磁場中導體棒運動問題例析

安徽省靈璧黃灣中學 華興恒

磁場中導體棒運動問題例析

安徽省靈璧黃灣中學 華興恒

磁場中導體棒運動問題是我們學習磁場知識后經常遇到的問題，歸納起來主要有兩種類型：一種是單棒問題，另一種是雙棒問題。下面我們舉例分析。

一、單棒問題

基本題型 如圖1所示，質量為m的導體棒可以無摩擦地在水平面內放置的平行金屬導軌上滑行，兩軌間距為L，導軌與電阻R連接，放在豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B，導體棒的電阻為r，導軌的電阻不計，導體棒初速度為v0（與導軌平行），始終與導軌保持垂直且接觸良好。試求導體棒停下來時滑行的距離、通過的電量及產生的熱量。

分析 該題中導體棒的運動過程為加速度變小的減速運動，而我們僅熟悉勻變速直線運動的規律，乍一看似乎無從下手。下面給出兩種解法，供同學們參考。

解 設導體棒滑行的距離為x，將這段距離分割成許多小段，記為Δx1，Δx2，…，Δxn；由于距離Δx很小，可認為在每一小段內棒的加速度是不變的，每一小段內棒的速度變化量為Δv1，Δv2，…，Δvn，時間間隔為Δt1，Δt2，…，Δtn。

圖1

拓展1 如圖2所示，在基本題型的條件下，若導體棒在恒力F（與導軌平行）的作用下由靜止開始運動，設在棒從開始到剛穩定運行的過程中，通過橫截面的電量為q，則最大速度vm、從開始到剛穩定運行的時間t和產生的熱量Q各是多少？

圖2

解析 導體棒做加速度減小的加速運動，當F=F安時速度最大，

拓展2 如圖3所示，在同一水平面內的光滑平行金屬導軌間距為L，一端連有一電容器，整個導軌處豎直向上的勻強磁場中，磁場強度為B。不考慮任何電阻，導體棒在恒力F（與導軌平行）的作用下由靜止開始運動，設電容器的電容為C，電容器的擊穿電壓為U0，導體棒與導軌始終保持垂直且接觸良好。試分析電容器被擊穿前導體棒的運動情況。

圖3

解析 設在任意時刻t，導體棒的速度為v，取極短時間段Δt，可認為Δt時間段內棒的加速度不變，設加速度為a，

則在這段時間內，電容器的電壓由BLv變為BL（v+aΔt），

由牛頓第二定律可知：F-BIL=F-B（CBLa）·L=ma，

加速度是一個恒量，可見電容器被擊穿前導體棒做勻加速直線運動。

拓展3 如圖4所示，在同一水平面內的平行金屬導軌相距L=0.25 m，電阻不計，電池的電動勢E=6 V，內阻不計，R=5 Ω，勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向豎直向下，開關S閉合后，橫放在導軌上的導體棒（電阻可以忽略不計）在磁場力的作用下由靜止開始向右運動，導體棒與導軌間的滑動摩擦力Ff=0.15 N，為使棒運動速度最大，此時磁感應強度B為多大？導體棒運動的最大速度vm是多少？

圖4

解析 導體棒做加速度變小的加速運動，當Ff=F安時，導體棒做勻速運動。

方法一：根的判別式法

方法二：等效法

例1 如圖5所示，水平面（紙面）內間距為L的平行金屬導軌間接一電阻，質量為m且足夠長的導體棒置于導軌上。t=0時，導體棒在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運動。t0時刻，導體棒進入磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場區域，且在磁場中恰好能保持勻速運動。導體棒與導軌的電阻均忽略不計，兩者始終保持垂直且接觸良好，兩者之間的動摩擦因數為μ。重力加速度大小為g。求：

圖5

（1）導體棒在磁場中運動時產生的電動勢的大小。

（2）電阻的阻值。

分析 導體棒的運動過程分為兩個部分。進入磁場前，棒在F與摩擦力μmg的作用下做勻加速直線運動，可求出加速度a和到達磁場邊界時的速度；進入磁場后，棒做勻速直線運動，根據法拉第電磁感應定律，可求出電動勢及電路中的電流，再分析受力情況，由牛頓運動定律列方程求解。

解 （1）設導體棒進入磁場前的加速度大小為a，則根據牛頓第二定律可得：ma=F-μmg。

設導體棒到達磁場左邊界時的速度為v，則由運動學公式得：v=at0。

當導體棒以速度v在磁場中運動時，則由法拉第電磁感應定律可知棒運動時產生的電動勢E=BLv。

（2）設導體棒在磁場區域中勻速運動時，棒中的電流為I，則根據歐姆定律有，式中R為電阻的阻值。

導體棒所受的安培力為F安=BIL。

因導體棒做勻速運動，則由牛頓運動定律得F-μmg-F安=0。

點評 分別分析導體棒在兩個過程中的受力情況和運動情況，第一個過程導體棒的末速度即為第二個過程中導體棒做勻速運動的速度，結合法拉第電磁感應定律得到E，再根據受力平衡列方程求出R。

