古典概率計算中常見的錯誤及策略探究

摘要：為了分析學生在古典概率計算中常見的錯誤，特舉出相關案例進行分析，得出了古典概率計算錯誤的主要類型，并分析其錯誤產生的原因，最后歸納總結提出對策。

關鍵詞：古典概率； 常見錯解；錯因分析

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1674-120X（2016）26-0040-02 收稿日期：2016-07-20

作者簡介：莫慶美（1963—），女，廣西蒙山人，賀州學院副教授，研究方向：高等數學與微分方程教學。

一、古典概率計算中常見錯誤案例

1.審題不清致錯

例1 攝影師給6位同學拍照留念， 他們的身高全不相同，要求前后兩排各3人，那么后排每人均比前排同學高的概率是 。

錯解：據對稱性可知，一共6個人，最高3個和最矮3個，各一半，那后排每人比前排同學高的概率為P=12。

剖析：由于審題不清，誤求前排3名均比后排相對應3名同學高的概率。前排每人比后排每人都高，所以可以將6人中最矮的3個人放在前排，其余3人站后排，而且每個都不同還需要排列，故所求概率為P=A33A33A66 =120。

教學啟迪：該例題說明了在古典概型下計算事件概率的基本方法，同時也看到古典概型下事件的計算需要有較高的技巧性，有些問題的計算還是相當困難的。但學者只需掌握最基本的方法，對典型幾類問題會計算即可。

2.計算基本事件總數致錯

例2 有4只紙箱，現將3份不同禮物隨機地放入紙箱中去，求紙箱中禮物的最多份數分別為2的概率。

錯解1： P=C13C14C23A34

錯解2： P=C23C13C1434

剖析：計算過程由于基本事件總數錯誤，導致結果出錯；因為每份禮物都有4種放法，所以樣本空間的基本事件總數為43。紙箱中最多的份數為2，則先選禮物C23，再選紙箱的選法有C14；剩下的1只從3個紙箱中任選一個即C13，故所求事件包含基本事件數為C23C13C14，于是P=C13C14C2343 = 916。

教學啟迪：在教學過程中更應該注意強調是禮物選紙箱，而非紙箱選禮物，處理基本事件總數，也要注意是組合還是排列，本例未涉及排列部分。

3.運用公式P（A·B）=P（A）·P（B），忽視事件的獨立性致錯

例3 某校派a、b兩名同學去參加市區普法知識競答，有10道不同的題目，其中6道選擇題、4道判斷題，a、b兩名同學依次各抽一題，a同學抽到選擇題、b同學抽到判斷題的概率是？

錯解：設A、B分別表示a同學抽到選擇題、b同學抽到判斷題的事件，即選擇題概率為0.6，判斷題概率為0.4，那么P（A·B）=P（A）·P（B）=0.6×0.4=0.24。

剖析：因為事件A與B的發生不獨立，所以解法錯誤。a同學可以從6道選擇題中任選一道即C16種，b同學從4道判斷題中任選一道即C14，樣本總數即C110 ·C19。所以正確答案如下： P=C16·C14C110 ·C19=415。

4.分不清組合與排列致錯

例4 小明買了10張各不相同獎券，已知這10張獎券中只有3張中獎，如果小明每次只打開1張，那么前3次打開獎券中恰有1次中獎的概率是？

錯解：小明所買的獎券中獎率是0.3，不中獎率是0.7，故前3個購買者中恰有1次中獎的概率，第一步從那3張任取一張即C13×0.3，第二步從7張任選兩張即C27×0.72，所求P=C13×0.3×C27×0.72。

剖析：由上述結果可以看出，結果錯了。該解法忽略了獨立重復試驗的特點，即各事件的發生應是相互獨立的。如果前3次打開獎券中，第1次打開就中獎了，那么再中獎率，就不再是0.3了，如果有一次不中獎概率是0.7，下一次不中獎概率就不再是0.7。所以該題用到的是排列而非簡單組合，正確答案應是

