數(shù)學(xué)開放題教學(xué)之拙見

聶斌

【摘 要】 數(shù)學(xué)開放題現(xiàn)已發(fā)展為結(jié)論開放、條件開放、推理開放與問題本身開放幾大類。教師對(duì)開放題起了積極的推動(dòng)作用，促進(jìn)了課堂中的開放式教學(xué)。開放題的本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，核心是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)開放題；培養(yǎng)興趣；開放式教學(xué)

【中圖分類號(hào)】 G63.22 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 2095-3089（2016）25-00-02

數(shù)學(xué)開放題，不僅在開放題的理論研究上有所創(chuàng)建，而且還設(shè)計(jì)了許多典型的開放問題，如“水槽問題”，“子彈問題”，還有花圃設(shè)計(jì)問題和電活問題等。在我國，此項(xiàng)研究始于1984年，浙江教育學(xué)院戴再平教授對(duì)“給定一定條件研究所有結(jié)論的開放題”，作出了獨(dú)具中國特色的研究，并取得了我國“九.五”規(guī)劃的教育科研成果。隨著各國數(shù)學(xué)教育工作者，對(duì)數(shù)學(xué)開放題的認(rèn)識(shí)逐漸加深，現(xiàn)已發(fā)展為結(jié)論開放、條件開放、推理開放與問題本身開放幾大類。在第一屆東亞數(shù)學(xué)教育會(huì)議上，澳大利亞的阿·比詩霍布教授鑒于東方的數(shù)學(xué)教學(xué)基本上以教師為中心，以課本為中心，以課堂為中心，強(qiáng)調(diào)練習(xí)，注重考試，提倡“熱能生巧”，學(xué)生往往不求甚解，缺乏創(chuàng)造力，普遍負(fù)擔(dān)過重的狀況，建議東亞國家改革這些考試文化內(nèi)的試題。并且還舉出了5個(gè)例子：多于一個(gè)正確答案的問題；學(xué)生編制的問題；現(xiàn)實(shí)中的開放題；探究性問題；“公文包”式試題（類似于論文）。考試的目的不僅是看學(xué)生知道什么數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該體現(xiàn)廣泛的人生價(jià)值、教育價(jià)值、數(shù)學(xué)能力和意識(shí)。數(shù)學(xué)開放題就是為實(shí)現(xiàn)上述教育價(jià)值的一種形式。正因?yàn)殚_放題有著較好的功能。我國專家小組在1999年起草的《中國基礎(chǔ)教育課程改革指導(dǎo)綱要》中，指出“教科書是教學(xué)內(nèi)容的重要載體，應(yīng)體現(xiàn)……開放性”，應(yīng)“改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，增加課程的開放性”。教育部發(fā)布《關(guān)于2000年初中畢業(yè)，升學(xué)考試改革的指導(dǎo)意見》明確指出：“數(shù)學(xué)考試應(yīng)設(shè)計(jì)一定的……開放性問題”，表明我國教育領(lǐng)導(dǎo)部門肯定了數(shù)學(xué)開放題的作用和地位。中考中曾經(jīng)出現(xiàn)的鑲嵌問題，求24數(shù)問題等都屬于開放題，這就為教師學(xué)生對(duì)開放題的認(rèn)識(shí)起了積極的推動(dòng)作用，促進(jìn)了課堂中的開放式教學(xué)。

那么開放題有哪些明顯的特點(diǎn)呢？人教社中學(xué)數(shù)學(xué)室俞求是先生認(rèn)為，開放題的含義是：（l）問題的“結(jié)論”是在問題系統(tǒng)內(nèi)部相對(duì)于問題的“條件”而言的，不能與問題的“答案”概念混淆；問題的“答案”（解法）是相對(duì)于整個(gè)問題而言的；（2）對(duì)于問題的條件不作太多的限定，對(duì)問題的答案給以寬松的環(huán)境，但要求是多樣化的，豐富多彩的。就是說，答案是不唯一的問題稱為開放題，其顯著特征是：答案有多樣性（多層次性）。數(shù)學(xué)開放題是那些答案不唯一，并在設(shè)問方式上要求學(xué)行多方面，多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)習(xí)題。從上面對(duì)開放題進(jìn)行的描述定義中，這就使得開放題必須具有如下的幾個(gè)重要特點(diǎn)：

