基于滿意模糊聚類的熱工過程多模型建模方法

朱紅霞， 沈炯， 李益國

(1.南京工程學院 能源與動力工程學院，江蘇 南京 211167；2.東南大學 能源與環境學院，江蘇 南京 210096)

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基于滿意模糊聚類的熱工過程多模型建模方法

朱紅霞1,2， 沈炯2， 李益國2

(1.南京工程學院 能源與動力工程學院，江蘇 南京 211167；2.東南大學 能源與環境學院，江蘇 南京 210096)

由于熱工過程往往具有非線性和不確定性，傳統的線性建模方法難以精確表達其復雜特性。因此提出一種改進的基于滿意模糊聚類的多模型建模方法。該方法不需要預先指定局部模型的個數即聚類數，它基于樣本協方差矩陣的奇異值分解來確定初始聚類中心和新增聚類中心，并利用聚類有效性指標結合建模精確度要求來確定最佳聚類數。根據聚類結果可快速確定出局部模型網絡的模型結構參數，進而采用基于加權性能指標的多模型辨識算法可得到各局部模型參數。對兩個典型非線性系統和Bell-?str?m鍋爐-汽輪機系統的建模結果表明，這種多模型建模方法具有辨識精確度高、子模型數少等優點。

模型辨識；多模型；局部模型網絡；滿意模糊聚類；熱工過程

0 引 言

火電廠熱工過程具有周期性重復運行的特點，機組的運行數據中充分包涵了其在不同工況范圍內的動態特性信息。因此，可充分利用這些運行數據，采用基于數據驅動的建模策略來建立熱工過程的模型，從而為機組的優化控制奠定基礎。但由于熱工過程的非線性和時變性，傳統的線性建模方法難以精確表達其復雜特性。近年來，基于“分解-合成”法則的多模型建模方法受到廣泛關注，它將整個復雜系統分解，用若干個簡單的線性子模型實現對原系統的逼近，具有眾多優點[1]。多模型建模的關鍵問題是系統子區間的劃分以及模型結構和參數的辨識，子區間劃分個數決定了模型復雜度。

在數據信息充足的情況下，利用模糊聚類算法進行子區間的劃分是一種最常用的方法，被廣泛應用于分段仿射模型[2-3]、T-S模糊模型[4-13]等多模型建模方法中。但模糊聚類算法一般都需要事先給定聚類個數c(對應于子區間和局部模型個數)，若對系統沒有充分的了解，準確的c值很難直接確定。比較法和融合法是較常見的c確定方法，但它們的計算量較大且初始聚類信息的隨機性大。針對該問題，李檸[13]和薛振框[14-15]等提出了基于滿意聚類的多模型建模方法，以模型精確度是否滿意為準則確定最佳聚類個數，它從初始聚類個數c=2開始遞階增加新的聚類，聚類過程中能充分利用以往聚類的結果。滿意聚類思想比單純依據某個聚類有效性指標最優來確定聚類個數即局部模型個數，更符合工業過程的實際要求，因為模型集的優化要考慮的是能否用最少的模型數目滿足控制系統設計對模型精確度的要求，而不是單純追求某個優化指標的絕對最小。但現有的基于滿意聚類的多模型建模方法存在不足：1)初始(包括新增)聚類中心的確定未能充分利用樣本集包含的特征信息，容易誤選噪聲數據；2)聚類終止條件設計不合理，若建模精確度指標要求過高，會導致聚類過程無法正常終止；3)完全拋棄了聚類有效性評價指標，單純根據建模精確度確定局部模型個數，這有可能造成模型冗余。

為此，本文以局部模型網絡作為多模型表達形式，提出一種新的基于滿意模糊聚類的多模型建模方法，以克服現有方法的不足，更快速地獲取最優模型。并通過對2個典型非線性系統和機爐協調系統的建模仿真來驗證這種新建模方法的優越性。

1 局部模型網絡

局部模型網絡(local model networks，LMN)是一種典型的多模型表示形式[16-17]。在局部模型網絡中，系統的輸出描述為調度函數與其對應的局部模型乘積的總和，以反映系統輸入輸出之間的非線性關系。不同于一般的神經網絡“黑箱”模型，LMN的結構簡單，可解釋性強。LMN的一種基本結構如圖1所示，u(k)和y(k)分別為當前k時刻系統的輸入與輸出。對于R維輸入S維輸出的多變量系統，可用LMN描述為