P=3×A13×A27A310=0.525。

5.審題不清，忽視事件“有序”與“無序”致錯

例5 在某次試驗中把3枚硬幣一起擲出，那么出現一枚反面向上， 而另兩枚正面向上的概率是多少？

錯解：先出現一反面后出現兩正面是一種結果， 故所求概率P=18。

剖析： 在所有 8 種結果中， 一反兩正沒有說是按順序的，而是理解為兩枚正面向上、一枚反面向上的所有情況。設事件正面向上為H，反面向上為T，基本事件為A，總樣本數為S。則3枚硬幣擲出所有可能的結果有 S=（HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT ），而兩正一反A=（HHT，HTH，THH ），因此， 所求概率P=38。

教學啟迪：由于審題不清，更容易忽視事件“有序”與“無序”的情況，題意中并沒有說明兩正一反是按順序，而是說所有情況，把擲硬幣出現的8 種結果看作等可能性， 然而把事件A的3種結果看作1種結果，也不符合古典概型的等可能性事件了，因此求概率的基本事件自然就會發生錯誤。

6.對概率論中的一些常用術語理解有誤致錯

例6 人民公園有一項游戲，即有6不同顏色的小球，每個小球都等可能落入10個塑料桶中的任意一個，假設每個塑料桶容納的小球沒有限制，求每個塑料桶最多有一個小球的概率。

錯解：某指定的6個塑料桶各有一個小球，即P=6！106。

剖析：學者受課本例題影響，又由于審題不清，將最多有一個小球的概率理解成某指定的6個塑料桶各有一個小球致錯。將6個小球放入10個塑料桶中去，每一種投放是一個基本事件，可知這是古典概率問題，因為每一個小球都可以放入10個塑料桶中的任一個塑料桶，故共有106種不同的放法，而每個塑料桶中至少放一個小球共有A610種不同放法。因而所求的概率為P=A610106。

7.疏忽細節致錯

例7 有n個人去餐廳吃飯，他們隨機地圍繞圓桌而坐，那小黃、小李坐在一起（即座位相鄰）概率多少？

錯解：假設小黃已先坐下，再考慮小李的坐法。小李的坐法對應一個基本事件，明顯小李總共有（n-1）個位置，而（n-1）個座位是等可能的，所以共有（n-1）種坐法，而且基本事件的總數組成等概率樣本空間。故所求概率為P=2n-1。

剖析：上面的計算過程好像沒有問題。但在這里要注意細節問題，當n=2時，P=2與概率為1相矛盾。小黃、小李兩人坐在一起是必然事件，故其概率為1。所以更要在結果后面添加限制條件，正確結果為P=2n-1（n>2）。

二、對古典概率計算中常見錯誤提出的策略

（1）加強常見錯誤的案例教學。在教學中，針對學生錯誤的主要類型加強教學設計，以減少錯誤的發生，幫助其改正錯誤。

（2）加強學生思想教育。對于學生學習的行為、態度等加強教育，貫徹素質教育與專業教育并重的理念，正確引導學生的世界觀、價值觀及人生觀。

（3）認真備課。尊重學生的學情，以學生為本，因材施教，盡量站在學生角度來設計鋪墊性、誘發性、過渡性的問題，必要時補充學習資源和習題。

（4）制定相關制度并執行。對于學生學習行為散漫和態度不端等情況，根據學校實際制定相關制度并嚴格執行。

（5）教師觀念的轉換。課堂改革更是教師教學觀念的改革，教師在教學活動中充當主導，那么教師的任務就是組織調動、指導服務，讓學生通過自主、合作、探究學習，自主完成學業。

參考文獻：

余則華.排列、組合在古典概型中的應用.福建教育學院學報，2008，（6）.

董守廣，王紅梅.概念題常見錯誤剖析.數學通訊，2003，（17）.