變工況條件下Bang-Bang控制與常規(guī)PID控制的集成設(shè)計與分析

李明駿 羅雄麟 谷明章

(1.中國石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院，北京 102249；2.中國石油遼河石化公司，遼寧 盤錦 124000)

變工況條件下Bang-Bang控制與常規(guī)PID控制的集成設(shè)計與分析

李明駿1羅雄麟1谷明章2

(1.中國石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院，北京 102249；2.中國石油遼河石化公司，遼寧 盤錦 124000)

將Bang-Bang控制與常規(guī)PID控制集成，研究了一種適用于大范圍工況變化的變工況控制方法。對于非線性二階系統(tǒng)，采用相軌跡法求解Bang-Bang控制的一次最優(yōu)切換點；通過設(shè)置切換動作的最短響應(yīng)時間來計算變工況控制的啟動閾值。實例仿真結(jié)果表明：以變工況控制作為補(bǔ)充的集成控制方案，對全范圍的工況變化具有良好的控制效果。

變工況控制 Bang-Bang控制 PID 一次最優(yōu)切換點 啟動閾值 二階非線性模型

在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中，由于常規(guī)PID控制具有控制原理簡單、使用方便、適應(yīng)性強(qiáng)及魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點，因此仍占據(jù)著主導(dǎo)地位。然而，實際的控制對象，尤其是熱工、電力對象的動態(tài)特征會隨著工況的變化而變化，表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特性[1,2]。現(xiàn)階段的PID控制器的設(shè)計常基于特定工作點，僅能夠滿足工作點附近的控制要求。因此當(dāng)出現(xiàn)大范圍工況變化時，常規(guī)PID控制無法勝任。控制過程的優(yōu)劣不僅關(guān)系企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，更與生產(chǎn)安全直接掛鉤，所以需要尋求更好的控制方法。另一方面，由于常規(guī)PID控制的應(yīng)用已經(jīng)十分成熟，如果能繼續(xù)使用PID的小范圍調(diào)節(jié)能力，并針對大范圍工況變化進(jìn)行改進(jìn)，就能以較低的成本實現(xiàn)對控制對象的全工況控制。

對于單輸入單輸出系統(tǒng)，如果超調(diào)量處于合理范圍內(nèi)，通常可以認(rèn)為過渡時間越短切換成本越低[1]。由于Bang-Bang控制具有快速響應(yīng)的特性，因此被廣泛應(yīng)用于求解時間最優(yōu)問題。但是Bang-Bang控制在應(yīng)用時對切換時刻和切換次數(shù)有嚴(yán)格要求，選取不當(dāng)會導(dǎo)致整個控制過程紊亂。對于非線性系統(tǒng)，Bang-Bang控制切換次數(shù)與切換點的計算仍是一個難點，大多依靠數(shù)值方法求解，如優(yōu)化算法[3～6]、基于專家經(jīng)驗判斷切換時機(jī)[7]、預(yù)測算法預(yù)測切換點[8,9]及近似一階線性傳函求取切換點[10]等。為此研究者們提出將Bang-Bang控制與常規(guī)PID控制集成[11～13]，二者的集成結(jié)合了二者的優(yōu)點，彌補(bǔ)了各自的不足，是對常規(guī)PID控制的一種有效改進(jìn)。在此，筆者將Bang-Bang控制與常規(guī)PID控制集成，以常規(guī)PID控制處理小范圍工況變化，以變工況控制作為補(bǔ)充控制策略，應(yīng)對大范圍的工況調(diào)節(jié)，提高對非線性系統(tǒng)大范圍工況的控制效果。