(1)

圖1 局部模型網絡的一種基本結構Fig.1 A basic structure of Local Model Networks

式中：M為局部模型個數；ρi(·)稱為基函數，它是調度向量φ(k)∈RL的函數，因此也稱為調度函數，L為φ的維數；fi(·)是輸入向量φ(k)∈Rr的局部模型，r為φ的維數；調度向量φ(k)和輸入向量φ(k)通常采用系統當前時刻已知的輸入輸出來描述；φ(k)可以取為與φ(k)相同，也可以不同。LMN的設計工作主要集中在3個方面：調度函數的選擇，局部模型的選擇以及模型參數的辨識。

調度函數一般選用高斯函數

(2)

式中：ci為高斯函數的中心，σi為高斯函數的寬度。

為了保證輸入空間劃分的統一性，調度函數需要進行歸一化處理

(3)

局部模型fi(·)一般選為線性模型或仿射模型。例如，對于MIMO系統，局部模型若采用CARMA(controlledauto-regressivemovingaverage)形式

Ai(z-1)y(k)=Bi(z-1)u(k-1),

i=1,2,...,M。

(4)

其中:Ai(z-1)=I+Ai1z-1+…+AinAz-nA；Bi(z-1)=Bi0+Bi1z-1+…+BinBz-nB；Aij∈RS×S；j=1,2,…,nA；Bij∈RS×R；j=0,1,…,nB；nA和nB分別為模型輸出y和輸入u的階次。

可令φT(k)=[-yT(k-1),…,-yT(k-nA),uT(k-1),…,uT(k-nB-1)]T，θi=[Ai1,…,AinA,Bi0,…,BinB]T，則式(4)可改寫為

(5)

式(5)代入式(1)，可得到

(6)

由式(6)可知，采用LMN描述形式的多模型建模問題，即為模型結構參數(M、ci、σi)和局部模型參數θi的辨識問題。

2 基于滿意模糊聚類的多模型建模方法

考慮一R維輸入單輸出的MISO系統P(u,y)，其中u∈RR為系統輸入，y為系統輸出。用于聚類的數據樣本集由系統的調度向量和輸出數據組成，可表示為{zk=[φT(k),y(k)]T,k=1,…,N}，其中N為樣本個數。調度向量φ(k)=[uT(k-1),y(k-1)]T∈RL可以理解為實際過程中的當前工況，一般選用系統當前時刻已知的輸入輸出來描述。這里選取G-K模糊聚類作為基本聚類算法。

2.1 初始聚類中心的確定

不同于文獻[13-15]中選擇數據樣本集合中最不相似的兩個樣本作為初始聚類中心(這種方式很容易將噪聲數據選為初始聚類中心導致聚類結果不理想)，這里從數據樣本集的內部特征信息出發，基于奇異值分解方法來確定初始聚類中心。首先計算出數據樣本矩陣的單位特征向量和相應的標準差，然后在偏離整個樣本集中心點的兩側確定兩個新的初始聚類中心，這種方法能夠在數據擴張的方向上抓住數據樣本集的主要特征，通過迭代聚類快速找到最優聚類中心。

由原始樣本數據構成原始數據矩陣Z

(7)

其中：矩陣中的元素

(8)

通過奇異值分解(SVD)方法計算出協方差矩陣F0的單位特征向量p0j和相應的特征值λ0j(j=1,2,…,L+1)

F0= [p01,…,p0(L+1)]diag(λ01,…,λ0(L+1))

[p01,…,p0(L+1)]-1。

(9)

(10)

(11)

2.2 模型結構參數的確定

局部模型個數M即為聚類個數c

M=c。

(12)

(13)

σi(i=1,2,…,M)可以通過最近鄰啟發式算法確定，即σi取決于聚類中心viφ到最近鄰的K個中心的平均距離

(14)

式中：vlφ(l=1,2,…,K)為與第i個中心viφ距離最近的K個中心，聚類個數較少時K取1或2；γ為一常數，可用于調整高斯函數的寬度。

定義Ie=[1 1 ...1]T，Ie∈Rr，則第i個局部模型的適用域可描述為

Γi∈[ci-σiIe,ci+σiIe],i=1,2,...,M。

(15)

