例談初中數學歸納法的應用

劉艷萍

作為初中的一門重要課程，初中數學對培養學生的邏輯思維和歸納能力起到非常積極的作用，所以在進行初中數學教學的過程中，必須要強化對教學方式的選取。歸納法在數學證明題中有著廣泛的應用，能夠對命題進行論證，因此廣大初中數學教師都非常注重學生對歸納法的掌握。通過開展初中數學歸納法的應用研究能夠更好的解決數學問題，改善數學教學質量，并為相關研究提供參考意見。

一、數學歸納法概述

初中數學的一種關鍵證明方式就是歸納法，尤其適用于數學特定命題的解答，驗證題目在整體/局部自然數內成立，完成數學題目的解答。此外，通常在良基結構中也能夠運用數學歸納法，集合論中的樹就是典型的數學題目。

初中數學中歸納法的應用范圍有限，僅限于解答有關正整數的數學問題，并對等式是否成立、數列通項公式是否成立等問題進行驗證。歸納的過程就是數學歸納法運用的關鍵所在，在運用數學歸納法的過程中，獲得的并非真理，而是一種經驗，為了證明歸納結果是否成立，應進行進一步的演繹證明。

二、數學歸納法的應用步驟分析

在初中數學中運用數學歸納法時，需要通過兩大步驟進行驗證分析：

首先，對n取值為m時（m為自然數），命題的成立與否進行驗證。該數學問題的本質就是證明命題的最小自然數是否存在，闡釋特殊狀況中命題的正確與否。該數學問題的證明涉及到自然數集最小數原理，表明自然數下各非空子集是否存在最小數。這個分析過程就是歸納奠基，為數學命題的驗證分析奠定了基礎，是影響命題成立的關鍵所在。

其次，設n取值為k時命題成立，其中k要比n大。通過推導的方式證明取n的連續自然數n+1時，該命題依然成立。這一步能夠判斷出命題正確性能夠進行傳遞，并將這一結論進行普遍性推廣。假設并驗證的環節是歸納推理的核心，即找尋在n取值為k+1時和n取值為k時的相同命題結果。

基于假設的思想，運用歸納法進行假設和分析是數學歸納推理的主要構思，單一的驗證過程是利用歸納法的前提，歸納法的關鍵就是歸納遞推，這兩大步驟必須要同時存在。在明確歸納推理的思路后，要按照規定的格式對證明步驟進行書寫，從而得出結論和結果，表明取值為自然數n（n大于等于零）時數學命題的成立。

三、初中數學歸納法的應用研究

（一）數學歸納法在初中數學證明恒等式中的應用

初中數學恒等式的證明主要涵蓋代數恒等式（正整數）、組合數學公式恒等式和三角恒等式，可以利用歸納法進行驗證，證明的關鍵就在證實等式兩邊相同與否。

例如：對n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2，其中n∈N*。利用歸納法進行驗證。

證明過程為：

（1）當n取值為1時，等式右邊左邊=左邊=1=（2×1-1）2，等式成立。

（2）假設n取值為k時，等式依然成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）2

則當n取值為k+1時，等式為k+ （k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

=[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k +2）]+8k=（2k-1）2+8k

=4k2+4k+1

=（2k+1）2

=[2（k+1）-1]2

則當n取值為k+1時，等式左右兩邊依然成立，所以取n（任意正整數）均可以使等式成立。

（二）數學歸納法在初中數學證明不等式中的應用

在對初中數學不等式進行驗證的過程中，可以不等式劃分成嚴格、不嚴格兩大類，前者只需要原來不等式的>、<成立；而后者的證明過程比較繁瑣。例如初中數學教師在開展教學活動的過程中，就可以充分運用歸納法的作用和優勢，對公式中任意取值為1，假設公式在此情況下成立，之后假設自然數k也可以使不等式成立，這樣就能夠得出相應的不等式，之后歸納在取k+1時公式兩邊也成立，這樣就能夠使不等式的證明簡化為驗證，只需要對簡單的不等式成立與否進行證明即可。

（三）數學歸納法在初中數學整除問題證明中的應用

初中數學整除問題也會廣泛應用到數學歸納法，在解決這類數學證明問題時，需要基于整數的角度，運用添項和刪項的方式進行配湊，從而得出是否可以被整除的問題。

例如：驗證f（n）=5n+2×3n+1是否可以被8整除。

證明過程為：

（1）當n取值為1時，f（n）=5n+2×3n+1即為f（1）=5+2×3+1=8，所以可以被8整除；

（2）假設當n取值為k時，原命題依然成立，