輔助函數法在高中數學解題中的應用

◇　天津　明廷軍

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輔助函數法在高中數學解題中的應用

◇天津明廷軍

“構造輔助函數”是一種重要的思想方法,在數學中具有非常廣泛的應用.輔助函數不出現在條件和結論中,它是在解題的過程中被解題者構造出來的,類似于初中平面幾何中的輔助線,起輔助解題的作用.在高中數學學習中如果能借鑒“構造輔助函數”的思想,很多數學問題都能輕松破解.

本文從“輔助函數”在命題、不等式、方程、最值、代數求值5個方面的應用來介紹輔助函數法.

1　在命題中的應用

A充分不必要條件;

B必要不充分條件;

C充要條件;

D既不充分又不必要條件

分析本題如果從充分條件、必要條件的定義出發,對a、b的正負進行分類,可以得出結論,但是過程較為煩瑣.如果注意到a|a|>b|b|兩邊的結構類似,我們就可以考慮構造函數f(x)=x|x|.

因為a|a|>b|b|?f(a)>f(b),所以a>b?f(a)>f(b).

2　在不等式中的應用

A(-∞,0];B(0,1);

C(-∞,1];D[1,+∞)

分析對于抽象不等式,由于不知道解析式,要想轉化成具體不等式較為困難,所以可以考慮構造出一個新的函數,利用單調性來解決問題.

又因為g′(x)=f′(x)-x>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增,由奇函數的性質可知g(x)在R上單調遞增.

因為f(2-a)-f(a)≥2-2a,

所以

所以g(2-a)≥g(a), 2-a≥a,所以a≤1.

分析這個不等式中的一個基本元是n(n+1),為了更加簡化問題,我們把不等式進一步變形為

(1+m)n<(1+n)m.

分析(1+m)n<(1+n)m?

3　在解方程中的應用

4　在求最值中的應用

分析求e的最大值可嘗試建立e的不等關系.

解構造以x為自變量的二次函數:

y=4x2+2(a+b+c+d)x+(a2+b2+c2+d2),

①

即y=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2.式①的值恒為非負數,則其判別式小于或等于0,即

Δ=4(a+b+c+d)2-4×4×(a2+b2+c2+d2)≤0,

5　在代數求值中的應用

分析此題若用常規方法,分別求出x和y的值后再求x+y，既繁又難,若從2個方程的結構特點出發,構造輔助函數f(t)=t3+1 997t,可以很快求出答案.

解令f(t)=t3+1 997t,則f(t)是定義在R上的奇函數,且f(t)在R上單調遞增.因為f(x-1)=-1,f(y-1)=1，所以f(x-1)=-f(y-1)，所以x-1=-(y-1),即x+y=2.

所以f(x)=-f(y),即f(x)=f(-y).

又因為f(x)是定義在R上的增函數，所以x=-y， 即x+y=0.

因為奇函數圖象關于原點對稱,所以

Fmin(X)+Fmax(X)=0.

因為Fmax(X)=fmax(x)-1=M-1,Fmin(X)=fmin(x)-1=m-1,所以(M-1)+(m-1)=0，所以M+m=2.

在求解某些數學問題時,避開問題本身,通過發現條件中的“基本元”或結構特點來構造一種新的函數關系,使問題在新的視角下轉化,并利用函數的單調性與奇偶性來解決問題,是一種很有效的解題方法.

天津市耀華中學)