2.3 局部模型參數的辨識

在確定了模型結構參數之后，數據集合Z中各數據樣本zk的調度函數值可以通過式(3)計算得出，因此各局部模型參數θi的辨識問題也就簡化為線性優化問題。目前一般采用最小二乘法來優化求解局部模型參數，為使辨識得到的模型在全局擬合和局部特性之間取得良好的權衡，這里采用基于全局和局部性能指標加權組合的多模型辨識方法。取加權性能指標[15]

JM(Θ)=αJG(Θ)+(1-α)JL(Θ)=α(Y-ΨGΘ)T(Y-ΨGΘ)+(1-α)(Y-ΨLΘ)TQ(Y-ΨLΘ)。

(16)

式中： JG(Θ)為全局性能指標；JL(Θ)為局部性能指標；α(0≤α≤1)為權重系數；

Y=[y(1),y(2),…,y(N)]T；

權重系數α的取值可由用戶根據實際需求來確定，若更注重多模型系統的全局擬合能力，可以取較大的α值；反之，若更注重系統的局部特性，則取較小的α值。文中的仿真實例選擇了α=0.8。

極小化JM可得到Θ的估計值

(17)

2.4 建模終止條件的確定

(18)

建模過程中，局部線性模型逼近第i個聚類內樣本的性能用逼近誤差的相對標準差σqi來估計

(19)

若局部模型個數達到某一數值時，系統的總體建模性能未達到要求，則從具有最大相對標準差的最差樣本子集中重新選擇2個新的初始聚類中心。

采用NRMSE作為模型精確度是否滿意的性能指標時，隨著局部模型個數的增加，性能指標值將呈單調非增趨勢。因此，可由用戶設定一個滿意的性能指標閾值PER_TH，若當前模型的PER≤PER_TH，則建模過程結束。但要注意到：若用戶設置的PER_TH值不合理，例如對模型精確度的要求過高，即使局部模型個數再多也不可能達到要求，此時文獻[13-15]中的建模迭代過程將陷入死循環。因此，有必要設置一個允許的最大局部模型個數Cmax，若聚類個數已經達到Cmax，模型精確度仍無法到達用戶的要求，則應該終止建模過程，并建議用戶降低要求。此外，文獻[13-15]中僅根據模型精確度要求來確定模型個數，沒有能夠有效利用聚類有效性指標，有可能導致出現冗余模型。

實際上在進行控制系統設計時，為了減少局部模型個數從而降低整個控制系統的復雜度，是可以在模型精確度上適當降低要求的。為此，文中建模方法采用以模型精確度指標為主，聚類有效性指標為輔的判別準則來確定最佳局部模型個數及設置建模終止條件。

這里采用XBindex作為聚類個數選擇的輔助指標。聚類有效性的度量應該基于類內和類間兩方面衡量。XBindex定義為整個模糊聚類方差σ與聚類類間最小分離度sep的比值[18]

(20)

好的分類應該是類內的點集中緊湊，類與類的間距盡可能大，因此XB值越小說明聚類效果越好。隨著聚類個數的遞增，XB可能會出現局部最小值，一般認為第一次出現局部最小對應的聚類個數是最佳的選擇。

建模過程中，在每次G-K聚類結束后，計算當前聚類結果的有效性指標XB(c)，并與前一次聚類的有效性指標XB(c-1)進行比較，若c=cb+1時出現XB(c)>XB(cb)而PER(c)>PER_TH0，說明數據樣本分類在聚類個數為cb時已經達到最佳，而建模性能指標仍未達到要求，此時應該適當降低對建模精確度的要求，在模型復雜度和模型精確度之間進行權衡。例如，可以令PER_TH=(PER(cb)+PER_TH0)/2或者在c>cb后以一定的百分比降低建模精確度閾值。

2.5 建模步驟

這種新的基于滿意模糊聚類的多模型建模方法的具體步驟為：

1)獲取用戶設定的PER_TH0和性能指標(16)中的權值α；設定Cmax(2Cmax；令cb=0；

4)根據M、ci、σi利用式(2)和式(3)計算每個原始數據樣本對應的調度函數值ρi(i=1,…,M)，同時將系統輸入輸出數據組合成ΨL、ΨG及Y。利用式(17)計算得到各局部模型的參數θi(i=1,…,M)；

5)根據式(18)計算用戶給定的模型精確度指標的當前值PER_C；若PER_CXB(c-1)，令cb=c-1，之后不再計算XB；若cb≠0(表明聚類有效性指標已過最優值)，則降低建模精確度要求，可令PER_TH=(PER(cb)+PER_TH0)/2；

