巧破拋物線小題的幾個實用結論

安徽省和縣三中 范世祥

巧破拋物線小題的幾個實用結論

安徽省和縣三中 范世祥

縱觀近幾年全國各省市的高考題，拋物線時常作為一道小題來考查。一些考生因為一時未能找準思路，從而陷入大量煩瑣的運算之中，即使解答出來了，也花了很大的“成本”，從而導致時間不夠用，無法順利完成后面的試題。為此，筆者總結了一些可以快速攻破拋物線小題的切實可行的結論，掌握、運用好這些結論可以取得“精、準、快”的解題效果。

一、弦端點坐標問題

結論2 （結論1的推廣）已知直線l與拋物線y2=ax（a＞0）相交于點A（x1，y1）、B（x2，y2），且與x軸相交于點M（m，0），則有x1x2=m2，y1y2=-am。（證明略）

例1 已知F是拋物線y2=x的焦點，點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側，O→A·O→B=2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是_______。

二、焦點弦長問題

結論3 已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則有。

結論4 已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則有（θ為直線AB的傾斜角）。

例2 過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，若|AF|=3，則|BF|=_______。

三、焦點三角形面積問題

例3 設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為_______。

四、以極點和極線為背景的問題

結論6 設AB為拋物線的焦點弦，則該拋物以A、B為切點的切線的交點軌跡是它的準線；反之，由拋物線準線上任一點向拋物線引兩條切線，切點為A、B，則AB為焦點弦。

證明 設拋物線y2=2px（p＞0），

則點A、B處的切線方程分別為y1y=p（x+x1）和y2y=p（x+x2），

設兩切線的交點為M（x0，y0），則有y1y0=p（x0+x1），y2y0=p（x0+x2）。

這說明切點A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線y0y=p（x+x0）上，

因此直線AB的方程為y0y=p（x+x0），

將焦點坐標代入直線AB的方程y0y=p（x+x0）后得到，

即兩切線交點M（x0，y0）在準線l：上。

反之，設拋物線y2=2px（p＞0），點A（x1，y1），B（x2，y2），

因為拋物線在點A、B處的切線方程可分別表示為y1y=p（x+x1）和y2y=p（x+x2），且切線均經過，

這說明切點A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線上，

結論7 若拋物線的兩條切線相互垂直，則這兩條切線的交點的軌跡是它的準線；反之，由拋物線準線上任一點向拋物線引兩條切線，這兩條切線必互相垂直。

證明 設自一點M（x0，y0）向拋物線y2=2px（p＞0）所引切線的方程為y=k（x-x0）+y0（k≠0），

即由拋物線的準線上任一點引拋物線的兩切線必互相垂直。

解析幾何中像這樣可以引申、推廣的規律有很多。只要我們平時經常總結、歸納同類題的解題方法，并注意探究和發掘變換事物中所蘊含的一般規律，就一定會有更多驚喜的發現。