血液流速的微分方程模型

刁菊芬

摘 要： 本文通過對血管內血液流速分布情況的分析，認真研究了血液流速與血管半徑的關系，然后根據生理學原理建立了微分方程模型，并對該模型進行了求解。

關鍵詞： 微分方程 模型 血液流速

1.問題分析及基本假設

根據生理學可知，人體不同部位的血管粗細是不一樣的，所以不同部位的血液流速也是不相等的。并且同一段血管內，管壁處的血液流速與血管管軸處的流速是不相同的。圖1是血管和及流動血液的縱剖面，當血液從管壁移向管軸時，流動速度逐漸增加。那么，人體內血液的流動速度與血管粗細之間具體關系可以怎么表示呢？為了便于研究，需要做如下假設：

（1）設血液在血管中的流動是穩定流動的（即流動速度與時間無關，只與位置有關）；

（2）設血管的半徑R，長度為L（R比L小得多）；

（3）血液流動的速度為V；

（4）血液的黏滯度為常數η；

（5）單位長度的血管，左端血壓力為P，右端血壓力為P（P>P）。

2.模型建立

由于各層流體運動速度不同，之間產生摩擦力，則上層液體促使下層液體運動，同時下層液體延緩上層液體的運動。可以設想血液中平放著一塊面積為A的平板，根據黏滯流體動力學知識，作用于面積A上的力F等于ηA。

利用微元法，現對血液中的部分血液（看成空心圓柱體狀，長度為一個單位）的流動速度進行討論，此空心圓柱的內半徑為r，圓柱的厚度為dr，設它的軸與血管的軸相重合（如圖2）。圓柱的內表面面積為2πr，上面受到的力為F=η·2πr。

該力方向與血液運動方向相同，圓柱的外表面上受到相反的力的作用，

F=η·2πr-d（η·2πr）

因而兩力之和（摩擦力）為：

F+F=-d（η·2πr）=-2πη（+r）dr

因為血液是穩定流動的，所以摩擦力的大小應該和促使空心圓柱沿著軸流動的力相等。這個促使空心圓柱沿著軸流動的力決定于壓力降，就等于：

F′=（P-P）2πrdr

由此有：

-2πη（+r）dr=（P-P）2πrdr

整理得：

+·=-（1）

由此得到微分方程模型。

3.模型求解

令=u，則=，方程（1）可化為

+u=-（2）

利用一階線性微分方程的通解公式，可得方程（2）的通解為u=-r，即：

=-r（3）

方程（3）為可分離變量的微分方程，通過分離變量、兩邊積分可得方程（1）的通解為：

V=Clnr-r+C

因為r→0時，lnr→∞，但運動速度是一個有限數，所以C=0；當r=R時，運動速度V=0，所以C=R。綜上所得，血液的流動速度與血管半徑之間的關系為：

V=（R-r）

4.模型總結

根據模型的求解結果可知，血液流速與其黏滯系數成反比，與血管兩端壓力降成正比，血管的半徑越大則流速越大。血管內血液流速的分布符合醫學生理學知識。

參考文獻：

[1]周義倉，勒禎，秦軍林.常微分方程及其應用[M].北京：科技出版社，2003.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學建模[M].高等教育出版社，2005.

[3]吳茵杰，黃敏.醫學生理學[M].科學出版社，2004.