1.條件開放中含有不完備性

對(duì)于一個(gè)開放題的條件可以不足，也可以是有多余的，在條件不足時(shí)，要求學(xué)生予以補(bǔ)充條件多余時(shí)要求學(xué)生從中進(jìn)行選擇。

例1，現(xiàn)有含鹽4%的鹽水60kg，含鹽12%的鹽水500kg，另有足夠多的鹽和水，現(xiàn)要配成10%的鹽水600kg，問如何作配制？

例2，試從不同類型的方程中找出x=l為解的方程。

例3，在△ABC中，有兩條線段BD、CE，在什么條件下，就有BD=CE的結(jié)論。

以上幾例，都是在結(jié)論固定的情況下，讓學(xué)生研究、探索出條件的問題。在例l中，條件作選擇。在例2、例3中就是探討在一定條件下使結(jié)論成立的命題。

2.結(jié)論開放中含有不確定性、具有層次性

解答一般的數(shù)學(xué)開放題，在其解答上具有多樣性。解答的結(jié)論不是唯一的，這就決定出夠滿足各種層次水平的學(xué)生的需要和求知。使他們可以在自己的能力范圍內(nèi)解決問題。從而地體現(xiàn)出層次性，激發(fā)學(xué)生對(duì)解題的積極主動(dòng)地叁與解題活動(dòng)有較大的驅(qū)動(dòng)力。

例4，PA.PB是⊙○的切線，切點(diǎn)A、B，AC.BE是直徑，由以上條件，你能推出哪些并證明之。

例5，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線，你能得出哪些結(jié)論，并作出證明。

以上兩道題是僅給出了已知條件的開放題，這就要求學(xué)生用解同類問題的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理，想象、猜想出結(jié)論，層次不同的學(xué)生所得結(jié)論不相同。以上幾例，都可滿足不同的學(xué)生的需求，各種不同層次學(xué)生都可做出不同水平的解答。

3.問題的解決策略具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性

解答開放題時(shí)，往往沒有一般的解題模式可以遵循，有時(shí)需要打破原有的思維模式，從多個(gè)不同的角度思考問題，有時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的解答需要一種新的方法或開拓一個(gè)新的研究領(lǐng)域。

例6，試比較下列兩個(gè)幾何圖形的異同。

這兩個(gè)圖形的異同點(diǎn)可從多方面來挖掘。

它們的相同點(diǎn)：（1）同是多邊形。（2）都是正多邊形。（3）都有相等的邊。（4）都有相等的內(nèi)角。（5）都有一內(nèi)切圓和一外接圓。（6）各邊的中垂線交于一點(diǎn)，且與各角平分線的交點(diǎn)相重合。（7）都是軸對(duì)稱圖形。（8）各邊都是其內(nèi)切圓半徑或外接圓半徑的正比例函數(shù)。（9）面積都是其內(nèi)切圓或外接圓半徑的二次函數(shù)等。

它們的不同點(diǎn)：（1）邊數(shù)（或頂點(diǎn)數(shù)）不同。（2）各自的內(nèi)角的大小不同。（3）對(duì)稱軸數(shù)目不等。（4）正六邊形還是中心對(duì)稱圖形。（5）各自邊所對(duì)的中心角大小不等。（6）正六邊形有對(duì)角線。（7）正三角形的邊長，正六邊形的邊長與各自內(nèi)切圓外接圓的半徑比值不同。（8）各自的周長與其外接圓的周長比值不同。（9）各自的面積與其外接圓面積的比值不同等。

