非線性規劃法在企業營銷中的運用

李璐艷 付瑞元

摘 要：采用非線性規劃法解決企業生產、銷售中的最佳方案問題。結合公司最大需求和最大生產能力，列出約束條件，運用Lingo軟件進行求解，進而得到公司利潤最大化下的最佳生產、銷售方案，為中小企業制訂科學的生產、銷售計劃提供一定的參考。

關鍵詞：非線性規劃；企業營銷；Lingo

中圖分類號：F274 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2016）04-0059-02

一、非線性規劃數學模型

對實際非線性規劃問題做定量分析，首先要選定適當的目標變量和決策變量，并建立起目標變量與決策變量之間的函數關系，即目標函數，并建立約束條件。非線性規劃問題的一般數學模型可表述為求未知量x1，x2...，xn，使滿足約束條件：

gi（x1，...，xn）≥0，i=1，...，m

hj（x1，...，xn）=0，j=1，...，p

并使目標函數f（x1，...，xn）達到最小值（或最大值）。其中gi（x1，...，xn）和hj（x1，...，xn）均是定義在n維向量空間Rn上的某子集D（定義域）上的實值函數，且f（x1，...，xn）、gi（x1，...，xn）、hj（x1，...，xn）中至少有一個是非線性函數。記x=（x1，...，xn），則上述模型可以簡記為：

minf（x）或maxf（x）

s.t.gi（x）≥0，i=1，...，mhj（x）=0，j=1，...，p

定義域D中滿足約束條件的點稱為問題的可行解，全體可行解所組成的集合稱為問題的可行集。對于一個可行解x*，如果存在x*的一個領域，使目標函數在x*處的函數值f（x*）不大于（或不小于）該領域中任何其他可行解處的函數值，則稱x*為問題的局部最優解，如果f（x*）不大于（或不小于）一切可行解處的目標函數值，則稱x*為該模型的整體最優解。

二、應用舉例

（一）案例介紹

宏宇電器公司計劃生產三類10種小家電，其中包括：熱水壺（1.5升、1.8升、2升）、豆漿機（0.9升、1.1升、1.3升）、電飯煲（2升、2.5升、3升、3.5升）。三類小家電的年最大生產能力分別為：熱水壺5萬個、豆漿機6.5萬個、電飯煲6.2萬個。制定使公司利潤最大的的生產、銷售方案（數據來源：2010年東北三省數學建模聯賽A題）。

（二）案例求解

公司的收入和支出來自計劃內銷售和計劃外銷售兩部分，公司所承擔的計劃內成本應該根據計劃內的產品數量占總產品數量的比值確定，即：

公司承擔的生產成本=總成本×

公司利潤的表達式：

公司總利潤=已簽約合同的銷售額+意向簽約合同的銷售額+計劃外營銷部上繳利潤-計劃內成本-經費

第1種小家電的銷售額與訂購量的函數關系為：

f1（x）=-0.26713x2+11.418x+1.3873

同理可以得到，第2至10種家電銷售額與其訂購量的函數關系。記fi（x）為第i種小家電的銷售額，i=1，2，...，10，x代表訂購量。

同理，記gi（y）為計劃外銷售第i種小家電營銷部向企業繳納的利潤，i=1，2，...，10，y代表銷售量；記mi（z）為第種小家電的經費，i=1，2，...，10，z代表產量；記ni（y）為第種小家電的經費，i=1，2，...，10，y代表銷售量；記ni（y）為第i種小家電的經費，i=1，2，...，10，y代表產量。

1.每個產品的訂購量不能超過客戶的最大意向簽約量。xij≤Mij，其中xij代表第j個顧客對第i種小家電的訂購量，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，Mij代表第j個客戶對第i種產品的最大簽約量。

2.計劃外產品的訂購量不能超過其最大可能訂購量。xi6≤Ni6，其中xi6代表計劃外的第i種小家電的訂購量，i=1，2，...，10，Ni6代表計劃外第i種產品的最大可能訂購量。

3.所有產品的訂購量均不能為負數。xij≥0，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，6。

4.各類產品的訂購量不能與超過其最大生產能力。∑3 i=1∑6 j=1xij≤12，∑6 i=4∑6 j=1xij≤20，∑3 i=7∑6 j=1xij≤19。

運用Lingo軟件得到最大值t=697.33萬元，目標函數取得最大值時的各變量取值。為使公司利潤達到最大時的生產方案為：1至10種小家電分別對應的生產數量（千件）為：11.59、24.54、13.87、14、29、20、12、24.3、14.3、8.4。

相應的銷售方案（如上表所示）。

本文表明，非線性規劃法能夠有效地解決企業經營中的生產、銷售方案問題，這是一種定量的科學的決策方法，對中小型企業具有特殊的適用價值。