1 變工況控制

常規(guī)PID控制可以完成小范圍內(nèi)設(shè)定值的調(diào)節(jié)，但大范圍調(diào)節(jié)控制效果不佳，原因有3點：對于一般控制過程，PID控制的超調(diào)量會隨著調(diào)節(jié)時間的縮短而增大；對于線性系統(tǒng)，超調(diào)量是一個固定百分比，其絕對值會隨著設(shè)定值變化量的增大而增大，非線性系統(tǒng)亦存在這種情況；PID參數(shù)的在線整定常受到限制，無法保證達(dá)到最優(yōu)參數(shù)。Bang-Bang控制與PID控制的效果對比如圖1所示。根據(jù)圖1可將Bang-Bang控制與PID控制集成(變工況控制)，對于小范圍設(shè)定值的變化，在超調(diào)量滿足要求的情況下常規(guī)PID控制與Bang-Bang控制效果接近，常規(guī)PID控制完全能夠勝任；而當(dāng)設(shè)定值大范圍變化時，常規(guī)PID控制出現(xiàn)超調(diào)量過大或者調(diào)節(jié)時間過長的問題，此時Bang-Bang控制的優(yōu)勢更加顯著。

圖1 Bang-Bang控制與PID控制效果對比

筆者采用的變工況控制與文獻(xiàn)[2]中的切換結(jié)構(gòu)相同，其總體方案流程如圖2所示。可以看出，變工況控制是對常規(guī)PID控制的補(bǔ)充，且變工況控制的最后階段仍要切換到常規(guī)PID控制。變工況控制方案實現(xiàn)的關(guān)鍵在于兩點：一是Bang-Bang控制最優(yōu)切換點的求取；二是變工況控制啟動閾值的計算。

圖2 變工況控制總體方案流程

2 Bang-Bang控制最優(yōu)切換點的求取

對于線性定常系統(tǒng)，若系統(tǒng)正常工作，則可應(yīng)用極小值原理求得時間最優(yōu)控制的最優(yōu)軌線簇[10]，當(dāng)初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)確定時，可以得到確定的最優(yōu)軌線。當(dāng)切換次數(shù)N=1時，最優(yōu)控制的切換點必然是兩條最優(yōu)軌線的交點。文獻(xiàn)[14]分析了加熱爐的最快速升溫過程，指出最優(yōu)切換點為相軌跡的交點，但未給出具體的求解方法。對于非線性系統(tǒng)，如果可以求得滿足初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)的最優(yōu)軌線，進(jìn)而求得交點，就可以得到Bang-Bang控制的一次最優(yōu)切換點。以穩(wěn)定的二階非線性系統(tǒng)為例，系統(tǒng)方程為：

(1)

(2)

設(shè)f2(t,x1(t),x2(t),u(t))≠0，將式(2)變形代入式(1)，消去dt可得：

(3)

Bang-Bang控制中，u的取值為最大值和最小值，即umax和umin，將兩者分別代入式(3)即可得到兩個微分方程：

(4)

(5)

假設(shè)控制過程先輸入最大值后輸入最小值。以初始狀態(tài)x0為起始條件，采用微分方程數(shù)值解法求解式(4)，即可得到輸入為umax時的相軌跡曲線(圖3中的曲線L1)。但是，式(5)并沒有起始條件，僅已知終止條件，為此筆者仍采用微分方程的一般數(shù)值解法來近似求解，以歐拉法離散化求解為例。

圖3 Bang-Bang控制一次最優(yōu)切換點的求取示意圖

則有：

反向求解的關(guān)鍵在于用F2(x1(i),x2(i))來近似F2(x1(i-1),x2(i-1))，數(shù)值方法可以驗證，只要求解步長足夠小，反向求解的精度可以滿足要求。據(jù)此求得的相軌跡為圖3中的曲線L2。相軌跡曲線L1與L2的交點即為Bang-Bang控制的最優(yōu)切換點。同理，可以做出以原終端狀態(tài)為起點、原初始狀態(tài)為終點的反向過程，其相軌跡曲線為L3、L4。正向與反向過程的相軌跡構(gòu)成一組閉合曲線，L1、L2、L3、L4分別稱為全幅上升、緩沖上升、全幅下降與緩沖下降。

3 變工況控制啟動閾值的計算

考慮到設(shè)備損耗、執(zhí)行誤差等因素，設(shè)置變工況控制的最短響應(yīng)時間為tδ，即全幅階段的最短持續(xù)時間，同時也是 Bang-Bang控制的切換最短響應(yīng)時間。為了更好地描述啟動閾值的確定方法，筆者對文獻(xiàn)[5]中的實驗室加熱爐模型做了改進(jìn)，擴(kuò)展為二階非線性模型。其輸入電壓最大值umax=220V，對應(yīng)全幅升溫階段；最小值umin=0V，對應(yīng)自然升溫階段。具體模型如下：