例2 如圖6所示，兩條相距L的光滑平行金屬導軌位于同一水平平面（紙面）內，其左端接一阻值為R的電阻。一與導軌垂直的導體棒置于兩導軌上。在電阻、導軌和導體棒中間有一面積為S的區域，區域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場，磁感應強度大小B1隨時間t的變化關系為B1=kt，式中k為常量。在導體棒右側還有一勻強磁場區域，區域左邊界MN（虛線）與導軌垂直，磁場的磁感應強度大小為B0，方向也垂直于紙面向里。t=0時，導體棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運動，在t0時刻恰好以速度v0越過MN，此后向右做勻速運動。導體棒與導軌始終相互垂直并接觸良好，它們的電阻均忽略不計。求：

圖6

（1）在t=0到t=t0時間間隔內，流過電阻的電荷量的絕對值。

（2）在時刻t（t＞t0）穿過回路的總磁通量和導體棒所受外加水平恒力F的大小。

解析 （1）導體棒在0～t0這段時間內，由于圓形磁場中的磁通量變化而產生感應電動勢，從而產生感應電流，由電流的定義式便可求出流過電阻的電荷量的絕對值。

在導體棒越過MN之前，t時刻穿過回路的磁通量Φ=ktS。

設在從t時刻到t+Δt的時間間隔內，回路磁通量的變化量為ΔΦ，流過電阻R的電荷量為Δq。則由法拉第電磁感應定律得：，

（2）當導體棒越過MN后，穿過回路的磁通量由兩部分組成，根據法拉第電磁感應定律等知識便可以求出恒力F的大小。

當t＞t0時，導體棒已越過MN，由于導體棒在MN右側做勻速運動，有F=F安，式中F是外加水平恒力，F安是勻強磁場施加的安培力。

設此時回路中的電流為I，則F安=B0IL。

此時導體棒與MN之間的距離：s=v0（t-t0），

勻強磁場穿過回路的磁通量：Φ′=B0Ls，

回路的總磁通量：Φt=Φ+Φ′，式中Φ=ktS，

由以上幾式可得在時刻t（t＞t0）穿過回路的總磁通量：Φt=B0Lv0（t-t0）+kSt。

在t到t+Δt的時間間隔內，總磁通量的改變量：ΔΦt=（B0Lv0+kS）Δt，

聯立以上三式及F=F安、F安=B0IL可解得。

注意 （1）在計算磁通量時，若用的是左側矩形面積，而不是圓形磁場的面積，則容易導致錯解的發生。（2）當金屬棒越過MN后，計算磁通量時，若得出的導體棒與MN的距離為s=v0t，也會導致錯解。

二、雙棒問題

基本題型 兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖7所示。兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B，兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行。開始時，棒cd靜止，棒ab有平行于導軌且指向棒cd的初速度v0。若兩導體棒在運動中始終不接觸。求：

圖7

（1）在運動中兩棒中產生的焦耳熱最多是多少？

解析 （1）易知兩棒所受安培力大小相等，方向相反，系統合外力為0，因此動量守恒。

當兩棒速度相等時，回路中感應電流為0，由動量守恒可知mv0=2mv，共同速度；由能量守恒可得，運動中兩棒中產生的焦耳熱最多為

拓展1 若基本題型中兩導體棒開始時均靜止，棒cd受到水平恒力F的作用由靜止開始運動，其他條件均不變，請分析兩棒的運動情況。

解析 恒力F開始作用的瞬間，電路中的感應電流為0，棒cd的加速度為，棒ab的加速度為0，隨著vcd的增大，電路中的I感增大，F安增大，acd減小，aab增大，但因acd＞aab，所以兩棒的速度差Δv增大。當時，兩棒的速度差及加速度均不再變化。

拓展2 在水平面上放置的間距為L的兩根光滑的平行金屬導軌間，有一豎直向下的勻強磁場，如圖8所示。導體棒ab和cd擱置在導軌上，并始終垂直于導軌，導軌的左端接一電阻R，棒ab和cd電阻也均為R。當棒ab在外力作用下以速度v勻速向右運動時，棒cd達到穩定時的速度為_______，此時作用在棒ab上水平向右的外力F=_______，固定電阻R上消耗的熱功率是_______。

圖8

由以上分析可見，分析力電綜合類問題的基本思路與力學解題時的基本思路相同。在運用牛頓第二定律與運動學結合解題時，分析加速度與初速度的關系是解題的最關鍵的第一步，因為加速度與初速度的關系決定了物體的運動狀態。在解決電磁感應中電路問題時，要將電磁感應現象的實際問題抽象成直流電路的問題。在解決能量轉化問題時，要用能量轉化和守恒的觀點分析和解決問題。?