中考數學探索型問題的特征分析

孫臻

（甘肅省平涼市靜寧縣三合中學，甘肅 平涼 743419）

中考數學探索型問題的特征分析

孫臻

（甘肅省平涼市靜寧縣三合中學，甘肅 平涼 743419）

眾所周知，探索型問題是近年來中考數學試題中的熱點問題，因為此類問題有利于培養學生的發散思維，有利于學生主體意識及主體能力的形成和發展，有利于培養學生形成獨立的思維品質，所以我們老師在中考復習時，應從探索此類問題的基本題型入手，向學生闡明解決這類問題的基本思路。

一、探索型問題分類及解決方法

（一）常見類型

①結論探索型問題：一般是由給定的已知條件探求相應的結論，解題中往往要求充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發現規律，得出結論。②開放探索型問題：開放探索型問題，一般是由給定的結論反思探索命題，應具備的條件。③規律探索型問題：在一定的條件狀態下，需探索發現有關數學對象所具有的規律性或不變性的題目。

（二）解決方法

①直接解法：從已知條件出發，推導出所要求的結論。②假設求解法：假設某一命題成立，根據假設進行推理，看是否通過推導得出相反的結論。③尋求模型法

二、例題精講與特征分析

（一）規律探索型例析

例1.(2012年四川省巴中市,18,3)觀察下列面一列數：1，-2，3，-4，5，-6，…根據你發現的規律，第2012個數是_________

【探析】觀察知:下列面一列數中,它們的絕對值是連續正整數,第2012個數的絕對值是2012,值偶數項是負數,故填-2012.

【答案】-2012

【點評】本題是找規律的問題,確定符號是本題的難點.

例2.(2012珠海，20，9分)觀察下列等式：

12×231=132×21，13×341=143×31，

23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……

以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”。

(1)根據上述各式反映的規律填空，使式子稱為“數字對稱等式”：

①52×=×25;②×396=693×.

(2)設這類等式左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，且2≤a≤9，寫出表示 “數字對稱等式”一般規律的式子(含a、b)，并證明.

【探析】觀察上面的等式,發現“數字對稱等式”基本特征,猜想并證明表示“數字對稱等式”一般規律的式子.

【答案】(1)①275,572;②63,36;

(2)(10a+b)=(10b+a)

證明:∵左邊=(10a+b)=11(10a+b)(10b+a)；右邊=(10b+a)=11 (10a+b)(10b+a)；∴左邊=右邊,原等式成立.

【點評】本是規律探索題.考查學生閱讀理解,觀察發現,推理證明的學習能力.

(二)存在探索型例析

例3.（2012湖北省恩施市，題號24分值12）已知拋物線y=-+ bx+c與一直線相交于A（-1,0），C（2,3）兩點，與y軸交與點N。其頂點為D。

（1）求拋物線及直線A、C的函數關系式；（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線對稱軸與直線AC相交于點B以B、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若點P是該拋物線上位于直線AC上方的一動點，求△APC面積的最大值

【探析】（1）直接將A、C兩點的坐標代入y=-+bx+c和y=kx+b即可。

（2）本題實質是在直線x=3上找一點M使MN+MD的值最小。作N關于x=3的對稱點，連接DN1，求直線DN1和x=3的交點可得m的值；

（3）BD、EF是平行四邊形的鄰邊，分點E在線段AC和線段AC（或CA）延長線上兩種可能來考慮。BD長可求，EF=BD，點F和點E橫坐標相同，點F縱坐標等于點E縱坐標加（或減）BD長度，設點E（x,y），則點F坐標（x,y+3）,代入拋物線表達式可求解；

（4）作CQ⊥x軸于Q，作PG⊥x軸，交AC于H，則點H和點P橫坐標相同，設二者橫坐標為x，根據直線與拋物線表達式可用分別表示出相應縱坐標，進而用x表示PH的長度，根據△PAC面積等于PH×AQ（AQ為定值）可討論其最值。

【點評】本題是存在性探索性問題，在解決這一類存在性探索問題時主要應注意：首先假定這個數學對象已經存在，根據數形結合的思想，將其構造出來；然后再根據已知條件與有關性質一步步地進行探索，如果探索出與條件相符的結果，就肯定存在，否則不存在，探索過程就是理由.本題主要考查了用待定系數法求解析式、勾股定理、解方程組等，用到的數學數學有函數思想、方程思想、數形結合思想、對稱思想、分類討論思想等，題目綜合性強、難度大，但是考查的知識面較廣，是一個區分度很大題目。

（三）結論探索型例析

例4.（2011黑龍江龍東五市3分）在銳角△ABC中，∠BAC= 60°，BN、CM為高，P為BC的中點，連接MN、MP、NP，則結論：①NP= MP ②當∠ABC=60°時，MN∥BC ③BN=2AN④AN∶AB= AM∶AC，一定正確的有()

A、1個B、2個C、3個D、4個

【答案】C。

【考點】直角三角形斜邊上的中線的性質，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定與和性質，平行的判定，銳角三角函數的定義。

【分析】①由BN、CM為高，P為BC的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得NP=MP。故①正確。

②由BN、CM為高與∠A是公共角，易證△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°與∠ABC=60°，可得△ABC是等邊三角形，則得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC。故②正確。

③若BN=2AN，需∠ABN=30°=∠ABC，這個條件已知沒有，故③錯誤。

④由②△AMN∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例的性質，即可證得AN：AB=AM：AC。故④正確。

綜上所述，一定正確的有3個：①②④。故選C。

由上可知，探索型問題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度，所以要求師生在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.

孫臻（1972-），男，甘肅省平涼市靜寧縣三合中學一級教師，研究方向：數學教法和學法。