數(shù)學思想方法在課堂教學中的運用

吳麗琴

【摘要】數(shù)學思想是宏觀的，它的意思不僅是解題的訓練，更重要的是能形成一種思維的習慣與模式，這種習慣與模式不僅影響著人的數(shù)學思考，也影響到生活中每件事的思考與決策。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學 課堂 教學

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）08-0130-02

多年的數(shù)學學習，也許淡忘了數(shù)學的學習過程，也模糊了數(shù)學知識本身，但數(shù)學的思想方法卻作為一種素養(yǎng)永遠的成為了積淀。數(shù)學思想，是指人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，是從某些具體數(shù)學認識過程中提煉出的一些觀點，它揭示了數(shù)學發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學的實踐活動，這是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。數(shù)學方法，是指解決數(shù)學問題的方法，即解決數(shù)學具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學問題的策略。

引導學生數(shù)學探究時，教師要滲透數(shù)學方法，在設(shè)計數(shù)學課、審視數(shù)學課堂時亦應(yīng)當運用數(shù)學的思想方法。用數(shù)學思想解讀教材、用數(shù)學思想設(shè)計能更好地為數(shù)學教學服務(wù)，提高課堂實效。

一、分類討論的思想方法

分類討論思想是指在解決一個問題時，無法用同一種方法去解決，而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決。它既是一種重要的數(shù)學思想，更是一種重要的數(shù)學邏輯方法。在數(shù)學課堂教學中，運用這種思想方法可使課堂教學流程清晰，教學結(jié)構(gòu)合理，對知識的探究更具邏輯性、綜合性、嚴密性，更能訓練學生的思維條理性和概括性。

《三角形的內(nèi)角和》是一節(jié)許多教師都樂于展示的課，因此可以在賽課、展示課、觀摩課、匯報課等眾多研討場合聽到這節(jié)課。但所看過的這節(jié)課，都大致的經(jīng)歷了下列探究流程：理解什么是內(nèi)角和，什么是三角形的內(nèi)角和；猜測三角形的內(nèi)角和是多少；用各種方法驗證三角形的內(nèi)角和是180度。

這樣的教學方法帶來的弊端是不嚴密。量一量，加一加的方法亦是如此，只要學生是真實地操作，答案必定異彩紛呈。面對全班答案各異的情形，老師只好強硬地解釋說那是誤差引起的，事實上三角形的內(nèi)角和是180度。有的老師說，沒關(guān)系，到中學老師會用演繹推理的方法嚴密地獲得“三角形內(nèi)角和是180度” 的結(jié)論。在小學階段，根據(jù)已有的知識與能力真沒法用演繹推理的方法獲得結(jié)論嗎？帶著這個問題展開了思考并進行了實踐：

（一）認識內(nèi)角及內(nèi)角和

課件出示長方形，提問：長方形的內(nèi)角是什么意思？它的內(nèi)角和是多少度？你怎么知道的？

把長方形沿對角線剪開，呈現(xiàn)其中一個三角形，提問：三角形的內(nèi)角是什么意思？這個三角形的內(nèi)角和是多少？

（二）探究三角形的內(nèi)角和

1.探究直角三角形的內(nèi)角和

（1）操作

把一個長方形沿對角線剪開，得到兩個完全一樣的直角三角形。

（2）對比

①長方形與三角形對比：長方形中的四個內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成了兩個三角形共六個內(nèi)角的和。

②兩個直角三角形對比：會完全重合，三個角分別對應(yīng)相等，即每個三角形的內(nèi)角和都會等于360度的一半，所以剪出的兩個直角三角形的內(nèi)角和都是180度。

（3）遷移

①每個直角三角形都可以用這樣的方法探索出內(nèi)角和嗎？

②每個直角三角形的內(nèi)角和都是180度嗎？

2.探究銳角三角形的內(nèi)角和

（1）提出問題

師：現(xiàn)在這個不是直角三角形，那它是？（板書鈍角三角形）。這個鈍角三角形的內(nèi)角和又是多少呢？怎么探究？

（2）分組探究

（3）自主交流（交流時淡化量一量，加一加，以及折一折或剪拼的方法。）

生：畫一條高，將三角形分成了兩個三角形，共六個內(nèi)角，和為360度，去掉兩個90度的內(nèi)角，另4個內(nèi)角的度數(shù)和為180度，也就是原來鈍角三角形的內(nèi)角和是180度。

