從事物的極限到函數的極限

梁齊天

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）09-0256-03

每年秋季剛考進大學的非文科一年級新生們都要學習高等數學這門課程的。而高等數學里第一個概念就是數學極限的定義，這對于學生是非常難學的，老師也感到難教，這是一個歷史現象。

目前高中階段在學習變化率導數時，也是有意地繞過極限定義的。可見極限定義困難的程度。

極限的定義為什么這樣難教難學，就是因為我們對于它挖掘認識的不夠。

我經過很長一段時間對極限琢磨與研究著，而今我有個重大發現，我窺視到了函數y=f（x）的極限就是函數y=f（x）在某種條件下的極大值ak 極小值。因為極大值、極小值是此前中學階段里很普通而又很熟練的知識，在這個很熟練的基礎上，學習極限就一帆風順了。下面是我的設計：

一、事物的極限

極限并不陌生和抽象，在生產生活中，我們身邊存在和充滿著許多通俗易懂極限的問題。

比如我們行走在一座橋的前面看見路旁有個交通警示牌，牌上寫著20t，這是什么意思呢？這是告訴人們經過橋梁的車輛及其載物不能超過20噸重，超過了20噸，橋梁就有可能斷裂或倒塌，釀成危險性事故。這是橋梁負荷的極大限制值。

用火箭發射人造衛星，火箭的發射速度不能小于7.9km/s，小于這個發射速度，衛星就上不了天，這是衛星上天時火箭發射速度的極小限制值。

嚴寒的冬天，千里冰封，萬里雪飄……必須要到晴天氣溫才能不斷升高，達到0℃以上的時候，冰雪才能融化。這個0℃是標準大氣壓之下冰雪融化溫度的極小限制值。

上面的極大限制值、極小限制值。取極大值、極小值的“極”字，取限制的“限”字。簡稱為極限。反過來，以后看到“極限”一詞也可顧名思義地聯想起極限里的“極”字就是極大值或極小值。“限”字就是限制。

這樣一來，我們得到了含有變量的事物的極限定義。

定義：含有變量的事物在某種條件下變化著，它的極大限制值或極小限制值，就叫做這事物在該條件下的極限。

于是，上面橋梁的負荷極限是20t，火箭發射人造衛星能上天速度的極限是7.9km/s，冰雪在其溫度不斷升高時，保持固體形狀的極限溫度是0℃。

化合物H2O在其溫度下降時，保持液體狀態的極限溫度是0℃，在其溫度不斷上升時，保持液體狀態的極限溫度是100℃。

簡單而粗糙的說，事物的極限就是它的極大值或極小值。數學函數也是一件事物，所以函數的極限也是它的極大值或極小值。下面我們僅就函數的一個方面數列談一下。其余的函數類似之。