, Lam J, Li P,et al.L1-induced Norm and Controller Synthesis of Positive System[J].Automatica,2013,49(5):1377～1385.

RobustL1ControllerDesignforLinearSwitchedPositiveSystemswithDoubleDelays

LI Yan-hui, YUAN Shuai

(SchoolofElectricalEngineeringandInformation,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,China)

The robustL1controller for a class of positive systems under arbitrary switching signal was designed. Aiming at linear switched positive systems with state delay and input delay, having linear co-positive Lyapunov-Krasovskii functional and average residence time theory based to derive sufficient conditions for the system’s exponential stability and the ability to suppress interferenceγunder arbitrary switching signals was implemented so that robustL1controller designed can guarantee the system’s exponential stability and ability of anti-interferenceγ. Numerical simulation proves effectiveness of this controller.

L1controller,linear switched positive system, average residence time, exponential stability

2015-11-16(修改稿)

空間智能控制技術國家級重點實驗室開放基金項目(002008834000)；黑龍江省自然科學基金項目(F201403)；黑龍江省博士后科學研究發展基金項目(LBH-Q13177)；東北石油大學培育基金項目(XN2014112)

TP273

A

1000-3932(2016)07-0671-05