動態審題：數學思維的簡化、質化與活化

陶士梅+王聿松

摘 要：任何復雜繁難的題目都是由簡單類型組合而成的，如何能“把深奧的問題淺顯化”“把表面的問題本質化”“把單一的問題多樣化”是解決問題的第一步。“動態審題”即通過動筆圈畫、語言轉譯和聯想拓展可以有效幫助學生化繁為簡、透過現象看本質、推一及三，助推思維的簡化、質化與活化。

關鍵詞：動態審題;動筆圈畫;語言轉譯;聯想拓展

請看兩道題目：

題目一：“甲、乙兩人騎車分別從東、西兩村同時出發相向而行，相遇時距中點2.4千米。已知甲的速度是乙的2倍，那么東、西兩村相距多少千米？”

題目二：“快、慢兩車分別長150米和200米，相向行駛在平直的軌道上。若快車上的人看見慢車駛過窗口的時間是8秒，那么慢車上的人看見快車駛過窗口的時間是多少秒？”

以上題目，學生如果只是按照常規的審題方式，基本找不到頭緒，因為沒有清晰的數量關系，信息要么少而簡單要么多而繁雜，但是看起來都和問題之間沒有關系。如何能從這些貌似“無厘頭”的題目中找到突破口，把復雜繁難的題目變成簡易題型是審題的重要任務。

一、動態審題的內涵

眾所周知“審題”就是對題目的含義進行分析和研究，正確地理解題意，明確題目要求，從而確定答題方式。其中的關鍵詞是“分析和研究”。可事實上很多小學生在審題時經常只是單一地讀、用眼睛瀏覽、靠想象來整理信息，如果有思路就下筆，沒有思路就放棄，尤其是面對稍微復雜一點的“變式”題目只會望而卻步，根本不會分析和研究。事實上，任何復雜繁難的問題都是由若干個簡單問題組合而成的，如何能讓學生學會“把深奧的問題淺顯化”“把現象的問題本質化”“把單一的題目類型化”是審題的重要任務。

動態審題其本質就是綜合調動學生的眼、口、手、腦等多種器官的參與，通過動態作圖、動態轉譯和動態聯想把數學信息明朗化、數學語言簡易化、單一題型多樣化，從而降低題目難度，實現簡易解題。這里的“動態”有三層意思：一是讓學生在審題的時候能夠協調眼、手、腦的綜合參與，通過圈畫找出問題的關鍵點，或者通過畫線段圖、示意圖把暗藏的數量關系清晰明朗，從而找到解決問題的突破口;二是讓學生在審題的時候能夠聯動自己已有的知識體系，通過數學語言的相互轉譯達到通過表面透視到問題的本質，從而撥開一些外在的信息干擾直擊問題核心;三是讓學生在審題的時候不拘泥于單一的題目，能靈動地進行思維類比、聯想和輻射，從而清晰地把握住與此相關或者相似題目的聯系或區別，或者以此為點的知識結構的建構。

二、一般審題與動態審題的關聯

一般審題的主要表征就是用眼睛看，靠想象來整理信息，往往只見樹木不見森林，當單一、靜態的審題方式遇到數量關系隱蔽或者信息稍復雜的時候就會束手無策。動態審題強調的是多感官的綜合參與，強調通過畫圖、轉譯、聯想等方式對信息進行梳理、透視和輻射，從而實現沒有頭緒中找到突破、繁難題目實現簡易轉化、窺一斑而知全豹的目的。

1. 一般審題重在動眼，動態審題基于動手

審題是一個對題目中的有用信息進行輸入、處理，然后輸出的復雜過程。但是因為一般題目的數量關系都清楚簡單，學生用眼睛閱讀后就可以直接把問題解決掉，所以很多學生養成了“看題目”的審題方式。但是隨著知識的增多，題目的變化越來越復雜，“看題目”的方式只能讓更多的學生無所適從，當面臨稍微復雜的題目時經常出現不嘗輒止、過早否定自己的消極態度。

