用數學實驗解決數學問題

林淑晶　陳佩鳳

【摘 要】 如何讓學生記住數學概念，準確運用數學概念來解題一直是數學中的重要問題，數學實驗有助于加強學生對概念的理解和運用。闡述了如何用數學實驗解決解決對圓周角的理解和運用的問題。同時，利用5W2H分析法對這一教學案例進行分析，提出一些關于數學實驗的看法。

【關鍵詞】 初中數學；幾何教學；數學實驗；5W2H分析法

【中圖分類號】 G632.4 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）25-0-03

一、問題的提出

圓周角是初中數學非常重要的內容，圓周角定理及其推論對于角的計算，證明角相等，弧、弦相等，以及證明圓中三角形相似等數學問題提供了十分便捷的方法和思路"同樣，圓內角和圓外角的問題可以利用三角形的外角定理轉化為圓周角問題來解決！靈活運用圓周角的性質可以使許多問題變得簡單、直觀。但是在實際教學的過程中我們發現學生往往看似已經理解了圓周角的概念，也能把這一概念復述出來。但是在實際運用的過程中會出現：（1）不能準確的找出圓周角所對的弦；（2）找到了圓周角所對的弦，但是卻找不到同弦所對的圓周角。

究其原因，初中數學教學中，概念的獲得方式有兩種，一種是以概念的形成方式獲得，另一種是以概念的同化方式獲得。在圓周角的教學中由于數學認知結構比較簡單而具體，數學知識比較貧乏，因此大部分概念是以概念的形成方式進行教學的，也即直接告訴學生“圓周角就是頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交”。這樣會造成一個問題，就是學生被動地接受了一個概念，這個概念在他的腦中只是一個抽象的概念，沒能和他本身的知識體系和圓的圖像聯系在一起，所以當只有簡單的一個圓周角的時候，他能夠順利找出圓周角，但是當有幾個圓周角在一起的時候，他就比較迷惑了。

為了解決這個問題我們希望可以讓學生通過自己的觀察，動手，把這一個概念更好地內化，能夠準確地運用。

二、利用數學實驗解決圓周角問題的策略

1.什么是數學實驗

數學實驗與物理、化學實驗等同屬于科學實驗的范疇，本身具有科學實驗的特點。但由于學科性質的不同，數學實驗不同于一般的科學實驗。數學實驗是指按照數學思想發展的脈絡，創造問題情景，充分利用實踐手段、設計系列問題、增加輔助環節，在教學思維活動的參與下引導學生主動、積極、批判的思考，然后給出驗證和理論證明，從而使學生親歷數學建構，逐步把握認識事物、發展真理的方式方法，培養創造能力和科學研究意識，提高數學素養的一種數學探索活動。

在教學過程中采取以下的模式：

教師：精選實驗課題——設置問題情境——幫助、引導學生動手實驗——幫助學生形成結論

學生：實驗準備——觀察、動手操作——與同學和老師交談、探討——形成結論并論證

在整個過程中，教師的主導作用主要體現在把學生帶入問題情境后，有效地組織學生進行實驗、探索。而學生在自覺進入問題情境后，通過觀察、動手操作和實驗等實踐活動，去尋找事物間的聯系，學生是整個學習過程的主體。

2.利用數學實驗解決圓周角問題

根據數學實驗的思想，我們把圓周角概念的獲得變成幾個學生活動環節。

活動一、找出圓的圓心，引出圓周角

教師在上課時給每位學生發一個圓形的卡片，問：怎么才能知道這個圓的直徑？盡可能地找出不同的方法。

學生能通過對折找到圓心，教師繼續引導是否還有其他的方法，有學生能想到利用垂徑定理找出圓心，首先，隨意找出圓中一條弦，然后用圓規畫出這條弦的中垂線，重復操作兩次即可找到兩條中垂線的交點，此時，交點即為圓心。然后，老師利用三角板也能找圓心（演示，從而引入新課——圓周角）。

活動二、動手畫一畫，畫劣弧AB所對的圓周角∠ACB，并與同伴交流

從學生畫出的圓周角看，大部分學生都掌握了圓周角的概念，而第2個學生作品更揭示了一定的數學思想方法。

活動三、探索圓周角與圓心角的關系

1、量一量，上題中∠ACB和∠AOB的大小，你發現了什么？

我發現：∠ACB=_______；∠AOB=_______；

2、所對的圓周角∠ACB與圓心角∠AOB有哪幾種位置關系？

利用幾何畫板演示圓周角與圓心角大小關系，學生觀察圓心都落在圓周角的什么位置？

師：在這個動態演示過程中，你們發現圓心在圓周角的什么地方？它們可以分為多少類？

3、所對的圓周角∠ACB與圓心角∠AOB有哪幾種位置關系？

利用幾何畫板演示圓周角與圓心角大小關系，學生觀察圓心都落在圓周角的什么位置？

在這個動態演示過程中，你們發現圓心在圓周角的什么地方？它們可以分為多少類？

我們歸納如下：

4、你可以證明上述你測量的結論嗎？試試看

已知：⊙O中，∠AOB為圓心角，∠ACB為圓周角

求證：∠ACB=1/2∠AOB

第二類、第三類能轉化為第一類嗎？

通過以上三個活動，讓學生以概念的同化方式獲得圓周角的概念，引導學生對同類事物中若干不同例子進行感知、分析、比較、抽象，以歸納出圓周角概念的本質屬性，從而獲得圓周角的概念。同時，通過活動二和三讓學生能更好地理解圓周角的概念，同時能讓學生更好地理解同弦所對的圓周角的概念，更容易找出同弦所對的圓周角。

