兩種新的IGGⅢ的改進方案

劉　宸，劉長建，王　賽，許嶺峰，張學東

(1. 信息工程大學地理空間信息學院，河南 鄭州 450001; 2. 65014部隊，遼寧 沈陽 110000)

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兩種新的IGGⅢ的改進方案

劉宸1，劉長建1，王賽1，許嶺峰1，張學東2

(1. 信息工程大學地理空間信息學院，河南 鄭州 450001; 2. 65014部隊，遼寧 沈陽 110000)

針對IGGⅢ等價權函數在k0處不平滑的現象，提出了兩種改進方案，每個方案的等價權函數都是含有兩個調和系數的四段權函數。通過一個模擬水準網的算例表明，改進后的方案有效利用了可利用信息，抗差估計的結果較IGGⅢ方案更可靠，其中方案2效果最佳。

抗差估計；IGGⅢ；權函數

當觀測值只存在偶然誤差時，可采用最小二乘法求得未知參數的最優解；當觀測值存在粗差時，則采用抗差估計盡可能地減免粗差的影響，得出正常模式下的最佳估值。抗差估計的方法有很多，其中使用最廣泛、計算較簡單的是抗差M估計[1]?？共頜估計的抗差性和效率取決于參數初值的可靠性、等價權函數及其臨界值的合理性[2]。常用的等價權函數有L1法、L1-L2法、German-McClure法、Huber法、Andrews法、Welsch法、Tukey法、Danish法、Fair法、Cauchy法、Hampel法、IGG方案和IGGⅢ方案等[3]。其中，IGGⅢ方案是楊元喜院士應用相關等價權原理構造的類似于相關最小二乘估計的相關抗差估計解式[4-5]，近年來在各領域得到了廣泛應用[6-16]。同時，劉經南院士等專家學者針對IGGⅢ方案在應用中存在的問題提出了相應的改進[17-19]。本文在IGGⅢ方案的基礎上，提出了兩種等價權函數，并采用改進前后的等價權函數進行模擬水準網試驗，再進行抗差估計。試驗結果表明，采用改進后的等價權因子進行抗差估計的結果更為可靠。

一、IGGⅢ方案

IGGⅢ方案是楊元喜院士提出的類似于相關最小二乘估計的相關抗差估計方案，該方案將觀測數據按照質量劃分成有效信息、可利用信息和有害信息3類，并對有效信息采用效率較高的LS估計，對可利用的信息采用降權估計，對有害信息采用零權估計，基本上達到了充分利用有效信息、限制利用可疑信息和排除有害信息的抗差估計原則。

當觀測值相互獨立時，設觀測值原始權陣為

(1)

IGGⅢ權函數[4-5]為

(2)

(3)

式中，median()為取中位數的函數。

二、IGGⅢ方案的改進

抗差估計的原則是要充分利用有效信息，限制可用信息，排除有害信息，在假定的模型下，獲得可靠、有效、具有實際意義的參數估值[1]。IGGⅢ權函數的一階導數在k0處不連續，導致了IGGⅢ權函數(如圖1所示)在k0處不平滑，也使得k0附近的可利用信息在抗差估計中不能充分得到利用。

針對IGGⅢ方案存在的這一現象，本文提出了以下兩種改進方案。各方案均由4段分段函數，但調和系數數目和IGGⅢ方案相同。觀測值原始權陣同式(1)，兩種改進方案如下：

圖1　IGGⅢ權函數

1) 方案1為

(4)

2) 方案2為

(5)

三、算例分析

為了驗證改進IGGⅢ權函數的有效性，進行了模擬水準網試驗和分析。水準網如圖3所示，共有8個高程點、12段觀測高差，每段觀測距離相近且每段觀測中誤差為0.003 m，已知點高程和未知點近似高程見表1，觀測高差見表2。

圖2　IGGⅢ及改進方案的權函數

圖3　水準網

表1　已知點高程和未知點近似高程　m

首先對未知點進行最小二乘平差，得出正常模式下的最佳估值；然后根據粗差加入方案向觀測數據中加入粗差；接著進行最小二乘平差并采用IGGⅢ方案和改進后的方案進行抗差估計；最后將結果與正常模式下最佳估值進行比較，差異小的方案抗差性強，反之則弱。粗差加入方案為：①在7號觀測值上加入0.020 m的粗差；②在2號、7號觀測值上分別加入-0.015和0.020 m的粗差；③在2號、7號和11號觀測值上分別加入-0.015、0.020和0.018 m的粗差?？共罟烙嬛胁煌瑱嗪瘮抵械母鲄等≈迪嗤?，即調和系數均為k0=1.0，k1=2.5，迭代收斂條件均為ξ=2×10-6。

表2　觀測高差　m

表3表示分別加1個、2個、3個粗差后最小二乘估計、IGGⅢ方案和改進方案的抗差估計結果與正常模式下最佳估值的差值。

表3　加入不同數目粗差后抗差估計結果與正常模式下最佳估值的差值　mm

分析上述試驗結果，可以看出：

1) 觀測值加入粗差后，最小二乘法平差得到的估值偏差很大，而且隨著粗差的個數不斷增加而逐漸增加，已經不再適用于未知參數的估計。

2) IGGⅢ方案和改進的各種方案均能在一定程度上減免粗差值的干擾，得出較為可靠有效的參數估計值；但隨著粗差個數的增加，IGGⅢ方案和改進的各種方案的抗差性能逐步衰減。

3) 改進的各個方案均在不同程度上充分利用了有用信息，抗差性較IGGⅢ方案均有明顯的提高；但隨著粗差個數的增加，抗差性能提高的幅度有小幅度衰減。

4) 兩個改進方案抗差效果均有顯著提高，且方案2的改進效果更佳。

四、結束語

針對IGGⅢ等價權函數在k0處不平滑的現象，提出了兩種改進方案，使得權函數每一處均平滑，并以模擬水準網抗差估計為例進行了對比分析。試驗結果表明，兩種改進方案在抗差性上均有所提高，其中方案2效果最佳；但隨著粗差個數的增加，抗差性能提高幅度有小幅度衰減。本文提出的方法對于觀測值相關情況也同樣適用，這里不再給出。

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Two New Improvements of IGGⅢ Scheme

LIU Chen，LIU Changjian，WANG Sai，XU Lingfeng，ZHANG Xuedong

劉宸，劉長建，王賽,等.兩種新的IGGⅢ的改進方案[J].測繪通報，2016(10)：54-57.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0328.

2015-12-23

國家自然科學基金(41374041)

劉宸(1991—)，男，碩士生，主要研究方向為數據處理、電離層建模。E-mail：791387368@qq.com

P228

B

0494-0911(2016)10-0054-04