解答本題時(shí)，并沒有常規(guī)的解題模式可以遵循，思維呈發(fā)散性。如能找到一個(gè)新視點(diǎn)，即可發(fā)現(xiàn)新的解答。

4.開放問題具有探索性和發(fā)展性

對(duì)一個(gè)開放題的研究與封閉題研究有很大不同，這主要體現(xiàn)在對(duì)答案的探索性和問題本身可以發(fā)展成為一系列的問題。

例7，一個(gè)鐘面有l(wèi)2個(gè)數(shù)字，試在某些數(shù)字前添上負(fù)號(hào)，使鐘面上所有數(shù)字之和為零。

解決此問題，先要通過試錯(cuò)。經(jīng)過一個(gè)規(guī)律的探索過程，即l+2+…+12=78，那么相加后為零，就是正、負(fù)數(shù)的和分別為39，雖找出了規(guī)律，但要寫出全部答案也是件較繁的事。因本題的答案有多種。

此題同樣可作變化發(fā)展。如：

（1）能否改變鐘面上的數(shù)，比如只剩下六個(gè)偶數(shù)，仍在某些數(shù)的前面添加負(fù)號(hào)，使它們的和為零。

（2）在哪些時(shí)間里分針和時(shí)針?biāo)鶌A的那些數(shù)的前面添加負(fù)號(hào)，鐘面上的各數(shù)的代數(shù)和就為零。

（3）在l2小時(shí)內(nèi)，鐘面上的時(shí)針與分針在哪些時(shí)間恰好成60°的角？

上面的例題所體現(xiàn)的是，開放題本身就具有開放性，當(dāng)然這也是問題的內(nèi)容和方法所決定，它的特殊開放功能。

5.開放題的解決離不開數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能

就是說，開放問題的教學(xué)并不對(duì)其余教學(xué)過程和方法有排除性。只是在問題的解決中，對(duì)學(xué)科的知識(shí)運(yùn)用更加靈活、更加全面、更加深入。封閉題對(duì)學(xué)生主要是引起思維的同化，而開放題則在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，則可引起思維的順應(yīng)發(fā)展，既可強(qiáng)化知識(shí)的運(yùn)用，又可從不同角度認(rèn)識(shí)問題的新的特性。如龜兔賽跑，誰快誰慢的問題。這無非是一個(gè)速度問題實(shí)際上還要從它們的本身特點(diǎn)上去認(rèn)識(shí)。在陸地上，顯然是兔子的速度大；那么如依龜?shù)膬蓷裕鴳?yīng)在水中龜兔同樣賽一場(chǎng)。從陸地或水中對(duì)兩者賽跑可都難以公平，最為公平的是在空中，把它們都放在一個(gè)陌生的環(huán)境中進(jìn)行，這雖不是什么好數(shù)學(xué)問題，但含有影響速度大小環(huán)境條件的數(shù)學(xué)情境內(nèi)容。因此在解決開放題的問題中，不僅要對(duì)數(shù)學(xué)問題本身作出認(rèn)識(shí)，還要能對(duì)影響其中某一量的數(shù)學(xué)情景因素作出分析。一般來說，開放題具有的思維順應(yīng)發(fā)展性，主要反映在：（1）開放題作為數(shù)學(xué)開放式教學(xué)的載體，其中包含的事件應(yīng)為學(xué)生所熟悉，其內(nèi)容是有趣的，是學(xué)生愿意研究的，是通過學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)能夠解決的可行的問題。開放題能根據(jù)學(xué)生的興趣和能力進(jìn)行變化，當(dāng)學(xué)生試圖用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的解答時(shí)，他會(huì)對(duì)效學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟。（2）開放題能使學(xué)生獲得各種水平程度的解答，開放題所反映的是現(xiàn)實(shí)生活或數(shù)學(xué)的情境中的多種變因。使學(xué)生在解答的過程中必須探求某種策略，因而在解答時(shí)往往能導(dǎo)出一般的結(jié)論或是發(fā)展為另一個(gè)問的問題。在這種體驗(yàn)中，學(xué)生的概括能力和遷移能力會(huì)得到提高。