圖4 最短響應(yīng)時間下的升溫情況

4 案例分析

經(jīng)典的范德波爾方程為[4]：

圖5 范德波爾方程相軌跡曲線

以改進(jìn)的實驗室加熱爐模型為對象，分別做單次升溫與連續(xù)升溫曲線。400～500℃的升溫與降溫控制效果如圖6所示，得到升溫過程交點坐標(biāo)為(451.22，2560.71)，切換溫度為93.35℃，切換時刻為4.560 0min。相同條件下采用文獻(xiàn)[5]的方法優(yōu)化得到切換時刻為4.540 3min，二者相差0.4%；降溫過程交點坐標(biāo)為(401.96，12.84)，切換溫度為401.96℃。當(dāng)溫度降至401.96℃左右時，切入umax，持續(xù)大約27s后即達(dá)到400℃。相比于升溫過程，降溫過程的緩沖階段持續(xù)時間很短，充分體現(xiàn)了加熱爐動態(tài)響應(yīng)的不對稱性。圖6a中虛線為不同起止溫度的升降溫相軌跡簇；L5由加熱爐穩(wěn)態(tài)工作點組成，所以在穩(wěn)態(tài)工況間切換時，升降溫相軌跡的起止點必落在此線上。

圖6 400～500℃的升降溫控制效果A、C點——加熱爐分別在400℃與500℃時的穩(wěn)態(tài)工作點；B、D點——升溫與降溫時的Bang-Bang控制切換點

對加熱爐對象實施連續(xù)的升溫與降溫操作，起始溫度為20℃，目標(biāo)溫度分別為150、160、100、300、200、180℃。圖7為不同控制方式下實驗室電加熱爐模型的控制效果，通過對比可以看出，在設(shè)定值多次連續(xù)變化的情況下，尤其是大幅升溫過程，PI控制的效果較差；在大幅降溫的情況下，兩種控制方案的控制效果相差并不明顯，這是因為加熱爐動態(tài)響應(yīng)具有很強(qiáng)的不對稱性。即使沒有使用最優(yōu)的PI參數(shù)，以變工況控制作為補(bǔ)充的集成控制方案仍然能夠在全工況范圍內(nèi)保持優(yōu)秀的控制效果。

圖7 實驗室電加熱爐模型的控制效果

5 結(jié)束語

筆者將Bang-Bang控制與常規(guī)PID控制集成為變工況控制，用來應(yīng)對大范圍工況變化。針對實現(xiàn)變工況控制所需的兩個切換條件，提出兩種處理方法：利用相軌跡圖解法，求解二階非線性對象的Bang-Bang控制一次最優(yōu)切換點；以切換動作的最短響應(yīng)時間為條件，計算并設(shè)置變工況控制的啟動閾值。實例仿真結(jié)果表明，以變工況控制作為補(bǔ)充的集成控制方案，具有計算時間可控、精度高和適于在線使用的特點，對全范圍的工況變化具有良好的調(diào)節(jié)效果。

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IntegratedDesignandAnalysisofBang-BangControlandGeneralPIDControlunderVariableWorkingConditions

LI Ming-jun1, LUO Xiong-lin1, GU Ming-zhang2

(1.CollegeofGeophysicsandInformationEngineering,ChinaUniversityofPetroleum,Beijing102249,China;2.CNPCLiaohePetrochemicalCorporation,Panjin124000,China)

Through having Bang-Bang control integrated with PID control, a variable working condition-oriented control method was proposed. As for the quadratic nonlinear system, the phase locus graphic method was adopted to solve optimal switching points of Bang-Bang control; and through setting the shortest response time of the switch operation, the start threshold for controlling the variable working conditions was calculated. The simulation results show that, the integrated control scheme which taking variable working condition control as a supplementary has good control effect on full range of variable operating conditions.

control of variable working conditions, Bang-Bang control, PID, optimal switching point, start threshold, quadratic nonlinear model

TH865

A

1000-3932(2016)09-0901-05

2016-01-27(修改稿)