三、實施的效果與改進

經過這節的教學后，我們利用5W2H分析法對本節課的教學進行評價。

1.5W2H分析法

“5Why”是指“5個為什么”分析，也被稱作為什么——為什么分析，是一種探索問題原因的方法。圍繞一個問題連續發問5次，直到找到問題的真正的根源。5Why方法雖然簡單，卻包含了最先進的質量理念，它用簡單的方法傳遞全面的質量改進理念，是系統化、結構化的問題解決方法。

5W2H得名于其設問的七個方面的英語縮寫，即是誰（Who）、什么時候（When）、什么地點（Where）、什么原因（Why）、什么事情（What）、如何做（How）、花費多少（Howmuch）。

2.利用5W2H分析法對上述課例進行分析

Why：學生為什么會出現不能準確的找出圓周角所對的弦以及找到了圓周角所對的弦，但是卻找不到同弦所對的圓周角的問題。這與學生被動接受概念，而不能把概念內化有關。

What：利用數學實驗，設計三個活動環節，讓學生通過自己觀察、動手，對圓周角概念進行內化。

Where：教室。

When：上課時間。

Who：教師的主導作用主要體現在把學生帶入問題情境后，有效地組織學生進行實驗、探索。而學生在自覺進入問題情境后，通過觀察、動手操作和實驗等實踐活動，去尋找事物間的聯系，學生是整個學習過程的主體。

How：通過活動二，能讓學生通過自己動手去了解同弧所對的圓周角的概念，在找圓周角的過程中對概念完成內化。通過活動三能對圓周角和圓心角的關系有一個感性的認識，并且在這一過程中體會概念形成的過程，有利于學生理解和運用概念。在活動二中基本上都是以正面的結果出現的，但是在實施的過程中還是有學生出現認識的錯誤，導致沒有能正確地畫出圖形。

Howmuch：用一節課的時間對定理進行探究。這樣探究的時間可能還是用得比較多，但是學生能夠體會到概念形成的完整過程，雖然堂上的練習時間減少了。但是對于學生對數學方法的體會還是有好處的。

根據5W2H分析法本課例主要存在的問題是：（1）學生在畫同弧所對圓周角的時候出現問題；（2）探究過程中所花費的時間過多。

3.根據5W2H分析法對數學實驗進行改善

我們根據上述分析對本節課進行了一點改善，我們在課程實施的過程把形式改變為學生的小組合作。對于問題（1）在改變組織形式后從學生畫出的圓周角看，大部分學生都掌握了圓周角的概念，少部分學生還存在理解性的錯誤，但經過同伴的指正也能很好地掌握，第一個知識點全員過關。對于問題（2）在活動二的時候每個人的畫圖量可以減少，整個小組把各自的結果和在一起進行觀察。在活動三的證明過程中，同一個小組只要一部分同學把情況二變成情況一，其他人把情況三變成情況一，然后合起來一起討論，這樣整節課的時間就節省下來。

四、反思與收獲

1、運用“數學實驗”對學生的探究能力、創新能力及學科的學業成績都有較顯著的效果，產生如此效果的根本原因是把教學從傳統的條條框框及千篇一律的程式中解放出來。教師的教與學生的學都充分得到了發揮，思維活躍、開闊，個性表現全面而充分，這樣的教學是卓有成效的。這也從另一個方面說明，要使用這一模式，必須解放思想，勇于創新。

2、學生通過“數學實驗”的探究活動，不僅掌握了數學的概念，形成更為完善的認知結構，而且親歷了知識的生長，獲得了親身體驗和感悟，這樣有利于學生形成問題探究意識和善于質疑、大膽實踐，積極進取的精神。同時，培養了學生堅忍不拔、奮發有為的人格品質和不斷追求新知的科學態度。

3、教師在選擇探究問題或創設實驗條件時，需注意以下幾點：（1）實驗所涉及的知識與經驗必須是學生已經具有的，或者是他們的最近發展區，是學生跳一跳可以解決的問題。（2）問題或創設的實驗條件是可以得出結果的，而且是多種結論的，以利于學生思維的搜索與發散。（3）所確定的問題應與學生的日常生活密切聯系，具有現實的社會意義與價值，有利于培養學生的科學精神、態度與價值觀。

4、“數學實驗”培養了學生的探究能力。而探求學習能力的培養與學業成績是一致的，不相矛盾。從本研究來看，證明了這種看法。

5、本實驗的教學模式在學科教學的不同內容上有一定的差異性。在具體操作時一是需要對教學內容進行調整或再設計，二是對有些內容，我們不排除采用其他的教學方法和手段，學生的學習方法也要作相應的調整。“數學實驗”是培養學生探究學習能力的一種方法，同時，“數學實驗”教學模式決不意味著全面否定和拋棄常規教學。只是從比較來看，“數學實驗”對培養學生的探究能力比常規教學方法更直觀、更直接，常規教學需要更新，不是徹底拋棄。

參考文獻：

[1]全日制義務教育數學課程標準[M].人民教育出版社，2003：3

[2]邵光華，卞忠運.數學實驗的理論研究與實踐[J].課程·教材·教法，2007（3）

[3]曹一鳴.數學實驗教學模式探究[J].課程·教材·教法，2003（1）

[4]龐心宇.運用5WHY+5W2H分析法激發學生創新思維[J].科技創新導報，2014（18）