LU分解的基本計算原理算法實現

南京林業大學理學院信息與計算科學系 劉 煜

LU分解的基本計算原理算法實現

南京林業大學理學院信息與計算科學系 劉 煜

一、方法、算法與程序設計

1.方法：

首先將系數矩陣進行LU分解，若題目要求求解線性方程，則通過以下兩步驟來達到目的：

（1）由LY=B解出Y；

（2）由UX=Y解出X；

解出以上兩個方程即可。

2.算法：

①LU分解步驟：

步驟一：輸入系數矩陣A；

步驟二：LU分解：

②直接三角分解法算法：

步驟一、步驟二同LU分解。

步驟三：用向前消去法解下三角方程組LY=b

3.程序設計：

①LU分解：

Matlab：

fuction ［L，U，flag］=LU_Decom（A）

［n，m］=size（A）；

if n～=m

error（’The rows and columns of matrix A must be equal！’）；

return；

end

L=eye（n）；

U=zeros（n）；

flag=’0K’；

for k=1：n

for j=k：n

z=0；

for q=1：k-1

z=z+L（k，q）＊U（q，j）；

end

U（k，j）=A（k，j）-z；

end

if abs（U（k，k））＜eps

flag=’failure’；return；

end

for i=k+1：n

z=0；

for q=1：k-1

z=z+L（i，q）＊U（q，k）；

end

L（i，k）=（A（i，k）-z）/U（k，k）；

end

end

②直接三角形法：

Matlab：

function ［x，l，u］=malu（A，b）

n=length（b）；u=zeros（n，n）；

Study on the variation law of pollutant mixing zone in the bend river

l=eye（n，n）；u（1，：）=A（1，：）；

l（2：n，1）=A（2：n，1）/u（1，1）；

for k=2：n

u（k，k：n）=A（k，k：n）-l（k，1：k-1）＊u（1：k-1，k：n）；

l（k+1：n，k）=（A（k+1：n，k）-l（k+1：n，1：k-1）＊u（l：k-1，k））/u（k，k）；

end

y=zeros（n，1）；

y（1）=b（1）；

y（k）=b（k）-l（k，1：k-1）＊y（1：k-1）；

end

x=zeros（n，1）；

x（n）=y（n）/u（n，n）；

for k=n-1：-1：1

x（k）=（y（k）-u（k，k+1：n）＊x（k+1：n））/u（k，k）；

end

二、實例

解：調用LU_Decom（A）函數。

在MATLAB命令窗口執行。

＞＞ A=［4 -2 7 3 -1 8；-2 5 1 1 4 7；7 1 7 2 3 5；3 1 2 6 5 1；-1 4 3 5 3 2；8 7 5 1 2 4］

＞＞ ［L，U，flag］=LU_Decom（A）

得到以下計算結果：