筆者帶著一道略微復雜的題目對本校六年級（4個班，共235名學生）進行了兩次調查（在學生剛剛學完圓柱體積計算之后）和一次訪談，情況如下：

第一次：“把一個正方體削成一個體積最大的圓柱，圓柱體積是正方體體積的幾分之幾？”（教師沒有任何要求和提示）

在第一次沒有動筆畫圖但是也做對的學生當中，當問及為什么不畫圖也能做對呢？他們回答說在腦子中畫圖的，這部分人屬于抽象思維特別出色的，但是因為其抽象思維并不成熟，所以導致正確率并不高。

第二次：教師強制要求130人都動筆畫圖，然后再對答案，結果如下：

經過這樣反復比較，教師進行了第三次調查。此次調查采取訪談形式。

師：一開始覺得題目難度怎么樣？后來呢？

生：一開始覺得題目不好做，不知道該怎么下手。后來畫圖之后覺得原來挺簡單的。

師：以后面對看起來不好處理的問題時，你想怎么應對？

生：畫圖。

2. 一般審題著眼形式，動態審題注重本質

在剛學了乘法分配律a×c+b×c=（a+b）×c之后，練習中出現了如99×78+78這樣的題目大多數學生就迷糊了。他們不知道此形式與彼形式之間本質的聯系：都表示兩個數分別與同一個數相乘再相加，相當于把兩個數先相加再同這個數相乘。一般的審題只看到形式，看不到形式背后的本質。數學書上的陳述一般都是一種嚴密的學術形態，只有少數優秀的學生能夠跨過“抽象”的門檻，嚴格地按照形式化的敘述把握數學本質含義。但是對于大多數學生來說，我們需要學會把數學敘述轉譯成“非形式化”的語言去理解，或者把數學敘述轉譯成圖象去探索，又或者轉譯成數學符號去把握等，這樣才能幫助我們探尋到現象背后的本質，對解決問題有曲徑通幽、直擊核心的效果。比如本題如果轉化成這樣的敘述，問題就迎刃而解了——“99個78加上1個78就是100個78，所以99×78+78=100×78”。

3. 一般審題旨在就題論題，動態審題強化舉一反三

數學知識之間都是互相關聯的，比如學生們學會了加法運算律的那套方法可以遷移到乘法運算律中運用，學習了長方形的周長、面積計算后，發現它可以同樣運用到平行四邊形和梯形中，這種遷移運用給學生帶來巨大的成功體驗，能充分體會到數學學習的樂趣。做題更是一種遷移學習活動，是否能舉一反三、推一及百是數學素養高低的重要體現。

一般人在練習“把一個正方體削成一個體積最大的圓柱，圓柱體積是正方體體積的幾分之幾？”時做完就完了。但是如果能展開聯想：“把一個正方體削成一個體積最大的圓錐，圓錐的體積是正方體的幾分之幾？”或者“把一個長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體削成一個體積最大的圓柱體，圓柱體的體積是多少？”通過這樣一聯想，就可以把長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等物體的體積以及相互之間的關系做個梳理。推一及三的做題方式可以有效促進知識由點及面，思維由點及面。

三、動態審題的實踐路徑

數學題目客觀上是靜態的，動態審題就是通過主觀上的動手和動腦讓靜態的文字變得簡潔、豐富。動態審題以主動、聯動與靈動的特點可以有效地幫助學生在圈畫、轉譯和聯想中找準突破口，抓住本質核心，舉一反三，從而助推思維的簡化、質化與活化。

（一）動筆圈畫——簡化思維

審題本身是一種隱性的思維過程，無法顯現和量化。正因為如此，很多孩子把本該三步思考的過程懶惰地減縮為兩步或一步，從而導致信息零散缺乏聯系，無法順利解決問題。無論是線段圖還是實物圖，其實都是用可以看得見的方式強制性地把數學信息進行梳理和顯現的過程。在動筆圈畫的過程中，一些隱蔽的信息也能明朗起來，思路逐漸清晰。

1. 線段圖——化隱為顯

“線段圖”具有直觀形象的特點，是學生進行抽象思維的“拐棍”。尤其對一些較復雜的問題，通過線段圖把重要信息進行梳理，使學生清楚地從圖上看到一些隱含的數量關系，從而獲取新的信息和解題線索，找到突破口。