（4）歸納小結(jié)

提問：所有的鈍角三角形都可以用這樣的方法獲得內(nèi)角和180度的結(jié)論嗎？

3.探究銳角三角形的內(nèi)角和

（1）分類：三角形按角分可以分為哪些三角形？

（2）遷移：銳角三角形的內(nèi)角和是多少？你能用什么方法來說明？

在這份教學設(shè)計中，主要運用了分類的思想。將三角形的內(nèi)角和分三類進行探究。這三類三角形中，以直角三角形為突破口，借助長方形的基礎(chǔ)推理出直角三角形的內(nèi)角和為180度，然后用轉(zhuǎn)化思想，將鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，推理出鈍角三角形的內(nèi)角和為180度，接著用遷移思想，將銳角三角形也轉(zhuǎn)化為直角三角形，同樣推理出銳角三角形的內(nèi)角和為180度。最后用完全歸納法，得出三角形的內(nèi)角和為180度。

二、比較的思想方法

學過數(shù)學的人都習慣用“一環(huán)接一環(huán)”這個短語來形容知識之間的聯(lián)系。的確，數(shù)學知識之間，往往既有聯(lián)系又有區(qū)別，在教學過程中，教師不妨好好地讓學生比較一番，比出新知，比出樂趣。

在第十六屆華東六省一市賽課中，有位老師執(zhí)教了《看圖找關(guān)系》一課就充分運用了比較的思想。當時賽課承辦學校是晉江三實小，學校附近有個“久久厝邊超市”。老師從這兩個地點入手，創(chuàng)設(shè)了教學情境：

（一）看圖

1.找相同

師：同學們，找相同游戲玩過嗎？（生：玩過。）師：如果給你四幅圖，讓你找相同，還會嗎？（生：會。）師：那就開始吧。

生1：它們都是折線統(tǒng)計圖。

師：行啊，那就用折線統(tǒng)計圖的眼光來看看它們吧。還有什么相同？

生2：我看到都有橫軸和縱軸

師：眼力不錯，看出都有兩條軸。（板書畫出兩條軸）還有嗎？

生3：我看到都有時間和速度。

師：的確，它們都有兩個量。（貼出卡片：速度、時間。呈現(xiàn)如下板書：）還有嗎？

生4：它們都有向上的或向下的線。

師：你真會觀察，這樣吧，先給你所說的那些線起個名字——折線。這位同學看出了四幅圖都有折線。（板書：折線）還有別的相同嗎？

生：沒有了。

師（指著圖問）：看看這兩個量，應(yīng)該擺在什么位置上？（指名操作，學生將板書修正如下：）

師：瞧，他這么一擺，又擺出了一處相同，橫軸都表示什么？（生齊：時間。）縱軸呢？（生齊：速度。）

2.找不同

師：看來，找相同難不倒大家，我們換個游戲——找不同。

生1：它們的折線都不相同。

師：真厲害！一眼就看出折線不同。大家想一想，在這些圖中，折線都表示出了誰和誰的關(guān)系？

生齊：速度和時間的關(guān)系。

（二）找關(guān)系

1.創(chuàng)設(shè)情境

師：講到速度與時間，想起了一件事情，昨天，我乘車從“久久厝邊超市”來到我們晉江三實小。這段時間，汽車的速度是怎么變化的呢，想知道嗎？

生：想。

師：不告訴你們。給段聲音，看誰能聽出來。（播放汽車行駛的聲音）

生1：我聽到汽車一開始是越來越快。然后就越來越慢。

師：聽力不錯。你說的越來越快，我們?nèi)绻Q它為速度增加，那么越來越慢就稱為——

生1：速度減小。

師：聰明。只是速度增加后馬上就減小嗎？

生2：不是，中間的一段速度是保持不變的。

師：很好，就用你的這個詞——保持不變。原來，汽車的速度經(jīng)歷了這樣的變化過程：先是——（生：速度增加），接著——（生：保持不變），然后——（生：速度減?。?。想一想，剛才的四幅圖，哪一幅能表示出汽車的速度變化情況？