開放式的數(shù)學(xué)教學(xué)，由于開放題被引起廣泛關(guān)注，以及在教學(xué)中顯示出了它的獨(dú)特功能，因此人們將開放題的單獨(dú)教學(xué)過程而躍變?yōu)殚_放式的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。以圖建立起課堂教學(xué)的新模式，在新的教學(xué)模式中，讓學(xué)生更加得到全面的發(fā)展，使開放題的本質(zhì)更充分地呈現(xiàn)出來。開放題的本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，核心是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法。而在現(xiàn)實(shí)的環(huán)境中，數(shù)學(xué)正是通過其思想方向影響著人們的思維方式、生活方式甚至生存方式。為此：世界各國的學(xué)者、專家都在努力地面對(duì)原始的現(xiàn)實(shí)創(chuàng)造出具有自己特色的開放性問題。國際數(shù)學(xué)大師陳省身告訴我們：要在本土上有自己的問題，讓外國人跟著我們的問題做，要面對(duì)原始的問題，不要在文獻(xiàn)的夾縫中求生存。目前我國創(chuàng)建了一些成功的開放題。如鐘面數(shù)字問題，一個(gè)飯店地下室到10樓有三根電線不一樣長如何測(cè)知它們的電阻問題，100以內(nèi)自然數(shù)的等差分析問題等。進(jìn)行創(chuàng)新的數(shù)學(xué)教育，就要?jiǎng)?chuàng)造自己的數(shù)學(xué)問題，一所優(yōu)秀的學(xué)校，應(yīng)發(fā)展自己的數(shù)學(xué)問題，一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)有自己設(shè)計(jì)和編制的數(shù)學(xué)問題。沒有自己的問題，談不上創(chuàng)新，做別人提出的問題，與自己提出—個(gè)問題在學(xué)術(shù)上是不一樣的。作為中國的數(shù)學(xué)教育工作者，不僅創(chuàng)建一些新的問題，建立起自己的合乎國情的教育理論和具有創(chuàng)新教育理論下的一些重大實(shí)踐，還要為建設(shè)一支中國的數(shù)學(xué)教育學(xué)派而作出貢獻(xiàn)。

進(jìn)行開放式數(shù)學(xué)教學(xué)，一般是讓學(xué)生能夠按各自不同的目的，不同的選擇，不同的興趣進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并得到能力的發(fā)展。其目的是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的多方活動(dòng)能力和數(shù)學(xué)思維能力，并在這一過程中，具有（1）培養(yǎng)和促進(jìn)學(xué)生的好奇心和求知欲；（2）促進(jìn)學(xué)生積極探索的態(tài)度和策略；（3）鼓勵(lì)學(xué)生參照或應(yīng)用已有的知識(shí)和技能，提出新問題，探討新問題；（4）刺激學(xué)生提高數(shù)學(xué)品質(zhì)和智力。（5）鼓勵(lì)學(xué)生彼此交流討論，這種教學(xué)模式既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)為了所有的學(xué)生。又提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)索質(zhì)和創(chuàng)造性意識(shí)，還有利于我們教師在教學(xué)理論與實(shí)踐的能力上提高。

進(jìn)行數(shù)學(xué)交流是開放式教學(xué)中最為重要和突出的問題。通過對(duì)開放題的解答，要求學(xué)生對(duì)自己的想法能進(jìn)行反思和加以說明，用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)解釋日常的語言；能對(duì)實(shí)際、周圍環(huán)境提供的材料，圖象、表格用數(shù)學(xué)概念作分析和闡述；讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想能作口頭的或書面的表述，在討論和交流中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)探索的科學(xué)精神。

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