比如：甲、乙兩人騎車分別從東、西兩村同時出發相向而行，相遇時距中點2.4千米。已知甲的速度是乙的2倍，那么東、西兩村相距多少千米？

（甲的速度是乙的2倍，同樣時間內說明路程就是乙的2倍）

從圖1中可以看出，甲的路程比中點多2.4千米，乙的路程比中點少2.4千米，所以甲比乙多2.4×2=4.8千米;又因為甲的路程是乙的路程的2倍，即比乙多1倍，所以 4.8千米就是一倍的路程，所以全程就是4.8×3=14.4千米，線段圖立刻使隱含的數量關系明朗起來。

2.示意圖——化抽象為形象

小學生心理正處于具體形象思維階段，學生的數學學習更多地依賴于實物或圖形等直觀材料的支持。實物圖或示意圖可以將許多抽象的數學概念、算理、數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。因此，巧妙合理地運用實物圖或示意圖這種簡便易行的教學方式，有助于學生思路的開啟。

比如“有一桶油，連油帶桶一共重18千克，倒掉一半的油以后，連油帶桶一共重10千克，油重多少千克？桶重多少千克？”

這種也屬于非普通數量關系的題目，一般人找不到頭緒。可是如果畫出實物圖一比較，就會豁然開朗。

面對這種圖（如圖2），通過一比較，自然就能發現問題：剛剛有18千克，現在怎么只有10千克了？說明少的8千克就是倒掉的一半的油，18-10=8千克，8×2=16千克。

（二）語言轉譯——質化思維

數學問題一般都是正規的嚴密敘述，對于小學生來說，其高度的簡潔和抽象很容易讓人感覺無從下手。但是如果能把靜態的數學語言動態地轉譯為通俗易懂（自然語言）、濃縮概括（符號語言）、簡潔直觀（圖形語言）等其他的表達方式，就能幫助學生很好地把握住問題的本質。

1. 類比化轉譯——去現象為本質

有些問題的情境離學生生活實際比較遠，如果類比成熟悉簡易的情境，立刻就能凸顯出本質;有些問題是動態變化的，類比成靜止的就更容易入手。

比如火車相遇問題：“快、慢兩車分別長150米和200米，相向行駛在平直的軌道上，若快車的速度是30米/秒，慢車的速度是20米/秒，兩車從相遇到相離需要幾秒鐘？”這道題最大的障礙是：火車本身有長度，而且兩輛車都是動態的，這給問題的解決帶來很大難度。

如果采用類比的策略，把兩輛車類比成兩個人的話，當兩車頭相遇時（如圖3），車尾的兩個人的位置就會如圖3中的△，當兩車車尾相離時，兩個人會在中間重合（就是相遇）。這道題可以轉譯成“甲、乙兩人從兩地相向而行，兩地相距150米加200米，甲速是30米/秒，乙速是20米/秒，兩人要幾秒鐘相遇？”經過這樣類比就變成了一般的相遇情境，問題迎刃而解。

2. 符號化轉譯——去繁難為簡易

數學符號化，是數學形式化的基礎。符號語言以其獨有的精確、簡約、便于推理和運算，對數學問題的解決有重大作用。在解決問題的過程中，如果能靈活地把數學語言轉譯成符號語言，對解決問題有化繁為簡的突出效果。

比如“一個素數的3倍和另一個素數的2倍之和是100，這兩個素數的乘積是多少？”從數學語言文字的表面找不到什么突破，如果把這道題轉譯成字母式就會豁然開朗了。假設第一個素數為a，第二個素數為b，可以列式為3a+2b=100，因為100是偶數，2b肯定也是偶數，所以3a也是偶數，3跟一個素數的乘積是偶數，這個偶數只能是2了，第一個素數是2，后面一切都水到渠成。

四、結語

在審題時，我們不僅需要讀懂題目中的文字敘述，更要理解敘述中所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質。動態審題是讀懂、理解和領悟的利器，不僅是一種習慣，更是一種學習能力，需要教師們持之以恒地培養和訓練。