從一道小學數學競賽試題的解答談起

馮翠華　伍建軍

【摘 要】 本文對一個小學數學競賽問題進行了解題研究和信息技術背景下的解題探索，對于努力了解這類問題的解法的同行以及研究人員，比較有參考價值。使用信息技術進行數學解題，是我們地區比較缺乏的意識與思想。希望本文的寫作，能對數學解題以及信息技術背景下的數學教學，起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】 解題；信息技術；編程

【中圖分類號】 G63.22 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）25-0-02

1.問題的提出以及解決

在一次會議期間，有位老師拿了一道數學問題過來求解，是她五年級兒子的小學數學競賽試題。看到這個問題后，覺得這個問題是一個有一定挑戰性的問題，而且該問題可以借助計算機技術求解，是一個比較有意思的一個數學問題。經過深入思考，撰寫成文。

問題：若1□□□□-1=1□□□□，其中每個方格可以填0～9中的一個數字，問有多少種填法？

解答：依題意，設前四個方格表示的四位數為x，后四個方格表示的四位數為y，則題目條件變為

設，則y的值由m的值唯一確定。由于x為正整數，故m必須能被整除，即m為2015的約數。因為，，所以m是由5，13，31這三個數字選取若干個（每個數字最多重復選取2個）組成的乘積。

令，解得，所以。

至此，這個問題的解答算是完成了，因為涉及到問題的講解方法以及信息技術的使用的可能性。為了幫助學生講解好這個問題，我們對解題的細節和如何利用信息技術解決該問題作進一步探究。

2.問題解決細節的進一步研究

探究問題一 如何確定403的質因數分解？

我們知道，像，等自然數的分解是很簡單的，但是對于403就不那么容易。方法是從小到大逐一用質因數檢驗。對于3，5，11這些數是否是某個數的質因數，很容易檢驗的，其他的質數我們也可以用除法進行驗算。那么，我們又怎么知道403是不是質數，用質數去除的時候，算到那個質數為止？答案是算到為止。事實上，對任何一個自然數c，假如，那么。

所以，對于任何自然數c，如果用以下的質數都進行了檢驗，沒有c的質因數，那么c必定是素數！

探究問題二 如果允許x，y取任何正整數，滿足條件的x，y又有多少組？

從來看，y的值越大，x的值也越大，x的值由y的值唯一確定。所以解的組數就是滿足條件y的值的個數。由于y的最小正數為1，而且，所以2016m=2015+y。由前面分析可以知道，m必定是的約數。對任何一個自然數K，如果，那么K的正約數的個數為，這可以由高中的乘法計數原理證明。

3.信息技術在解決此問題中的應用

從前面解題過程可以看出，解法的關鍵是的變形，從而轉化為求的約數的問題。如果沒有這個變形，那么我們就只能從1000到10000逐一試驗了，這大約要算9000個數。用人工來算，這是一件繁雜的事情，但是對計算機來說，這只是小菜一碟。因此我們考慮編寫程序來求解。

探究問題三 設計一個算法以及編寫程序，求方程的大于999且小于10000的整數解。

從運行結果可以看到，在兩種情況下，都與我們前面推演結果相同，至此，第一次程序設計中存在的問題的原因找到了：在求余運算的時候，被除數不能含有變量，否則可能會導致運行結果出錯。代數變形“”不僅在人工求解的推演過程中起到關鍵作用，而且在應用basic編程語言進行計算機對此問題求解時，也是不可或缺的一個變形步驟。

4.關于教學選題講題的的技巧、方法以及信息技術在數學中的應用的思考

英國數學家，數學教育家哈爾莫斯曾指出，數學的核心是問題和解。我們學習數學，最主要的目的學習怎樣解題。通過數學解題的訓練，掌握思維的表達形式以及如何思考問題的途徑和方法。作為一名數學教師，其平時的最基本的工作就是解題和講題。一個老師要學會講題，首先就是能自己解題，否則我們根本不了解解決問題的具體的思維過程，我們的講解思路就生硬難懂。

