反其道而行之
——反比例函數y=（k≠0）中k的幾何意義的逆向探究

江蘇省常州市新北區龍虎塘中學 張 衛

反其道而行之

江蘇省常州市新北區龍虎塘中學 張 衛

此文對蘇科版反比例函數y=（k≠0）中k的幾何意義的探究打破常規，進行了突破性的設計。教學設計帶領學生從一個面積一定的矩形（矩形邊長不為0）開始，借助幾何畫板軟件通過逆向探究從矩形面積到反比例函數圖像逐步引導同學們探究k的幾何意義。可以說這樣的設計樣式新穎，效果顯著。

反比例函數；k的幾何意義；逆向探究

k的幾何意義的探究似乎大家都是這樣處理而且看似簡單明了，但本人靜下心來思考了很長時間，覺得k的幾何意義的得出對于學生思維能力的拓展、對于反比例函數本質的認識、對于學生數形結合思想的理解都有著不可替代的作用，于是本人對k的幾何意義探究過程作了全新的設計。

【探究片段教學設計】

一、片段學習目標

1.從實際出發，掌握反比例函數k的幾何意義，并能靈活利用這一知識點解決數學問題。

2.深刻領會函數解析式與函數圖像之間的聯系，體會數形結合及轉化的思想方法。

3.體驗數學的實用性，提高學數學的興趣。

二、片段教學過程

（一）幾何圖形與反比例函數

問題1：如果要你畫一個面積是12個平方厘米的矩形，它的長與寬固定嗎？

請在下面的表格中填寫這個矩形可能的長與寬：

矩形的長2 …矩形的寬6 …

追問：這樣的矩形可以畫____個。

問題2：如果設這個矩形的長為x cm，寬為y cm，你能寫出y與x之間的函數關系式嗎？

（二）探究反比例函數系數k的幾何意義

情景1：用“幾何畫板”演示取不同的長與寬時，所畫的矩形的情形。

以點A 為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖的平面直角坐標系（如圖1）。

圖1

問題1：矩形的頂點C的坐標與矩形的長x（x＞0）與寬y之間有怎樣的關系？

用前面填寫的表格數據進行繪圖（如圖2），進一步理解矩形面積與點C坐標間關系。

圖2

操作：利用幾何畫板進行動態演示，觀察當矩形面積是12個單位時點C在在運動過程中所留下的軌跡。

問題2：當點C在運動過程中所留下的軌跡（如圖3）對應怎樣的函數？

圖3

經過上述過程得到一個結論：這樣的矩形面積等于反比例函數的系數k=12。（等待修正）

問題3：請你在函數的另一支（第三象限）上任取一點C’，過C’作到x軸的垂線段C’B’，過C’作到y軸的垂線段C’D’，設C’的坐標為（x，y），你能嘗試著說明上面我們得到的結論仍然成立嗎？（再次嘗試）

問題4：如果當反比例函數的圖像在二、四象限時（即k＜0時），上述情況仍然成立嗎？

圖4

修正結論：這樣的矩形面積等于|k|。

圖5

追問：如圖5，點Q在第四象限的圖像上，過Q作y軸的垂線段QR，垂足為R，所得三角形△QOR的面積與k有怎樣的關系？例題講解：如圖6，函數y=（x＞0）的圖像相交于點P（a，b），過P作x軸、y軸的垂線段PM、PN，垂足為M、N，所得矩形PMON的面積是___，周長是___。

圖6

在這樣的教學設計中充分突出了知識點教學中的幾個重點與難點：

1.在教學設計中的C點的坐標的幾何意義得到了充分的解析，讓同學們能更順暢地理解矩形面積與|k|的內在聯系。

2.通過列表、描點、動態軌跡演示的方法，能大大降低同學們在學習k的幾何意義中存在的困惑，并且對反比例函數圖像有了更深層次的理解。

3.在教學設計中由特殊到一般，由特殊矩形到任意矩形、由k= 12引導到k≠0的任意數、由第一象限擴展到所有象限，逐層遞進為同學們的探究創造了層層階梯，對于同學們的探究過程有著良好的引導作用。

4.在設計中自然而然地突出了在不同象限中對不同情況的思考，對于同學們進行分類思考，難點突破有著很好的作用。

5.本教學設計不是讓同學在記憶公式的基礎上進行解題訓練，而是力求同學們在探究的過程中理解知識點之間的本質聯系，在這個理解的基礎上進行解題，在解題的過程中進一步理解知識點。并且對學有余力的同學設計了一些主動成長的機會。

6.這樣設計的最大亮點也是與其他教學設計不同的地方是突出了同學們自主探究的過程，同學們在教師的引導下讓同學們以小組為單位，通過獨立思考、同伴互助、小組研討的方式行進探究，對于知識點的內化有很好的支撐作用。

經過這樣的逆向教學設計后，本人在所在學校進行了實踐，在教學過程中明顯感覺學生在這樣的教學設計所營造的環境中同學們自主的探究過程得到了發揮，知識的內化過程也是順其自然，可以說取得了非常好的教學效果。