自然數的幾何解析

貴州省凱里市第一中等職業學校　吳志海

自然數的幾何解析

貴州省凱里市第一中等職業學校吳志海

在數論中，研究素數的分布規律及檢驗方法依然是熱點問題，許多數學工作者曾試圖通過不同方式或用各種方法建立起素數模型或鑒別方程，但建模大多采用歸納法，而且是不完全歸納法，以至于對素數模型的普適性檢驗難于建立模型。由于素數分布不具有統計規律，所以用統計方法研究素數分布函數或素數模型已行不通。因此，從正整數全局出發研究素數或奇素數，抑或全部正整數深層本質的其他表現形式，或許能從普遍規律中發現更普遍的規律。

研究表明，家喻戶曉的素數難題哥德巴赫猜想不純粹是關于素數的問題，而是全部正整數之間相互關系的問題。基于這個認識，本文則從正整數的全局出發，對正整數進行幾何化處理，以幾何原理來反映正整數的性質，并通過平面坐標來研究正整數中各類數之間的關系。同時基于正整數的幾何特征，根據分形幾何原理把哥德巴赫猜想“1+1”的問題轉換成“2-1”的問題，從而對哥德巴赫猜想的原題進行證明（即證明猜想的正確性，哥德巴赫猜想的方程化方法證明有賴于建立普適的奇素數模型）。

一、正整數分類

目前許多數論文獻都把正整數分為奇數與偶數和素數與合數。經分析，正整數中1和2具有其特殊性：1是奇數但不是素數，2既是偶數又是素數。把1和2除外，其他數則可以分為三類：奇素數、偶合數和奇合數。由于1和2有其特殊性和雙重性，而其他三類數卻具有單一普遍性性質，故在研究素數時，1和2干擾了對素數與偶數之間關系的研究。況且，哥德巴赫猜想也就是關于奇素數與偶合數之間的關系的問題。所以，應該把正整數分為1、2、奇素數、奇合數和偶合數［1］。

二、正整數的幾何形及坐標表示

上文已對正整數進行了分類，正整數的分類及其鑒別是基于它們的運算關系。實際上，數的概念源于有形物體的抽象。再回歸到自然數的本質，從數與形的相互聯系出發，結合平面坐標與圖形面積的關系，賦予正整數以幾何形的表現形式，這樣就可以通過正整數的幾何特征形象地反映正整數的性質。

根據正整數單位為1的特點，那么，所有正整數的幾何形則由各邊長為1、面積為1的立方形堆積而成［2］，如圖1所示。

圖1

一定數量的方格子在平面上的堆積就形成具有某一形狀的幾何形方格子陣，即正整數的幾何化。由于方格子的堆積的面積與數的量具有對應關系，故可以用坐標來表示正整數。由于偶合數可以表示為2MN，奇合數可以表示為（2n+1）（2m+1），其中M，N，m，n為任意正整數，所以，偶合數的坐標則表示為（2M，N）或者（M，2N），奇合數的坐標表示為（2m+1，2n+1），如圖2所示。由于方格子在二維方向上無論怎樣堆積，奇素數不可能排列成矩形狀，故奇素數沒有坐標表示。

圖2

三、正整數的幾何特征

方格子堆積時，方格子陣表現出其獨特的幾何特征。由正整數的幾何形及坐標表示可知，偶合數和奇合數的幾何化形狀具有矩形的特征，并且偶合數的幾何形還具有對稱性，如圖2所示。因奇素數不能用坐標表示，其幾何形則具有非矩形的特征。除1和2的幾何形以外，其他正整數的幾何形對應的幾何特征如下：（1）對稱矩形——偶合數；（2）非對稱矩形——奇合數；（3）非矩形——奇素數。所以，可以把偶數的幾何形稱為對稱矩形，奇合數的幾何形稱為非對稱矩形，奇素數的幾何形則稱為非矩形。

四、正整數的加減運算幾何描述

基于正整數的幾何特征，對某一圖形進行拆分和組合，就是正整數加減運算關系的幾何化描述，即正整數之間的運算關系與格子圖形的拆分、組合相對應，如圖3所示。下面就來討論上文所定義的對稱矩形、非對稱矩形和非矩形之間的關系。

圖3

從分形理論可知［3］，如果從某一對稱矩形中分解出一個非矩形，余下的部分可能是非矩形，或者是非對稱矩形。那么，可以得到這樣的推論：對稱矩形是可以分解出多個不同的非矩形或非對稱矩形。

五、奇合數與奇素數之間的關系

由上述可知，對稱矩形可以分解為不同的非對稱矩形或非矩形。那對稱矩形能分解出幾種不同的非對稱矩形或非矩形呢？即對于任一偶合數，其所包含的奇素數個數或奇合數個數有多少。下面就來討論偶合數中奇合數與奇素數的關系：

當偶合數2MN≥6時，由坐標表示可知，有N≥3，M≥1或者M≥3，N≥1。對于偶合數2MN，其包含大于1的奇數個數為：j=MN-1［4］。在不考慮奇合數有重復的情況下【根據坐標的對應關系，奇合數可表示為（2m+1，2n+1）或者（2n+1，2m+1），雖然坐標表示不同，但卻是相同的奇合數，所以就有重復的可能】，偶合數（2M，N）所包含的奇合數個數為：

其中h1、h2的表達式是包含重復的奇合數，在不考慮奇合數重復時，則偶合數（2M，N）包含素數的個數為：

分別比較s1與h1，s2與h2。假設：N為偶數時，s1＞h1；N為奇數時，s1＞h1，即

式（1）等價于：MN+2M+N＞MN-2M-N+6……（3）

式（2）等價于：MN+M+N＞MN-M-N+4………（4）

在2MN≥6的條件下，不等式（3）（4）成立，故假設成立，即s1＞h1，s1＞h1。

綜合以上證明，可得出這樣的結論：任一大于等于6的偶數包含的奇素數大于奇合數，即s＞h。如果在考慮奇合數的重復的情況下，假設重復數為H，那么偶合數所包含的奇合數的個數為：=h-H，偶合數所包含奇素數的個數則為：。由于s＞h，所以。這也就證明了任意大于等于6的偶合數所包含的奇素數多于奇合數。

由前文可知，從一個對稱矩形里分解出一個非矩形后，余下部分有可能是非矩形或者是非對稱矩形。由于已證，并在2MN≥6的條件下，-1＞同樣成立，所以，對于方格子數大于等于6的對稱矩形任意分解出一個非矩形后，余下部分必有非矩形，即對稱矩形必能分解出兩個非矩形。反之，對稱矩形必能由兩個非矩形組合而成。

因此，本文的“2-1”的分形原理間接地證明了哥德巴赫猜想“1+1”的原命題。

［1］宋樹魁，宋昊.破解素數奧秘：哥德巴赫猜想原題的證明［M］.西安：西北工業大學出版社，2008.

［2］Pappas，T.李中譯.數學還是這么有趣［M］.北京：電子工業出版社，2008.

［3］沙震，阮火軍.分形與擬合［M］.杭州：浙江大學出版社，2005（3）.

［4］G.H.Hardy，E.M.Wright.張明堯，張凡 譯.數論導引［M］..北京：人民郵電出版社，2008.