在解答完成后，該教師告訴我，這個問題是她小孩的數學競賽老師在網上看到的一個數學問題，該輔導教師自己也不會解，就拿給了她小孩來做，看看她小孩能否解答出來。通過這個問題，我個人談談教師對選題和講題的方法，以及信息技術在教學與科研中的一些感想。

（1）根據奧蘇泊爾的教學認知論，教學要有效果，我們必須知道學生已經掌握了哪些知識，也就是教師必須要了解學生的知識最近發展區，從而站在學生的角度教會學生學習新的知識。通過前面的解題分析以及探究，我們不難看出，要講解好這個問題，首先要保證學生至少要掌握一些必要的小學數論、初中的二元一次方程以及代數變形的知識，如果學生沒有這些基礎知識作儲備，我們的講解學生根本就聽不明白和理解，我們的講解是也就幾乎沒有任何效果。我不知道某些小學奧數教師對這個問題是否有其它巧解的特法，即使我們教師有該問題的特別解法，如果我們為了僅僅為了學生在數學競賽時的獲得更好成績，將一些特別解法法硬塞給學生，并且讓學生們記住了某個解題方法。但是如果該解法不具備一般性的話，這對于提高學生的知識水平和能力，對于我們的數學教學以及數學教育，又有何價值和意義？

（2）如果一個所教教師都不懂，都不會解的題目，我們有必要將這些問題拿給學生解嗎？如果只是一個兩個問題，可能影響還不是很大。我們不排除個別數學問題，教師不會解，但是學生解決了。事實上歷史上的杰出數學家，他們往往解出了人類在他們那個時代還沒有解決的數學問題。問題是，天才是極個別的，如果我們在教學過程中，經常給學生解他們并不具備解決該問題的知識和能力的數學問題，不按照學生的認知規律教學，久而久之，勢必會挫傷學生學習數學的自信心和積極性。

（3）F.克萊恩認為，教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導學生繞過懸崖，渡過險灘。作為一名培優教師，尤其是作為一名數學奧林匹克競賽培訓教師，更需要高強的數學知識水平和能力。因為很多時候，我們要講好一個數學問題，不僅要了解其所需要的知識以及其結構，更要了解其問題的來龍去脈和背景，了解其對學生學習數學的潛在價值和意義。只有這樣，我們才算把數學解題講好，把數學教好，讓數學真正的在培育人的過程中起到應有的作用。

（4）對于數學解題，很多教師還存在比較陳舊的思想和觀念，認為解題只能是使用人工推演的方法，沒有使用信息技術解決數學問題的思想和意識，不會主動學習和利用信息技術進行解題。事實上，該問題還可以使用mathmatica軟件求解如下：

高中數學教科書必修三里面已經有了“算法初步”一章，我們的很多教師卻把“算法初步”這一章里面的算法教成了程序框圖，考試考什么，他們就教什么，應試思想嚴重，不能站在培養學生的核心科學素養的更高的起點上去進行教學。

作為一名數學教師，我們應該具備廣闊的視野和時代緊迫感，主動學習一些新的信息技術知識，豐富我們的教學方法和手段。在中學教學中，比如《幾何畫板》、《超級畫板》、mathmatica等都是非常值得我們學習的軟件，它們對我們的教學與科研可以起到很大的幫助作用。除了與時共進的掌握新技術外，我們還需要了解一些基本的數學史，《古今數學思想》、《西方文化中的數學》這些是非常好的著作。如果我們了解了計算機在解決“四色問題”和“費馬爾猜想”中起到關鍵作用的歷史，我們在教授輾轉相除法時，我們就不會只是教會學生利用該法如何人工求最大公約數，而不教學生如何利用算法進一步編程來求任意兩個數的最大公約數方法，我們的教學將更鮮活與厚重。

面對新的教育形勢，我們要抓住機會，開拓進取，在教育教學教學活動中充分學習和利用新的技術和方法，只有這樣，我們的教育才真正的面向未來，面向現代化！

參考文獻：

[1]R.柯朗 H.羅賓著.左平，張飴慈譯.什么是數學[M].上海：復旦大學出版社，2011.12

[2]莫里斯.克萊恩著.張理京等譯.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，2014.1