(21)

i=1,2,…,c；k=1,2,...,N。

(22)

式中m>1為模糊度指數，通常取2。

建模過程正常結束后，系統可由局部模型集{LM1,LM2,…,LMM}表征，全局模型可用局部模型與對應的調度函數乘積和表示。

3 仿真實例

3.1 靜態非線性系統

考慮一個雙輸入單輸出的靜態非線性系統[4]

(23)

采用文獻[4]中提供的50組輸入輸出數據來辨識該非線性系統。選擇調度向量和輸入向量φ(k)=φ(k)=[x1(k),x2(k)]T，調度向量和輸出數據組成樣本集{zk=[φT(k),y(k)]T,k=1,2,…,50}，圖2顯示了標準化后的數據樣本。

局部模型LMi采用仿射ARX形式

yi(k)=φT(k)θi=

θi0+θi1φ1(k)+…+θirφr(k)。

(24)

式中：r為回歸向量φ(k)的維數，θi=[θi0,θi1,…,θir]T為局部模型參數向量。

因本例中樣本個數較少，設定允許的局部模型個數最大值Cmax=5。圖2中標出了整個樣本集的中心“★”、通過協方差矩陣奇異值分解后確定的2個初始聚類中心“●”以及第一次G-K聚類后得到的2個聚類中心“◆”。從“◆”和“●”所在位置可以看出文中提出的初始聚類中心確定方法是合理的，它能在數據擴張的方向上抓住樣本集的主要特征，因而可以使算法能夠更快地找到最優聚類中心。

圖2 靜態非線性系統標準化后的樣本數據Fig.2 Normalized sample data of the static nonlinear system

若設定初始性能指標閾值PER_TH0=0.15。建模過程中模型精確度指標PER(NRMSE)和聚類有效性指標XB隨聚類個數c的變化如圖3所示。由于設定的初始性能指標閾值PER_TH0較小，雖然在聚類個數為cb=3時XB已到達局部最小值，但未能滿足建模精確度要求，因此之后自動調整性能指標閾值PER_TH=(PER(3)+PER_TH0)/2=(0.26+0.15)/2=0.205。到c=5時，PER(5)=0.187<0.205，建模精確度滿足要求，建模過程結束。若不根據聚類有效性指標XB自動調整PER_TH或者初始閾值PER_TH0設得更小，則會在局部模型個數已達到Cmax時仍無法滿足模型精確度要求，建模失敗。若設定PER_TH0=0.25，則在c=4時建模過程可結束，表1中列出了辨識到的局部模型網絡各參數值。

表1 靜態非線性系統LMN模型參數

圖3 NRMSE和XB隨聚類個數c的變化Fig.3 Variation of NRMSE and XB index with the number of clustering

為了與其它文獻中建模方法進行對比，這里給出另一個常用的模型評價性能指標——均方差(mean square error，MSE)

(25)

表2給出了針對該系統利用不同建模方法所得模型精確度的比較，可見基于滿意模糊聚類的多模型建模方法無論是在模型精確度還是局部模型個數上都具有優越性。

表2 靜態非線性系統不同模型的比較

Table 2 Comparison of different models for the static nonlinear system

模型局部模型個數模型誤差(MSE)SUGENO(1993)[4]60.079LEE(2003)[7]100.0148李檸(2003)[13]4/50.114/0.102本文方法4/50.059/0.037

3.2 Box-Jenkins煤氣爐系統

Box-Jenkins煤氣爐數據[19]是系統辨識的一個典型實例，這組數據由296組輸入輸出觀測值組成，是一個SISO動態系統，其中輸入u(k)為進入煤氣爐的煤氣流量，輸出y(k)為排煙中的CO2濃度。為便于比較，進行了2組不同的測試：

case 1：選擇調度向量φ(k)=[y(k-1),u(k-4)]T和輸入向量φ(k)=[y(k-1),u(k-4)]T；

case 2：選擇調度向量φ(k)=[y(k-1),u(k-1)]T和輸入向量φ(k)=[y(k-1),y(k-2),y(k-3),u(k-1),u(k-2),u(k-3)]T。

局部模型采用如式(24)所示的仿射ARX形式，表3列出了case 1建模得到局部模型個數M=4時的LMN參數。表4列出了針對Box-Jenkins煤氣爐不同建模方法的效果對比。圖4顯示了case 2情況下M=4時模型輸出與實際數據的對比以及模型誤差。

