一類小周期橢圓方程的三重尺度漸近分析

黃志遠，馮永平，易璇

（廣州大學數學與信息科學學院，廣東 廣州　510006）

一類小周期橢圓方程的三重尺度漸近分析

黃志遠，馮永平，易璇

（廣州大學數學與信息科學學院，廣東 廣州510006）

利用三重尺度方法對一類小周期橢圓方程進行了三重尺度漸近展開分析，構造了對應的三重尺度形式漸近展開式，得到了均勻化常數和均勻化方程.在形式漸近展開的基礎上，構造了對應邊值問題解的三重尺度漸近近似解，并分析了對應三重尺度形式漸近誤差估計.

橢圓方程；三重尺度方法；漸近展開

1　引言

自上世紀70年代，對某類小周期問題用傳統數值計算需要進行精細網格剖分，從而使得求解線性方程組計算量非常大，為了克服這一困難，均勻化和雙尺度漸近展開方法逐漸發展了起來.利用雙尺度漸近展開思想得到了具有高階震蕩系數的漸近展開式并成功地降低了計算量［1］.曹、崔［2］等人解決了一類有周期性局部約束且系數呈現小周期大幅度變化的橢圓型邊值問題，同時也給出了整周期復合材料彈性結構的雙尺度漸近分析.文獻［3］中用雙尺度方法給出具有小周期結構復合材料熱力耦合問題的多尺度分析和有限元算法.

多尺度是先建立不同尺度的數學模型，再通過某些方法將不同尺度聯系起來，可系統地分析材料的性能.多尺度方法在國內始于上世紀90年代，現階段在計算機、生物醫學、金屬等領域的研究相對較多.1995年，楊衛等開始了微宏觀斷裂力學的研究，并取得一定的成果.2007年以前，許多研究細觀模型的學者無法解釋材料的顯微結構和性能之間的關系，直到2007年，Tan［4］初步建立了水化模型與晶格斷裂模型之間的聯系.2009年李兆霞［5］等針對大型土木結構的多尺度模擬展開研究，實現了小尺度建模與大尺度建模的聯系.文獻［6］中通過引入細觀尺度和宏觀尺度，描述細觀單胞的非均勻化構造和宏觀均勻化結構，建立了復合材料內部溫度場和位移場的雙尺度表達式.但某些問題有更強的多尺度性，傳統的雙尺度展開方法已很難處理具有多重尺度的結構分析與評價.

在實際中經常碰到具有多重尺度的材料性能評價.特別地，不同的微觀尺度和介觀尺度的選取會對不均勻材料的力學性能分析有直接的影響作用.根據不均勻材料的多尺度表現，定義介觀尺度部分的尺度元素為ε1=ε，其表示在介觀尺度下最基本的尺度單元.定義微細觀尺度部分的尺度元素為ε2=ε2，表示在微細觀尺度下最基本的尺度單元.通常在數學上用下面的具有小周期系數的橢圓微分方程刻畫具有多尺度性能材料的熱傳導行為：

2　θε（x）的三重尺度漸近展開式

將（1.3）-（1.5）式代入（1.1），逐次逐項進行整理后，其左端按ε的不同冪次可排列如下：

其右端項為-h（x）.由于ε的任意性，比較等式兩邊ε-4，ε-3，ε-2，ε-1，ε0，···，的對應系數，得到下列等式，

定理 2.1假設 h（x），θ0（x）在 ?ε內足夠光滑，則（1.1）存在如（1.2）形式的漸近解，其中（1）θ0（x）為均勻化解，由方程（2.24）確定.（2）θI（x），θII（x），θIII（x），θIV（x）分別由（2.7），（2.10），（2.18），（2.27）確定.為一級均勻化常數，由（2.17）確定.為材料的均勻化常數，由（2.25）確定.（4）θI（x），θII（x），θIII（x），θIV（x）中構造的小周期單胞函數分別由（2.12），（2.16），（2.19），（2.20）和（2.29）定解.滿足相應的正則性條件.

3 θε（x）的漸近誤差估計

在實際計算中經常運用如下的近似漸近計算公式：

對上式近似解，有以下的近似漸進誤差估計.

定理3.1設θε（x）是問題（1.1）的弱解，如果θ0（x）∈H3（?），h（x）∈H2（?），則有

4　結論

對具有三重尺度的小周期橢圓問題，鑒于傳統的均勻華方法與雙尺度方法很難得到其解的漸近表示.利用逐次構造的方法，構造性地得到了相應的三重尺度漸近展開.對于該展開，分析了其相應的漸近近似解，討論了其近似解的誤差估計.理論上，于其均勻化性能分析建立了相應的分析依據.在數值計算中為構造相應的多尺度算法提供了理論依據.

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2010 MSC:35J15

The asymptotic expression based on the triple-scale method for one class of small periodic elliptic equation

Huang Zhiyuan，Feng Yongping，Yi Xuan
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangzhou University，Guangzhou510006，China）

By means of the triple-scale method the asymptotic expression for one class of small periodic elliptic equation is analyzed.Firstly，the formal asymptotic expansion is constructed，and the homogenization constants and equation are obtained.Then based on formal asymptotic expansion the asymptotic approximation solution is constructed and the corresponding error is analyzed.

elliptic equation，triple-scale method，asymptotic expansion

O178

A

1008-5513（2016）05-0495-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.001

2016-06-20.

國家自然科學基金資助項目（11671304）；廣州市屬高?？萍加媱澔穑?201430652）.

黃志遠（1991-），碩士生，研究方向：應用偏微分方程.

馮永平（1975-），博士，教授，研究方向：偏微分方程數值解.