大膽猜測，巧妙構建

張麗軍

【摘 要】函數是高中數學的重要內容之一，在高考中占有很大的比重。而自從浙江高考將導數放入選修模塊之后，函數的命題方向轉向了含參的二次函數及絕對值的綜合題型，這類題變量多，分類討論繁，成了好多學生無法攻克的難關。

【關鍵詞】含參；二次函數；絕對值不等式

函數是高中數學的重要內容之一，在高考中占有很大的比重。而自從浙江高考將導數放入選修模塊之后，函數的命題方向轉向了含參的二次函數及絕對值的綜合題型，這類題變量多，分類討論繁，成了好多學生無法攻克的難關，而有些時候絕對值不等式能夠很巧妙的解決這類問題。下面筆者將這類題型加以整理，供大家參考。

絕對值不等式：

（當且僅當 時左邊“=”成立， 時右邊“=”成立）

例1.（2015年浙江理科卷）已知函數 記 是 在區間 上的最大值.

（1）證明：當 時， ；

（2）當a，b滿足M（a，b）

≤2時，求 的最大值.

解析：本題第（1）問是證明含絕對值的最值問題，所以可以用絕對值不等式證明

（1）證明如下： 的對稱軸 滿足

在 上單調

兩式相加得：

例2.（金麗衢十二校2015學年高三第二次聯考）設 ，若對于 都成立，則

解析：本題可先將 換元成二次函數，轉化為含絕對值的二次函數的最值問題。難點在于有兩個變量，討論繁瑣。那么對于填空題，我們可不可以大膽猜測一下，是不是存在一個特殊情況，使得不等式成立呢？

解：令 ，則 可化為

原問題即可轉化為 都成立

粗解： 是開口向上的二次函數， 不妨令 ，可得

此法雖然可以得出 的值，但是沒有說服力，那么如何給出正解呢？仔細思考上面給出答案的方法，可以發現只需將三個位置代入，利用絕對值不等式即可.

正解：由題意，有 ，

由 可得 ，由 可得

例3.已知函數 ，設函數 在區間 上的最大值為 .

若 ，求 的值；

若 對任意的 恒成立，試求 的最大值.

解析：本題的第（2）小題即求 在 上最大值中的最小值，

可以考慮區間端點和中點，然后運用絕對值不等式求出最值

解（2）：由題意： ，

，當且僅當 ，即 時取到“=”，

即

點評：通過對上述3個例子的求解，我們可以發現一個規律，求函數 在定區間 的最大值 ，則 有一個最小值，當且僅當 時取到最值。方法如下：

因為 ，所以

所以

思考：若二次函數含三個參數時，還能否用到上述方法呢？

例4.設 ，對任意滿足 的實數 ，都有 ，則 的最大可能值為 .

粗解：設 ，可令 ，得 ，

，所以 的最大可能值為3

正解：由題意： ，

所以 即 的最大可能值為3

通過上述例子，我們可以發現，對于含參及絕對值的二次函數的最值問題，一般可以先考慮區間的端點及區間中點，然后借助絕對值不等式，合理配湊，得到所求的最優解。