表3 Box-Jenkins煤氣爐LMN模型參數(case 1)

表4 Box-Jenkins煤氣爐不同建模結果的比較

4 Bell-?str?m鍋爐-汽輪機系統的建模

Bell-?str?m鍋爐-汽機模型描述了瑞典Malm? Sydvenska Kraft AB電廠某160 MW燃油汽包爐機組的動態特性，該模型被大量用于驗證各種先進控制方法應用于火電機組控制的有效性。該系統的非線性數學模型為[20]：

H=0.05(0.13073ρf+100αs+qe/9-67.975)，

qe= (0.854u2-0.147)P+45.59u1-

2.514u3-2.096。

(26)

式中：P是鍋爐汽包壓力(kg/cm2)；E是機組發電功率(MW)；ρf是流體密度(kg/cm3)；H是汽包水位(m)；αs和qe分別為蒸汽質量系數和蒸發率(kg/s)；u1、u2、u3分別為系統的3個控制輸入，即燃料流量閥門開度、蒸汽流量閥門開度和給水流量閥門開度。u1、u2、u3的幅值及速率限制見文獻[20]。P、E、H為系統的3個輸出變量。

圖4 Box-Jenkins煤氣爐模型輸出與實際輸出的比較(case 2)Fig.4 Comparison of model outputs and practical output data for Box-Jenkins gas furnace (case 2)

為了使系統的輸出數據能覆蓋整個運行工況(典型工況點數據見文獻[20])，輸入信號必須滿足持續激勵的條件。這里選擇一種寬度和幅值均可調的均勻分布隨機數序列生成3個控制輸入u1、u2、u3的激勵信號，以充分激勵各操作子區間，并分別采集了如圖5所示的7000組數據樣本(采樣時間T=1 s)用于模型辨識，相應的系統輸出響應見圖6～圖8。

圖5 用于鍋爐-汽輪機系統模型辨識的激勵輸入信號Fig.5 Excitation input signals for model identification for the boiler-turbine unit

圖6 汽包壓力通道模型辨識結果Fig.6 Model identification result for drum pressure

針對該MIMO非線性系統，選擇調度向量φ(k)=[P(k-1),E(k-1),H(k-1),u1(k-1),u2(k-1),u3(k-1)]T，用于LMN模型結構辨識的聚類數據樣本集由系統的調度向量和輸出數據組成{zk=[φT(k),P(k),E(k),H(k)]T,k=1,2,…,6998}；在進行局部模型參數辨識時，分解為3個MISO系統：

1)對于汽包壓力通道辨識模型，選取樣本輸入向量為φ1(k)=[P(k-1),u1(k-1),u2(k-1),u3(k-1)]T，樣本輸出變量為y1(k)=P(k)；

2)對于輸出電功率通道辨識模型，選取樣本輸入向量為φ2(k)=[E(k-1),E(k-2),u1(k-1),u2(k-1),u2(k-2),u3(k-1)]T，樣本輸出變量為y2(k)=E(k)；

3)對于汽包水位通道辨識模型，選取樣本輸入向量為φ3(k)=[H(k-1),u1(k-1),u2(k-1),u3(k-1)]T，樣本輸出變量為y3(k)=H(k)。

圖7 輸出電功率通道模型辨識結果Fig.7 Model identification result for Power Output

利用基于滿意模糊聚類的多模型建模方法，當局部模型個數即聚類數增加到M=3時就可以得到令人滿意的建模精確度，辨識得到的LMN模型為：

LM1:φ(k)∈Γ1(c1，22.96)，

c1= [100.93,45.59,0.0133,0.2516,0.5588,

0.3097]T，

P(k)= 0.9997P(k-1)+0.8632u1(k-1)-

0.2495u2(k-1)-0.1543u3(k-1)，

E(k)= 1.6897E(k-1)-0.7185E(k-2)-

0.3987u1(k-1)-0.9505u2(k-1)+

3.3904u2(k-2)-0.1706u3(k-1)，

H(k)= 0.9858H(k-1)+0.0075u1(k-1)-

0.0019u2(k-1)+0.0005u3(k-1)，

LM2:φ(k)∈Γ2(c2,15.17)

