如何通過函數的單調性解決參數取值范圍的問題

江蘇省溧陽市埭頭中學 王麗萍

如何通過函數的單調性解決參數取值范圍的問題

江蘇省溧陽市埭頭中學 王麗萍

利用函數的單調性，求參數的取值范圍問題，是學生比較棘手的問題，但也并不是無法可循，下面就幾個簡單的例題來闡述一下個人的觀點。

方法一：利用一元二次函數根的大小情況判斷函數的單調性，其實就是利用函數的單調增區間D與函數在某一區間I上單調增之間的關系解決問題。

方法二：分離變量法。這種方法要注意在分離變量的過程中不等號的方向是否要改變，最后轉化成求函數的最值問題。

但是有的時候函數的導函數雖然是一個一元二次函數，卻不能因式分解。例如：

像這里的一元二次函數，就不能像上述例題一樣，簡單地通過因式分解求得函數的單調區間去解決問題，即使要求單調區間，也要通過求根公式，過于復雜。但是可以利用研究一元二次函數的對稱軸與區間的位置關系，判斷端點值的取值情況來解決問題。

故a≥1。

通過上述兩個例題，我們可以發現對于研究已知某一三次函數在某區間上的單調性，求參數的取值范圍問題，常見方法是兩種。方法一：利用它的導數是一元二次函數這一特征，結合一元二次函數的有關性質，即區間根問題，解決問題。但這里面的處理方法有很多種，而這又恰恰是學生學習過程中的一個盲點，學生經常會考慮得不全面，從而影響最后的計算結果。方法二：分離變量法，這種方法還是具有一般性的。一般情況下，可以說這種方法適用于任何一個函數。通過變量分離，最后把問題轉換成求一個新的函數的最值問題。當然對于稍復雜點的函數，要求最值，還是要結合函數的單調性來判斷。但是這種方法雖然通用，也存在一個問題，就是在分離變量的時候，不等號方向是否有影響，這往往也是學生做題過程中容易忽略并且容易出錯的地方。

對于這類問題，學生還有一個容易疏忽的地方，或者說不能深刻理解的地方。下面我們通過一個變式來體現這一問題。

為什么會出現這樣的情況？對于最后求得的取值范圍，其實對于端點值我們還是要去檢驗一下的，因為端點值正好是使得。這一檢驗過程，在前兩題的解答過程中就沒有體現出來，并不是說明不需要檢驗。而這一檢驗過程的重要理論依據是：一般地，可導函數f（x）在某一區間（a，b）內單調遞增（減）的充要條件是：（1）；（2）在（a，b）的任何子區間上不恒為0。學生往往會忽略第二個條件。

最后，我們可以發現，由函數在某區間上的單調性，求參數的取值范圍問題，可以利用轉化與化歸的思想，將其轉化為“不等式恒成立問題”，最終即為“研究函數的最值問題”，也可以利用函數與方程的思想以及數形結合的思想，轉化為“函數圖像的交點問題”。