這樣一定最省錢嗎？

劉韓

近日，聽了一節(jié)《解決問題》公開課。這是2013年人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)第一單元的最后一節(jié)課。課堂上，教師按照解決問題的三個(gè)步驟：閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思有序開展，通過教師的不斷提問，層層剖析，最后通過這道例題的解答，總結(jié)出了一個(gè)解決這類問題的方法。

【片斷回放】

出示例題，理解題意，然后教師提問：那么怎樣租船可以最省錢呢？小組交流一下。

生1：我們先計(jì)算了，發(fā)現(xiàn)大船每個(gè)座位只要5元，而小船每個(gè)座位要6元，所以多選大船比較便宜。于是我用32除以6結(jié)果等于5余2，所以租5條大船和1條小船可以坐下。

師：這樣租船需要多少錢呢？

生1：5×30+1×24=174（元）

師：可是這樣租船好像有空位，如果沒有空位會(huì)更省錢嗎？有沒有小組的方案是沒有空位的？

生2：我把1條大船上的6個(gè)人和余下的2個(gè)人安排了2條小船，恰好坐下，沒有空位。而且我列式計(jì)算了4×30+2×24=168（元），比之前那種有空位的更便宜，所以這種方案最省錢。

師：原來沒有空位真的會(huì)更省錢。你們發(fā)現(xiàn)以后我們解決這類問題可以怎么做？

生3：先比較單價(jià)，多選單價(jià)便宜的船。

師：還有要補(bǔ)充的嗎？

生4：還要看有沒有空位，如果有空位的話，調(diào)整一下，找到一個(gè)沒有空位的方案就是最省錢的方案。

師：看來今后解決這類租船問題時(shí)，我們不光要盡可能選擇單價(jià)便宜的船，還要選擇盡可能少空位或者沒有空位的方案，這樣就能最省錢。

于是課堂進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)，開始練習(xí)，學(xué)生按照這個(gè)方法每次都能一下找到最省錢的方案。

【反思】

數(shù)學(xué)是最嚴(yán)密的學(xué)科，嚴(yán)密性也是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一，那么一定要空位少或者沒有空位最省錢嗎？想要證明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需要舉出一個(gè)反例即可，于是筆者想改變本題的數(shù)據(jù)試一試。“有32人去租船，大船可坐10人，每條船租金30元，小船可坐4人，每條船租金20元，怎樣租船最省錢？”按照本節(jié)課總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，最省錢的方案應(yīng)該是2條大船和3條小船，計(jì)算一下：2×30+3×20=120（元）。可是如果只租3條大船，1條小船，也可以坐下，此時(shí)的總錢數(shù)是：3×30+1×20=110（元），比沒有空位更省錢。

深究其原因，其實(shí)是因?yàn)槔}中只是將一條大船替換為了小船，船的總數(shù)量沒有發(fā)生變化，由于大船的總價(jià)高于小船的總價(jià)，所以相對(duì)于5條大船和1條小船來說，4條大船加2條小船的方案更省錢。而一旦數(shù)據(jù)發(fā)生變化，如果替換的數(shù)量不對(duì)等，那就要考慮替換前大船的總價(jià)和替換后小船的總價(jià)哪個(gè)更低。例如反例中，相對(duì)3條大船和1條小船的方案來說，2條大船和3條小船雖然沒有空位，但是卻使用了2條小船去替換1條大船，而2條小船的總價(jià)是高于1條大船的，因此，反而3條大船和1條小船的方案更省錢。當(dāng)然，對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生來說，他們才第一次學(xué)習(xí)怎樣租船最省錢這類問題，筆者認(rèn)為本節(jié)課中沒有必要研究得這么深。

就課論課，那么本節(jié)課到底應(yīng)該給學(xué)生滲透一種怎樣的方法才是最合適的呢？

首先，筆者認(rèn)為要從“怎樣租船最省錢？”這個(gè)問題開始出發(fā)探討。這個(gè)問題學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)里第一次接觸到，需要解釋清楚：什么叫最省錢。按照數(shù)學(xué)的理解，應(yīng)該是所有可能的方案中，所需錢數(shù)最少的一個(gè)，是一個(gè)比較完所有方案之后才能得到的結(jié)果，這也是解決此類問題最根本的思路。筆者在自己的班上親身實(shí)踐過，在審題的環(huán)節(jié)中，加深對(duì)“怎樣租船最省錢？”的理解，學(xué)生很容易形成一種認(rèn)識(shí)，就是這里要“最省錢”一定是一個(gè)比較了所有方案之后得到的結(jié)果。學(xué)生有了這個(gè)認(rèn)識(shí)后，思維也就開始變得嚴(yán)密，也為后面解決問題的第二個(gè)環(huán)節(jié)埋下伏筆，就是不管想出什么方案，都要思考，為什么是最省錢的，是不是和所有的方案都比較過了。