c2= [112.98,74.32,0.0033,0.3863,0.7122,

0.4723]T，

P(k)= 0.9982P(k-1)+0.9474u1(k-1)-

0.1360u2(k-1)-0.1162u3(k-1)，

E(k)= 1.3497E(k-1)-0.4335E(k-2)+

0.0793u1(k-1)+0.8488u2(k-1)+

7.4967u2(k-2)+0.6694u3(k-1)，

H(k)= 0.9992H(k-1)+0.0003u1(k-1)-

0.0050u2(k-1)+0.0085u3(k-1)。

LM3:φ(k)∈Γ3(c3,22.55)，

c3= [123.70,101.84,0.0433,0.4856,0.8287,

0.6427]T，

P(k)= 1.0005P(k-1)+0.7323u1(k-1)-

0.3451u2(k-1)-0.2141u3(k-1)，

E(k)= 1.7281E(k-1)-0.7529E(k-2)+

1.2306u1(k-1)-0.2023u2(k-1)+

2.4586u2(k-2)+0.2365u3(k-1)，

H(k)= 0.9921H(k-1)+0.0184u1(k-1)-

0.0068u2(k-1)-0.0056u3(k-1)。

圖6～圖8分別給出了汽包壓力通道、輸出電功率通道、和汽包水位通道的建模效果。為進一步驗證所建模型的精確度，進行開環階躍擾動響應測試，結果如圖9所示。圖中模型輸出與實際輸出信號幾何完全重合(實線：對象實際輸出；點線：模型輸出)，所建的LMN雖然只用了3組局部線性模型，就已具有了很高的預測精確度，能夠很好地描述鍋爐-汽輪機系統的動態特性，為機爐協調控制系統的優化設計提供了良好的模型基礎。

圖9 輸入信號階躍擾動下的測試結果Fig.9 Testing result for step variations of the input signals

5 結 論

本文從系統輸入輸出數據出發，研究了一種新的多模型建模方法并將其應用于建立鍋爐-汽輪機系統的控制模型。針對現有方法在初始聚類中心選取和建模過程終止條件設置等方面的不足進行了改進，提出了基于樣本數據協方差矩陣奇異值分解來確定初始和新增聚類中心的方法及利用模型性能指標和聚類有效性指標結合的建模終止條件來確定最佳聚類數的方法?；诟倪M的滿意模糊聚類可快速確定出局部模型網絡的結構參數，采用基于加權性能指標的多模型辨識算法可得到合適的局部模型參數，最終得到的LMN模型具有良好的全局特性和局部擬合能力。對某靜態非線性系統和Box-Jenkins煤氣爐系統的建模仿真，驗證了這種多模型建模方法的優越性。針對Bell-?str?m鍋爐-汽輪機系統，利用提出的多模型建模方法建立了其局部模型網絡，建模過程中不需要預先指定局部模型的個數，且辨識得到的模型結構簡單、精確度高?？梢?，本文方法可為復雜熱工過程的整體優化控制奠定良好的模型基礎。

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(編輯：賈志超)

Satisfactory fuzzy clustering-based multi-model modeling method for thermal process

ZHU Hong-xia1,2, SHEN Jiong2, LI Yi-guo2

(1.School of Energy and Power Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China;2.School of Energy and Environment,Southeast University,Nanjing 210096,China)

Due to the genuine nonlinearity and uncertainty,it is challenging to precisely present the complex dynamics of thermal process with traditional linear modeling strategies.To solve this problem,a multi-model modeling method based on an improved satisfactory fuzzy clustering technique is proposed.Without knowing the number of local models (i.e.,cluster number) as a priori,the initial cluster centers and the incoming new cluster centers were first created by using singular value decomposition of the covariance matrix of samples,where the optimal clustering number was determined according to the combination of model accuracy requirement and cluster validity index.Then,the structure of local model network was determined directly from the clustering results,and the local model parameters were estimated with weighted performance function based identification algorithm.To outperform the proposed method well,some simulations were conducted on two popular nonlinear systems and Bell-?str?m boiler-turbine system.The results suggest that the proposed method achieves high identification accuracy with less number of local models.

model identification; multi-model; local model network; satisfactory fuzzy clustering; thermal process

2015-07-05

國家自然科學基金(51476027)；教育部高等學校博士學科點專項科研基金(20130092110061)；南京工程學院青年基金(QKJA201303)

朱紅霞(1980—)，女，博士，副教授，研究方向為熱力系統建模及先進控制理論應用；

沈 炯(1957—)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為熱工過程優化控制；

朱紅霞

10.15938/j.emc.2016.10.013

TP 273

A

1007-449X(2016)10-0094-10

李益國(1973—)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為熱工過程優化控制。