探討圓錐曲線上兩點關(guān)于直線對稱一類問題的解法

朱遠程

【摘 要】在平面解析幾何中，直線與圓錐曲線相交弦的中點問題是平面解析幾何中的重點問題、綜合性問題，有一定的難度。尤其是圓錐曲線上兩點關(guān)于某直線對稱求參量的取值范圍時，解題過程冗長，丟分現(xiàn)象普遍。本文在點差法的基礎(chǔ)上，尋求有關(guān)弦中點的軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍的方法

【關(guān)鍵詞】弦中點；直線；對稱

在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，常出現(xiàn)這樣一類問題：圓錐曲線上存在兩點A，B關(guān)于直線l對稱求參數(shù)范圍的問題。對于此類問題關(guān)鍵是抓住點A，B關(guān)于直線l對稱，對稱中體現(xiàn)的兩要點：垂直（斜率之積為-1或k1，k2中一個為0，一個不存在）和線段AB的中點M在直線l上。下面以具體例題對這類問題的解法進行探討，并提出個人的看法。

例1：已知橢圓C： ，確定m的取值范圍，使C上有不同的兩點A、B關(guān)于直線l：y=4x+m對稱。

解法一：

（1）思路分析：由于直線AB與圓錐曲線交于兩點AB，所以直線AB方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，得一元二次方程，由△>0求參數(shù)的范圍。

（2）解題步驟：

設(shè)存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線l對稱，中點為M（x0，y0）

則AB所在直線為 ，與橢圓方程聯(lián)立

由上可知：

當-

解法二：

（1）思路分析：由于中點M為相交弦AB的中點，所以可用點差法，求出參數(shù)與中點的關(guān)系，又中點M在對稱直線l上，故可用參數(shù)表示中點的坐標代入不等式（根據(jù)弦中點位置），求出參數(shù)的范圍。

（2）解題步驟：

設(shè)存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線l對稱，中點為M（x0，y0）

則

當-

第一種解法是用韋達定理，計算復(fù)雜；第二種解法用點差法，找出了弦斜率用弦中點的關(guān)系，計算巧妙，但對于雙曲線來說，根據(jù)弦的中點位置及對應(yīng)范圍求出參數(shù)取值范圍計算難度較大，題目丟分現(xiàn)象比較普遍。

通過教學實踐，這類問題不僅可以用上面兩種方法解答，也可以在解法二點差法的基礎(chǔ)上，設(shè)想尋求有關(guān)弦中點的軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍。

解法三：

解：設(shè)存在A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線l對稱，AB中點M（x0，y0）

根據(jù)點差法（同解法二）

得 y0 = 6x0

于是以 為斜率的平行弦的中點軌跡是直線y=6x在橢圓內(nèi)部的一段，不包括端點。

與 聯(lián)立方程組得兩交點A1（ ），B1（ ），

問題轉(zhuǎn)化為l與線段 ， 有交點問題。

由圖形可知，當l過A1點時，m最大值為 ，當l過B1點時，m最小值為 - ，

例1的解法三提供了一種解決此類問題的新思路，從圖形上可以直觀地看出結(jié)果，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。那么此種想法是否適合其它曲線呢？

例2：曲線C：x-y2-2y=0上存在關(guān)于直線l：y=x+m對稱兩點A、B，求m的取值范圍。

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0）

則有 （1）

（2）

于是以-1為斜率的平行弦的中點軌跡為直線 在拋物線內(nèi)部的一條射線，不包括端點。

將 代入拋物線方程得交點P（ ， ），

問題轉(zhuǎn)化為l與射線 有交點。

將P點坐標代入l方程得 ，由圖形知，m取值范圍為

例3：曲線C： 上存在關(guān)于l： 對稱的兩點A、B，求k的范圍。

解：當k=0時，l為x軸，由雙曲線對稱性知 k=0不符合題意，

當 時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0） ，

將A、B坐標代入雙曲線方程得

以 為斜率的弦中點軌跡方程為x = -2，直線x=-2與雙曲線、漸近線交于點A1，B1，C1，D1，由雙曲線對稱性可以看出，以 為斜率的弦中點軌跡應(yīng)是線段B1C1和以A1，D1為端點的兩條射線（在x=-2上），顯然l過定點C（- 4 ，0）

由圖知， 時，l與弦中點軌跡有交點，即C上存在兩點A、B關(guān)于l對稱。

所以

由例2，例3可以看出，在點差法的基礎(chǔ)上，尋求有關(guān)弦中點的軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍的方法對圓錐曲線是適用的。

參考文獻：

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