其次，三年級(jí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過用列表法解決問題，本節(jié)課從教材的安排上來看，是一個(gè)在此基礎(chǔ)上的延伸和優(yōu)化。因此，根據(jù)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，可以將所有可能的方案都列舉出來，再一一計(jì)算出總錢數(shù)，然后進(jìn)行比較，得出最省錢的方案。那么本節(jié)課我們重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考的問題應(yīng)該是：在那么多可能的方案中，哪些又可能是最省錢的？為什么認(rèn)為這個(gè)方案會(huì)最省錢？在筆者的課堂實(shí)踐上發(fā)現(xiàn)，學(xué)生經(jīng)過前面的鋪墊，很容易又形成一個(gè)初步思路，就是只需要把所有方案的單價(jià)都計(jì)算出來就可以得出最省錢的方案。至此，學(xué)生其實(shí)都是根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)在探討如何解決問題，而且發(fā)現(xiàn)已有的經(jīng)驗(yàn)是可以解決這個(gè)問題的。但與此同時(shí)矛盾也慢慢展開，有那么多方案，都一一算出來，再比較，太麻煩了，這樣激發(fā)了尋找新方法的需求。就是要先計(jì)算單價(jià)，多選單價(jià)低的大船，可以達(dá)到省錢的目的。

最后，有那么多方案，為什么只比較兩種就得到了最省錢的方案？這是體現(xiàn)本節(jié)課精髓的一個(gè)問題。要想快速得出最省錢的方案，應(yīng)該先考慮單價(jià)，由于總?cè)藬?shù)是固定的，因此盡可能多選單價(jià)低的船，可以達(dá)到省錢的目的，這樣就有了例題中的第一個(gè)方案。經(jīng)過筆者的課堂實(shí)踐也發(fā)現(xiàn)，這點(diǎn)學(xué)生很容易想到。但是通過計(jì)算，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)矛盾又出現(xiàn)了。如果多選了單價(jià)低的最后卻有空位，而空位也是要付錢的，這樣就會(huì)形成一定的浪費(fèi)，第二步的思考就又產(chǎn)生了：減少空位或者沒有空位的方案會(huì)不會(huì)最省錢？在這樣的誘導(dǎo)下，學(xué)生躍躍欲試的心理也變得越來越強(qiáng)，這樣就自然產(chǎn)生了方案二，經(jīng)過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)沒有空位花的錢更少。那只比較了這兩種方案就能得到最省錢的方案嗎？這個(gè)時(shí)候教師的作用凸顯出來，此時(shí)我們只需要用PPT列表展示出所有的方案，讓學(xué)生對(duì)比后思考這幾個(gè)問題：空位數(shù)大于等于2的方案中，方案一是不是最省錢的？為什么？在減少空位數(shù)的方案中，方案二是不是最省錢的？又為什么？學(xué)生通過小組討論，就可以回答上面幾個(gè)問題。在空位數(shù)等于2的方案中，由于方案一盡可能多選擇了單價(jià)低的大船，因此方案一的價(jià)格最低。至于空位大于2的情況，直接排除，因?yàn)橛嘞碌娜诉x擇小船就夠了，沒有必要選大船。在沒有空位或者少空位的方案中，方案二由于是這些方案里面盡可能多的選擇了單價(jià)低的大船的方案，而且沒有空位，所以必然最省錢。也就是說我們今天雖然只列舉了兩種方案，其實(shí)是比較了所有的方案而得出的結(jié)果。

筆者認(rèn)為，這樣一種思路整理下來，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，一種高級(jí)的解決問題方法的產(chǎn)生其實(shí)也是源于對(duì)數(shù)學(xué)基本方法的改進(jìn)，而且這個(gè)基本方法是一種根本思路，即“最省錢”一定是比較過所有方案的結(jié)果，舊知遵循這個(gè)原則，新方法也是如此。采用這樣的方式教學(xué)，可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上不至于形成知識(shí)斷層，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一種螺旋式的上升和波浪式的前進(jìn)，每一層的學(xué)習(xí)其實(shí)都是源于前一個(gè)階段的理論，知識(shí)與知識(shí)之間緊密連接，不是跳躍而上的。而且基于這種方式研究得出的方法嚴(yán)密性也得到了有效的傳承，不至于因?yàn)橹R(shí)的跳躍而產(chǎn)生思維的漏洞。

（作者單位：武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯 劉玉琴