等積替換解幾何難題

聶莉

有些較復雜的幾何題直接求解比較困難，但我們如果能巧妙地運用等積替換的方法，就往往可以化難為易，輕松地解決問題。

【例1】 如圖1，在長方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，陰影部分面積是70平方厘米，求四邊形EFGO的面積。

【分析與解】題目要求的是一個不規則四邊形的面積，不少同學可能會感到束手無策，其實只要巧妙地進行替換轉化，很快就能解決問題。

因為△ABF與△DBF同底等高，所以它們的面積相等，把它們的面積同時減去△EBF的面積，差也相等，即S△ABE=S△DEF。這樣就可以用△DEF的面積替代△ABE的面積，如圖2，很顯然，四邊形EFGO的面積就等于陰影部分的面積減去長方形ABCD面積的一半，即70 15=10（平方厘米）。

【例2 】 圖3中有兩個正方形，已知正方形ABCD的邊長為12厘米，求圖中陰影部分的面積。

【分析與解】這道題只知道一個正方形的邊長，要求陰影三角形的面積，似乎條件不足，但若采用替換法，問題就能順利解決。

【解法一】因為梯形CEFD的面積等于三角形EFB的面積（都是大、小正方形邊長的和乘小正方形的邊長，再除以2），所以它們同時去掉梯形CEFO以后，面積仍相等。因此S△DOF可用S△BCO替代，陰影部分面積為S正方形ABCD，即122=72（平方厘米）。

【解法二】連接CF（圖3中的虛線），因為S△BCF=S△DCF（都是大正方形的邊長乘小正方形的邊長，再除以2），所以它們同時去掉三角形CFO以后，面積仍相等，即S△BCO=S△DOF。因此S△DOF可用S△BCO替代，顯然，陰影部分的面積為122=72（平方厘米）。

【例3】如圖4所示，已知三角形ABC的面積等于156平方厘米，是平行四邊形DCFE面積的2倍。三角形AED的面積等于多少平方厘米？ 【分析與解】連結EC。因為ED平行于AC，可知三角形AED與三角形EDC等高，因此三角形AED與三角形EDC的面積相等，即只要求出三角形EDC的面積就求出了三角形AED的面積。三角形EDC的面積等于平行四邊形DCFE的面積的一半，平行四邊形DCFE的面積又等于三角形ABC面積的一半，所以三角形EDC的面積等于156=39（平方厘米）。由此可得三角形AED的面積為39平方厘米。

【例4】圖5是由一大一小兩個正方形組合而成，已知小正方形的邊長是6厘米，請算出三角形ACB（陰影部分）的面積是多少平方厘米。

【分析與解】連結AD。因為三角形ADB的面積等于小正方形的邊長乘大正方形的邊長再除以2，而三角形ADC的面積也等于小正方形的邊長乘大正方形的邊長再除以2，所以三角形ADB的面積等于三角形ADC的面積，又因為三角形ADF是這兩個三角形的公共部分，所以又可以得出三角形AFB的面積等于三角形DCF的面積。現在把三角形AFB的面積替換成三角形DCF的面積，因此，陰影部分的面積即為三角形BDC的面積：6=18（平方厘米）。