關于三角形的兩個命題

內江師范學院數學與信息科學學院　王文強　陳明越

關于三角形的兩個命題

內江師范學院數學與信息科學學院王文強陳明越

命題一：在一切同底且周長相等的銳角三角形中，等腰三角形的面積最大。

分析：當底相等，要使周長相等，則只需要不同的三角形兩腰之和相等。由三角形的面積公式可知，同底的三角形，底對應的高越大三角形的面積越大。

證法1：如圖△ABD和△ABE是同一圓的內接三角形，和為同底的等腰三角形，且AB//CD。

圖1

應減小△ABD兩腰的長度，則面積也相應減小，故命題一成立。

證法2：如圖2，△ABC為等腰三角形，AB=AC且AC+AB=AD+BD，設AD為最長的一腰，構造△ABD的外接圓，則圓的直徑2R≥AD＞AC∴C點在圓內。

圖2

即S△ABC＞S△ABD，故命題一成立。

命題二：在一切同底且周長相等的三角形中，等腰三角形的面積最大。

分析：若不在銳角三角形中，正弦的圖形可知不能通過角的大小判斷正弦值的大小。先做出符合命題的圖形3，△ABC是等腰三角形，AC+BC=AD+BD。

證法1：過C點做直線L平行AB，再做B點關于L軸的反射點E，并連接EC，ED和EB，因為∠ECL=∠BCL=∠CAB，

圖3

證法3：設AC+BC=AD+BD=2a（2a為大于AB的定值），頂點D的運動軌跡為橢圓（不含端點）。

由橢圓的性質和圖形可知，△ABC的高大于△ABD的高，∴S△ABC＞S△ABD。

將此命題用于生活中，滿足相同條件的情況下，可用同樣的材料得到最大的面積，達到降低成本的要求。

圖4

［1］張雄，李得虎.數學方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［2］張景中.會說話的圖形［J］.數學教學通訊，2009（25）.

［3］張景中.把數學變得容易些［J］.河南教育，2000（10）.