……

《看圖找關(guān)系》這節(jié)課，從題眼來看有兩個行為動詞：“看”、“找”。那么“看”，要解決“看什么”和“怎么看”的問題；同樣，“找”，也要解決“找什么”和“怎么找”的問題。在這個教學片斷中，老師用了兩次比較。第一次找相同，比出了圖中應(yīng)具備的信息：兩條軸，兩個量，并軸與量建立起對應(yīng)關(guān)系，從而解決了“看什么” 的問題；第二次找不同：折線不同，表示圖的關(guān)系也不同，這些不同的折線，到底表示出了怎樣的關(guān)系，從而引發(fā)了學生的認知沖突，轉(zhuǎn)入解決“怎么看”的問題。

三、極限的數(shù)學思想

極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。靈活地借助極限思想，可以將某些數(shù)學問題化難為易，避免一些復雜運算，探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。因此，在教學中，教師應(yīng)該刻意挖掘，并適機將這一思想和方法適度地滲透給學生。

《鴿巢問題》一課，例題是這樣的：“4支鉛筆放入3個筆筒里，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆?！庇形焕蠋熢诮虒W這節(jié)課時，這樣組織探究：

1.操作：4支鉛筆放入3個筆筒里，有幾種放法？

2.列舉：將各種分法列舉成表格。

4支鉛筆放入3個筆筒里

3.小結(jié)：這時候，我們就說，4支鉛筆放入3個筆筒里，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。想一想，總有是什么意思？至少是什么意思？

生1：總有，就是一定的意思。

生2：至少，就是最少的意思。

師：對了，至少是2支，說明可以等于2支，也可以大于2支。

師：板書：至少（大于或等于）

4.識記：全班把結(jié)論讀一遍。

在這個環(huán)節(jié)中，教師運用了列表法、列舉法、操作法都非常巧妙，只是沒把極限思想理解到位。以至于整節(jié)課自始至終學生都沒充分掌握鴿巢原理，臨下課總結(jié)時，學生還在說：“老師，我覺得鴿巢原理是不對的，你說總有一個筆筒至少是2支，可我看到也有1支的，也有0支的。”假如，老師能把教材中隱性的極限思想（找最大、找最?。┩诰虺鰜恚O(shè)計到教學中，教學效果肯定是不一樣的。

1.操作：4支鉛筆放入3個筆筒里，有幾種放法？

2.列舉：將各種分法列舉成表格（把上表做些微調(diào)，有意識地把每種分法的最大數(shù)放在同一列上）。

3.找最大：請同學們?nèi)Τ雒糠N分法中的最大數(shù)。

4.找最?。喊衙糠N分法的最大數(shù)（即剛才圈出的數(shù)）拿出來比一比，最小是誰？還能比2更小嗎？

5.想原因：為什么至少是2支？

6.總結(jié)：把你的發(fā)現(xiàn)來說一說。怎樣把你的發(fā)現(xiàn)說得最簡潔？

帶著這種想法，把這節(jié)課找了個班級進行了試教，學生學得輕松，理解得透徹。把極限思想得到了充分的運用：圈出最大數(shù)是要求，找出最小數(shù)是結(jié)論。兩個極限一搭，整個知識就淺顯易懂得了。

數(shù)學思想是宏觀的，它的意思不僅是解題的訓練，更重要的是能形成一種思維的習慣與模式，這種習慣與模式不僅影響著人的數(shù)學思考，也影響到生活中每件事的思考與決策。因此，以數(shù)學探究為載體，凸顯數(shù)學思想方法應(yīng)成為數(shù)學教學的主流。